Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Tặng box vài bài
Cho [TEX]\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} \geq2[/TEX]
Chứng minh [TEX]xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX]
(quen thuộc)

[TEX]\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} \geq2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x}\geq (1-\frac{1}{1+z})+(1-\frac{1}{1+y})=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z} \geq 2\sqrt{\frac{yz}{(1+y)(1+z)}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq \frac{8xyz}{(1+x)(1+y)(1+z)}[/TEX]

=> đpcm

@conangbuongbing_97:............=____= nâng cao phát triển cái j , thấy bài này nhiều rồi , chị học 11 rồi em ah =.=

 

[bboy114crew]

[TEX]svac:\\\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} +\frac{(bc+ca+ab)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\\=1+\fr{(bc+ca+ab)^2}{1-(ab+bc+ca)}[/TEX]
Đến đây ko bk làm sao nữa!ai pro giúp cái!

Mình làm như sau!
Sử dụng giải thiết a+b+c=1 và BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
[TEX]\sum\frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^2(a+b+c)}{b+c}=\sum \frac{a^3}{b+c}+\sum {a^2}[/TEX]
[TEX]\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}+a^2+b^2+c^2\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2}[/TEX]
Và[TEX] \sum\frac{b^2c}{b+c}=\sum\frac{b^2c^2}{bc+c^2}\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{\sum{ab}+\sum{a^2}}[/TEX]
Khi đó, đặt[TEX] t=ab+bc+ca (0<t\le \frac{1}{3})[/TEX] ta suy ra được:
[TEX]VT\ge \frac{t^2}{1-t}-3t+\frac{3}{2}[/TEX]
Xét[TEX] f(t)=\frac{t^2}{1-t}-3t+\frac{3}{2}[/TEX] trên [TEX](0;\frac{1}{3}][/TEX]
[TEX]f'(t)<0 \Rightarrow f(t)\ge f(\frac{1}{3})=\frac{2}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT\ge \frac{2}{3}[/TEX]
Điều phải chứng minh.

 

[linhhuyenvuong]

Bài 3 :
Cái này chắc nhiều lầm post ùi cũng nên nhỉ !?

Cho x, y , z > 0 , [TEX]x + y + z = 1[/TEX]
CMR :
[TEX]\frac{3}{xy + yz + xz} + \frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} \geq 14[/TEX]

1 điều tự hỏi: Dấu ''='' xảy ra khi nào?
Làm thế này ko biết đúng k?
[TEX]VT=\frac{6}{2(xy+yz+xz)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2} \geq\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 >14[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

C2:
[TEX]A \geq \frac{9}{x+y+z+3} \geq 2\\\Leftrightarrow \sqrt[3]{xyz} \leq x=y=z \leq \frac{3}{2}\\\Leftrightarrow xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX]

Sai oy` ! Sao kết luận nhanh nhẹn cho nó lớn hơn vậy

[TEX]A \geq \frac{9}{x+y+z+3}[/TEX]

Ừ thì đồng ý !
Nhưng A cũng \geq 2
Vậy điều suy ra có đúng chăng !? @-)

 

[thienlong_cuong]

1 điều tự hỏi: Dấu ''='' xảy ra khi nào?
Làm thế này ko biết đúng k?
[TEX]VT=\frac{6}{2(xy+yz+xz)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2} \geq\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 >14[/TEX]

Thử xác định rồi ! Cũng mắc lỗi giống ý hệt ! Nhẩm điểm rơi sai ở chỗ dùng schwarz !
Bài này có pp đặt ẩn phụ như trên mới giải đc đẹp !
Chứ cách nhẩm điểm rơi theo kiểu thông thg đó thì nghĩ ko thông ! Cứ mắc mắc thế nào ấy !

 

[linhhuyenvuong]

Thử xác định rồi ! Cũng mắc lỗi giống ý hệt ! Nhẩm điểm rơi sai ở chỗ dùng schwarz !
Bài này có pp đặt ẩn phụ như trên mới giải đc đẹp !
Chứ cách nhẩm điểm rơi theo kiểu thông thg đó thì nghĩ ko thông ! Cứ mắc mắc thế nào ấy !

Cho hỏi Dấu ''='' xảy ra khi nào?
nếu đặt theo kiểu này (copy bài conangbuongbinh_97)

Ta có : a+b+c =1 \Rightarrow [TEX]a^2 +b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1\Rightarrow2(ab+bc+ca)=1-(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2} = \frac{6}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{1-(x^2+y^2+c^2)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]
Đặt [TEX]x^2+y^2+c^2=a ( a\geq0 ...)[/TEX]
Khi đó VT =[TEX]\frac{6}{1-a}+\frac{2}{a} [/TEX]
Ta dễ dàng CM được [TEX]\frac{6}{1-a}+\frac{2}{a} >14 [/TEX] vs \foralla
\Rightarrow đfcm

Thì a phải có đk [TEX]0<a \leq\frac{1}{3}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Thêm 1 bài .... !

Cho các số thực lớn hơn 2 [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1[/TEX]

Tìm Max của [TEX]B = (x - 2)(y -2)(z - 2)[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Bài 2 :
CHo các số thực ko âm x , y thõa mãn [TEX]x + y = 6[/TEX]
Tìm Min và Max của [TEX]B = -2x^2y[/TEX]
QUOTE]

[TEX]6=x+y=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y \geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2y}{4}}[/TEX]

\Rightarrow[TEX] x^2y \leq 32[/TEX]
\Rightarrow[TEX] -2x^2y \geq -64[/TEX]
\Rightarrow Min B=-64 \Leftrightarrow [TEX]x=4;y=2[/TEX]
p/s: mới tìm đc Min
Phải đi ăn!

