Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[tuyn]

Bài 114 :Giải hệ phương trinh:
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} \frac{5(x+y)}{x+y+6xy}+\frac{6(x+z)}{x+z+5xz} =4 \\ \frac{6(z+y)}{z+y+4zy} +\frac{4(x+y)}{x+y+6xy} =5 \\ \frac{4(x+z)}{x+z+5xz} + \frac{5(y+z)}{y+z+4yz} =6 \end{array} \right[/TEX]

Định hướng: Đặt ẩn phụ ( nhìn thấy ngay)
Giải: Dễ thấy x,y,z đều khác 0 ( vì =0 đều không là nghiệm)
Đặt [TEX]\left{\begin{a= \frac{x+y}{x+y+6xy}}\\{b= \frac{x+z}{x+z+5xz}}\\{c= \frac{y+z}{y+z+4yz}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{\begin{5a+6b=4}\\{6c+4a=5}\\{4b+5c=6}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{a= \frac{1}{8}}\\{b= \frac{9}{16}}\\{c= \frac{3}{4}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{\begin{ \frac{1}{8}= \frac{x+y}{x+y+6xy}}\\{ \frac{9}{16}= \frac{x+z}{x+z+5xz}}\\{ \frac{3}{4}=\frac{y+z}{y+z+4yz}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{6xy=7(x+y)}\\{45xz=7(x+z)}\\{12yz=y+z}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{6}{7}}\\{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{z}= \frac{45}{7}}\\{ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}=12}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x=- \frac{14}{33}}\\{y= \frac{14}{45}}\\{z= \frac{14}{123}}[/TEX]

 

[angel_small]

Bài 115 :Giải hpt

[TEX]\left\{xy-3x-2y=6\\x^2+y^2-2x-4y=33[/TEX]

Bài 116 :Giải hpt

[TEX]\left\{x^3(2+3y)=8\\x(y^3-2)=6[/TEX]

 

[nguyenxuanhieu_ctk7]

Bài 117: Giải phương trình

[TEX]\sqrt{2x+\sqrt{x+1}+1}+\sqrt{2x-\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x+1}+1[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 117: Giải phương trình

[TEX]\sqrt{2x+\sqrt{x+1}+1}+\sqrt{2x-\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x+1}+1[/TEX]

Định hướng: Bình phương hai vế phương trình sẽ đơn giản hơn
Lời giải:
ĐK: [TEX]x \geq -1,va:2x- \sqrt{x+1} \geq 0[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow 2x+ \sqrt{x+1}+1+2x- \sqrt{x+1}+2 \sqrt{(2x+ \sqrt{x+1}+1)(2x- \sqrt{x+1})}=4(x+1)+1+4 \sqrt{x+1}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(2x+ \sqrt{x+1}+1)(2x- \sqrt{x+1})}=2+2 \sqrt{x+1}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2x+ \sqrt{x+1}+1)(2x- \sqrt{x+1})=4+8 \sqrt{x+1}+4(x+1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4x^2-(x+1)+2x- \sqrt{x+1}=4x+8 \sqrt{x+1}+8[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4x^2-3x-9 \sqrt{x+1}-9=0[/TEX]

Đặt [TEX]t= \sqrt{x+1} \geq 0 \Rightarrow x=t^2-1[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow 4t^4-11t^2-9t-2=0[/TEX]

[TEX](t+1)(4t^3-4t^2-7t-2)=0 \Leftrightarrow t=2( do:t \geq 0)[/TEX]

[TEX]t=2 \Rightarrow x=3 (TMDK)[/TEX]
Kết luận: PT có nghiệm x=3

 

[balep]

Bài 115 :
[TEX]\left\{\begin{matrix}xy-3x-2y=6(1) & \\ x^2+y^2-2x-4y=33(2) & \end{matrix}\right.[/TEX]

Định hướng
Với các đại lượng [TEX]x^2 + y^2 [/TEX]giúp ta nghĩ ngay đến hằng đẳng thức quen thuộc [TEX](x+y)^2[/TEX]. Ta sẽ cố gắng làm việc đó cho phương trình[TEX] (2)[/TEX]
[TEX](2) \Leftrightarrow (x+y)^2-2xy-2x-4y=33.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^2-2(xy+x+2y)=33[/TEX]
Với các bài toán hệ phương trình ta thường đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán, và làm chúng đơn giản hơn nhiều. Vậy trong bài toán này, ta sẽ đặt ẩn phụ như thế nào. Thấy ở phương trình [TEX](1)[/TEX] có[TEX] xy,x,y [/TEX]và phương trình [TEX](2)[/TEX] cũng có[TEX] xy,x,y. [/TEX]Tại sao ta không thử đặt ẩn phụ [TEX]u=xy+x+2y[/TEX] và [TEX]v=x+y[/TEX] ở phương trình [TEX](2) [/TEX]và cố gắng biểu diễn chúng ở phương trình[TEX] (1)[/TEX]. Ta sẽ thử biểu diễn[TEX] u[/TEX] như sau
[TEX](1) \Leftrightarrow (xy+x+2y)-4x-4y=6.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (xy+x+2y)-4(x+y)=6[/TEX]
Thật may mắn, ta đã chuyển[TEX] 2[/TEX] phương trình của hệ sang [TEX]u [/TEX]và [TEX]v[/TEX] từ đó ta sẽ tính được dễ dàng.
Ta có hệ sau
[TEX]\left\{\begin{matrix}u-4v=6 & \\ v^2-2u=33 & \end{matrix}\right.[/TEX]

 

[bananamiss]

Bài 118
[TEX]\left{ x^2+y+x^3y+x^2y+xy=\frac{-5}{4} \\ x^4+y^2+xy(1+2x)=\frac{-5}{4}[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 118
[TEX]\left{ x^2+y+x^3y+x^2y+xy=\frac{-5}{4} \\ x^4+y^2+xy(1+2x)=\frac{-5}{4}[/TEX]

Mình nghĩ đề thế này mới đúng [TEX]\left{ x^2+y+x^3y+xy^2+xy=\frac{-5}{4} \\ x^4+y^2+xy(1+2x)=\frac{-5}{4}[/TEX]
Định hướng: Để ý chút ta thấy hệ có thể nhóm về [TEX]x^2+y[/TEX] và [TEX]xy[/TEX],nghĩ tới nhóm về tích hoặc dùng ẩn phụ giải quyết bài toán.
Bài giải:
[TEX]\left{ x^2+y+x^3y+xy^2+xy=\frac{-5}{4} \\ x^4+y^2+xy(1+2x)=\frac{-5}{4}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{(x^2+y)(xy+1)=\frac{-5}{4}-xy\\(x^2+y)^2=\frac{-5}{4}-xy[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x^2+y)(xy+1)-(x^2+y)^2=0\Leftrightarrow \left[x^2+y=0\\x^2+y-xy-1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[x^2+y=0\\(x-1)(x-y+1)=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left[x^2+y=0\\x=1\\y=x+1[/TEX]
[TEX]TH1:x^2+y=0[/TEX]
[TEX]He \Leftrightarrow \left{x^2+y=0\\\frac{5}{4}+x=0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow\{{y=-x^2\\\frac{5}{4}-x^3=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \{x=\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\\y=-\sqrt[3]{\frac{25}{16}}[/TEX]

[TEX]TH2:\{x=1\\x^4+y^2+xy(1+2x)=\frac{-5}{4}[/TEX][TEX]\Rightarrow \{x=1\\y^2+3y+\frac{9}{4}=0[/TEX][TEX]\Rightarrow \{x=1\\y=-\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]TH3:\{y=x+1\\(x^2+y)^2=\frac{-5}{4}-xy[/TEX][TEX]\Rightarrow\{y=x+1\\(x^2+x+1)^2+(x^2+x+1)+\frac{1}{4}=0(VN)[/TEX]
KL: Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: [TEX](x;y)=(\sqrt[3]{\frac{5}{4}};-\sqrt[3]{\frac{25}{16}});(1;-\frac{3}{2})[/TEX]

 

[balep]

Bài 116
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^3(2+3y)=8 & \\ x(y^3-2)=6 & \end{matrix}\right.[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow [/TEX]
[TEX]\left\{\begin{matrix}2x^3+3yx^3=8(1) & \\ xy^3-2x=6(2) & \end{matrix}\right.[/TEX]