 

[thienlong_cuong]

Cho hỏi Dấu ''='' xảy ra khi nào?
nếu đặt theo kiểu này (copy bài conangbuongbinh_97)


Thì a phải có đk [TEX]0<a \leq\frac{1}{3}[/TEX]

Cái dạng này thì thg đem về anh em họ hàng nhà cu "Đặt ẩn phụ"
Đặt [TEX]xy + yz + x z= a[/TEX]
Thì [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1 - 2a[/TEX]
Thế vô và ptđttnt (đk [TEX]0 \leq a \leq \frac{1}{3})[/TEX]
Dấu " =" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a = \frac{1}{3} \Rightarrow a = b = c [/TEX]

p/s : Có khác chi nhau mô mừ !!!!!!!

 

[linhhuyenvuong]

Thêm 1 bài .... !

Cho các số thực lớn hơn 2 [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1[/TEX]

Tìm Max của [TEX]B = (x - 2)(y -2)(z - 2)[/TEX]

Nguyên văn bởi sách
Đặt [TEX]x=a+2; y=b+2; c=z+2 (a,b,c >0)[/TEX]

gt \Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} =1[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} =1[/TEX]

đặt [TEX]m=\frac{a}{a+2}; n=\frac{b}{b+2}; p=\frac{c}{c+2}[/TEX] \Rightarrow m+n+p=1

Có: [TEX]\frac{1}{m}=1+\frac{2}{a} [/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{2}{a}=\frac{1}{m}-1=\frac{n+p}{m}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]a=\frac{2m}{n+p}[/TEX]

B \Leftrightarrow[TEX]\frac{2m}{n+p}.\frac{2n}{m+p}.\frac{2p}{m+n}=\frac{8mnp}{(m+n)(n+p)(m+p)} \leq 1[/TEX]
\Rightarrow B \leq1

''='' \Leftrightarrow x=y=z=3

..........................................................

 

[hoangtupro_97]

Em có bài này đóng góp nek dễ ợt à

Cho a,b,c >o và a+b+c=3
Tìm MIN của
[TEX] \frac{a+1}{b^2 +1} + \frac{b+1}{c^2 +1} + \frac{c+1}{a^2 +1}[/TEX]

 

[hocmajthojnhj]

Tạm thời giúp mình bài này đã
Cho x,y,z>ovaf x+y=1. Tìm GTNN của P=[TEX]\frac{x}{\sqrt[]{1-x}}+\frac{y}{\sqrt[]{1-y}}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Tạm thời giúp mình bài này đã
Cho x,y,z>ovaf x+y=1. Tìm GTNN của P=[TEX]\frac{x}{\sqrt[]{1-x}}+\frac{y}{\sqrt[]{1-y}}[/TEX]

[TEX]P \geq\frac{(x+y)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}} \geq \frac{1}{\sqrt{2xy(x+y) }} \geq \sqrt{2}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Em có bài này đóng góp nek dễ ợt à

Cho a,b,c >o và a+b+c=3
Tìm MIN của
[TEX] \frac{a+1}{b^2 +1} + \frac{b+1}{c^2 +1} + \frac{c+1}{a^2 +1}[/TEX]

[TEX]\frac{a+1}{b^2 +1}=a+1-\frac{(a+1)b^2}{b^2 +1} \geq a+1-\frac{(a+1)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}[/TEX]

xd 2 bđt tt rồi cộng lại

 

[bosjeunhan]

[TEX]\frac{a+1}{b^2 +1}=a+1-\frac{(a+1)b^2}{b^2 +1} \geq a+1-\frac{(a+1)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}[/TEX]

xd 2 bđt tt rồi cộng lại

Thêm tí chỗ này
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab+ bc + ca [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a^2+b^2+c^2) \geq 3.(ab+bc+ca)[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Tìm Min

[TEX]A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}[/TEX]

( x, y, z>0 \ [TEX]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=3[/TEX])

 

[linhhuyenvuong]

1, a,b,c >0; n nguyên dương

CMR: [TEX]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} \geq 4^n [\frac{1}{(2a+b+c)^n}+\frac{1}{(a+2b+c)^n}+\frac{1}{(a+b+2c)^n}][/TEX]



2, a,b,c >0

CMR: [TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \geq 28[/TEX]



3, a,b,c 0

CMR: [TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}+\frac{10abc}{9(a+b)(b+c)(a+c)} \geq \frac{1}{4}[/TEX]



4, a,b,c >0; [TEX] a+b+c \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]



CMR: [TEX] a+b+c \geq\frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}[/TEX]

................................................................

 

[hocmajthojnhj]

[TEX]P \geq\frac{(x+y)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}} \geq \frac{1}{\sqrt{2xy(x+y) }} \geq \sqrt{2}[/TEX]

khó hiểu quá nói lại cho mình đoạn [TEX]P\geq\frac{(x+y)^2}{x\sqrt[]{y}+y\sqrt[]{x}}[/TEX]

 

[asroma11235]

Tìm Min

[TEX]A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}[/TEX]

[TEX]A \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2}[/TEX]

 

[legendyugi]

khó hiểu quá nói lại cho mình đoạn [TEX]P\geq\frac{(x+y)^2}{x\sqrt[]{y}+y\sqrt[]{x}}[/TEX]

Đấy là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,xem công thức tổng quát thì bạn lên google tra