Quan sát, sau khi triển khai ra, thấy các phương trình [TEX](1)[/TEX],[TEX] (2)[/TEX] của hệ rất khó biển đổi tương đương và không biết sẽ bắt đầu tư đâu. Trong tình huống này, ta thường lấy phương trình thêm, ( cộng hoặc trừ ) hoặc thực hiện phép chia cho một đại lượng nào đấy.Tinh ý một chút ta thấy [TEX]x=0[/TEX] không thoả hệ phương trình. Nên ta nghĩ ra ý tưởng, chia [TEX](1)[/TEX],[TEX](2)[/TEX] cho [TEX]x^a[/TEX], vậy câu hỏi đặt ra là [TEX]a [/TEX]sẽ là số mấy ? Quan sát thấy[TEX] (1)[/TEX] có [TEX]x^3 [/TEX]nên để đơn giản ta sẽ chọn [TEX]a=3[/TEX] cho phương trình [TEX](1)[/TEX], tương tự thấy [TEX]x[/TEX] ở [TEX](2)[/TEX] ta chọn [TEX]a=1[/TEX] ở [TEX](2)[/TEX]
Ta được
[TEX]\left\{\begin{matrix}2+3y=\frac{8}{x^3}(1) & \\ y^3-2=\frac{6}{x} & \end{matrix}\right.[/TEX]
Đến đây, ta có một nhận xét thấy[TEX] x,[/TEX][TEX]x^3[/TEX] và [TEX]y[/TEX],[TEX]y^3. [/TEX]Nghĩ ngay đến việc đưa chúng về hàm số mẫu mực để giải
Cộng vế theo vế ta có [TEX]y^3+3y=\frac{8}{x^3}+\frac{6}{x}[/TEX]
Thấy dễ dàng[TEX] f(t)=t^3+3t[/TEX] là hàm số đồng biến
mà [TEX]\frac{8}{x^3}+\frac{6}{x}=(\frac{2}{x})^3+3\frac{x}{2}=f(\frac{2}{x})[/TEX]
suy ra[TEX] f(y)=f(\frac{x}{2}) \Leftrightarrow y=\frac{2}{x} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy=2[/TEX] thay [TEX]y=\frac{2}{x}[/TEX] vào[TEX] (1)[/TEX]
Ta được [TEX]2x^3+3x^2=8 \Leftrightarrow x=1[/TEX] từ đó tìm ra[TEX] y=2[/TEX] [TEX]v [/TEX][TEX]x=-2 [/TEX]từ đó suy ra [TEX]y=-1[/TEX]

 

[maxqn]

Bài 116
[
Ta được
[TEX]\left\{\begin{matrix}2+3y=\frac{8}{x^3}(1) & \\ y^3-2=]\frac{x}{2} & \end{matrix}\right.[/TEX]
Đến đây, ta có một nhận xét thấy[TEX] x,[/TEX][TEX]x^3[/TEX] và [TEX]y[/TEX],[TEX]y^3. [/TEX]Nghĩ ngay đến việc đưa chúng về hàm số mẫu mực để giải
Cộng vế theo vế ta có [TEX]y^3+3y=\frac{8}{x^3}+\frac{2}{x}[/TEX]
Thấy dễ dàng[TEX] f(t)=t^3+3t[/TEX] là hàm số đồng biến
mà [TEX]\frac{8}{x^3}+\frac{6}{x}=(\frac{2}{x})^3+3\frac{x}{2}=f(\frac{2}{x})[/TEX]
suy ra[TEX] f(y)=f(\frac{x}{2}) \Leftrightarrow y=\frac{2}{x} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy=2[/TEX] thay [TEX]y=\frac{2}{x}[/TEX] vào[TEX] (1)[/TEX]
Ta được [TEX]2x^3+3x^2=8 \Leftrightarrow x=1[/TEX] từ đó tìm ra[TEX] y=2[/TEX] [TEX]v [/TEX][TEX]x=-2 [/TEX]từ đó suy ra [TEX]y=-1[/TEX]

T nghĩ chỗ này c nhầm r nhỉ?
[TEX]VP = \frac8{x^3} + \frac6{x}[/TEX] thì xuống dưới mới xét hàm t + 3t đc chứ. Hè

 

[nguyenxuanhieu_ctk7]

Đề sai rồi bạn ơi! bạn lấy bài này trong sách phương trình và bất phương trình đại số của Phan Huy Khải phải không??? Ở trong quyển đấy đánh nhầm.
Bài 119: Tìm m để phương trình có nghiệm

[TEX]x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})[/TEX]

 

[duynhan1]

Đề sai rồi bạn ơi! bạn lấy bài này trong sách phương trình và bất phương trình đại số của Phan Huy Khải phải không??? Ở trong quyển đấy đánh nhầm.
Bài 119: Tìm m để phương trình có nghiệm

[TEX]x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}) (1) [/TEX]

Định hướng: Đưa về [TEX]m = f(x) [/TEX] rồi khảo sát hàm số.
Để ý nếu: [TEX]f'(x) \ge 0,\ \ g'(x) <0, \ \ \ f(x),\ g(x) \ge 0 [/TEX] thì ta có: [TEX]h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}[/TEX] là hàm số đồng biến.
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]0 \le x \le 4[/TEX]
Với điều kiện trên ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow m = \frac{x\sqrt{x} + \sqrt{x+12} }{\sqrt{5-x} + \sqrt{4-x} } (2) [/TEX]

Xét hàm số : [TEX]f(x) = x \sqrt{x} + \sqrt{x+12} \forall x \in (0;4)[/TEX], ta có:
[TEX]f'(x) = \frac32 \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x+12}} > 0 \forall x \in [0;4][/TEX]
và ta có: [TEX]f(x) > 0 \forall x \in [0;4][/TEX]

Xét hàm số: [TEX]g(x) = \sqrt{5-x} + \sqrt{4-x} \forall \in [0;4][/TEX], ta có:
[TEX]g'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}} <0 \forall x \in (0;4)[/TEX]
và ta có: [TEX]g(x) >0 \forall x \in [0;4][/TEX]

Xét hàm số [TEX]h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \forall x \in [0;4][/TEX], ta có:
[TEX]h'(x) = \frac{f'(x) . g(x) - g'(x) . f(x)}{( g(x))^2} >0 \forall x \in (0;4)[/TEX]
Do đó hàm số [TEX]h(x)[/TEX] đồng biến trên đoạn [TEX][0;4][/TEX]

Ta có:
[TEX](2) \Leftrightarrow m = h(x) [/TEX]
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
[TEX]h(0) \le m \le h(4) \\ \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 2} \le m \le 12[/TEX]
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm [TEX]\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 2} \le m \le 12 [/TEX]

 

[huu_thuong]

Bài 120:

(chứng nhận đề đúng)

 

[duynhan1]

Định hướng: Rõ ràng phương trình (2) cho ta thấy phải sử dụng tính đơn điệu để giải quyết.
Sau khi giải quyết phương trình (2) thay vào phương trình (1) thì ta thấy rất nhiều dấu hiệu của lượng giác như: [TEX]1-x^2,\ 2x^2-1 \ ( 2 cos^2 t - 1)[/TEX], do đó ta sẽ dùng lượng giác hóa để giải nó.
Bài làm:
Điều kiện: [TEX]{-1 \le x \le 1}[/TEX]
Ta có phương trình (2) được viết lại thành:

[TEX]2y^3+ y = 2( 1-x) \sqrt{1-x} + \sqrt{1-x} \\ \Leftrightarrow f(y) = f(\sqrt{1-x}) \ \ \text{ voi } f(t) = 2t^3+t \\ \Leftrightarrow y = \sqrt{1-x} \text{ (do ham so f(x) dong bien tren } \mathrm{R}) [/TEX]

Thay vào phương trình (1) ta có:
[TEX]\sqrt{1-x} = 2x^2 -1 + 2 x \sqrt{1-x^2}[/TEX]
Đặt [TEX]x= cos \varphi ( \varphi \in [0; \pi])[/TEX], ta có:
[TEX]\sqrt{1- cos \varphi} = 2 cos^2 \varphi - 1 + 2 cos \varphi \sqrt{ 1 - cos^2 \varphi} \\ \Leftrightarrow \sqrt{2} sin ( \frac{\varphi}{2}) = cos 2 \varphi + sin 2 \varphi \\ \Leftrightarrow sin( \frac{\varphi}{2}) = sin ( 2 \varphi + \frac{\pi}{4}) \\ \Leftrightarrow \left[ \frac{\varphi}{2} =2 \varphi + \frac{\pi}{4} + k 2 \pi \\ \frac{\varphi}{2} = \frac{3 \pi}{4} - 2 \varphi + k 2\pi \right. (k \in \mathbb{Z}) \\ \left{ \varphi = - \frac{\pi}{6} - \frac{k 4 \pi}{3} \\ \varphi = \frac{ \pi}{10} + \frac{k 4 \pi}{5} \right. ( k \in \mathbb{Z}) [/TEX]
Do [TEX]\varphi \in [0; \pi][/TEX] nên ta có:
[TEX]\left[ \varphi = \frac{\pi}{10} \\ \varphi = \frac{9\pi}{10} [/TEX]
Từ đó ta có:
[TEX]\left[ x = cos(\frac{\pi}{10}) \\ x =cos( \frac{9\pi}{10}) [/TEX]

• [TEX]x = cos(\frac{\pi}{10}) \Rightarrow y = \sqrt{ 1 - cos(\frac{\pi}{10}) }[/TEX]
• [TEX]x = cos(\frac{9\pi}{10}) \Rightarrow y = \sqrt{ 1 - cos(\frac{9\pi}{10}) }[/TEX]

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ \left{ x = cos(\frac{\pi}{10}) \\ y = \sqrt{ 1 - cos(\frac{\pi}{10}) } \right. \\ \left{ x = cos(\frac{9\pi}{10}) \\ y = \sqrt{ 1 - cos(\frac{9\pi}{10}) } \right.[/TEX]​

 

[riely_marion19]

Bài 121: Giải hệ pt sau
[TEX]\left{y^6+y^3+\frac{x^2}{2}=\sqrt[]{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} \\ 2xy^3+y^3+\frac{1}{2}\geq \frac{x^2}{2}+\sqrt[]{1+(x-y)^2}[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 121: Giải hệ pt sau
[TEX]\left{y^6+y^3+\frac{x^2}{2}=\sqrt[]{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} \\ 2xy^3+y^3+\frac{1}{2}\geq \frac{x^2}{2}+\sqrt[]{1+(x-y)^2}[/TEX]

Định hướng: Ta không thể làm gì với bất phương trình, vậy còn phương trình, ta nghĩ đến dùng hàm nhưng mọi cách dường như đều bế tắc.
Lại quan sát phương trình (2) 1 lần nữa phải chăng ta có đánh giá:
[TEX]2xy^3 + y^3 + \frac12 \ge \frac{x^2}{2}+1 \\ 2xy^3 + y^3 \ge \frac{x^2}{2} + \frac12[/TEX]
Đến đây ta lại thấy dường như cái VT nó hơi na ná cái VT của (1) :-? ngó xíu nữa hình như từ cosi mà ra, chẳng phải ta có đánh giá:
[TEX]y^6 + x^2 \ge 2y^3 x[/TEX]
Tạm gác bất phương trình (2) ta đó ta đi khác thác 1 thử xem sao, trước tiên từ đánh giá kia, ta đưa về cho giống cái đã:
[TEX]\sqrt[]{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} + \frac{x^2}{2} = y^6 + x^2 + y^3 \ge 2xy^3+ y^3[/TEX]
Tóm lại nãy chừ ta được chi nào :
[TEX]\left{ 2xy^3 + y^3 \ge \frac{x^2}{2} + \frac12 \\ \sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} + \frac{x^2}{2} \ge 2xy^3+ y^3 [/TEX]
Hi gần giống nhau nhỉ, vậy thì ta cần:
[TEX] \sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} \le \frac12 [/TEX]
là ta có thể đánh giá:
[TEX]2xy^3 + y^3 \ge 2xy^3 + y^3[/TEX] rồi giải quyết dấu "=" là xong sao.
Nhưng cái ta cần rất dễ thấy. Như vậy coi như bài toán được giải quyết.
Bài giải:
Làm sau nhé.

 

[riely_marion19]

Bài 122:

[TEX]\left {log_3(2x+1)-log_3(x-y)=\sqrt[]{4x^2+4x+2}-\sqrt[]{(x-y)^2+1}-3x^2+y^2-4x-2xy-1 \\ log_3(2x)+4x^2-\sqrt[]{4x^2+1}=1-\sqrt[]{2}[/TEX]​

 

[tuyn]

[TEX]\left {log_3(2x+1)-log_3(x-y)=\sqrt[]{4x^2+4x+2}-\sqrt[]{(x-y)^2+1}-3x^2+y^2-4x-2xy-1(1) \\ log_3(2x)+4x^2-\sqrt[]{4x^2+1}=1-\sqrt[]{2}[/TEX]

Định hướng:Dùng PP hàm số
Lời giải
ĐK: x > 0, x > y
Xét hàm số [TEX]f(x)=log_3(2x)+4x^2- \sqrt{4x^2+1}-1+ \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]f'(x)= \frac{1}{xln3}+8x- \frac{4x}{ \sqrt{4x^2+1}} > 0 \forall x > 0[/TEX]
\Rightarrow Hàm số đồng biến \Rightarrow f(x)=0 có nghiệm duy nhất [TEX]x= \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]PT (1) \Leftrightarrow \sqrt{(2x+1)^2+1}-log_3(2x+1)-(2x+1)^2= \sqrt{(x-y)^2+1}-log_3(x-y)-(x-y)^2(2)[/TEX]
Xét hàm số [TEX]f(t)= \sqrt{t^2+1}-log_3t-t^2, t > 0[/TEX]
[TEX]f'(t)= \frac{t}{ \sqrt{t^2+1}}- \frac{1}{tln3}-2t < 0 \forall t > 0[/TEX]
\Rightarrow f(t) nghịch biến.Khi đó 2 có dạng:
[TEX]f(2x+1)=f(x-y) \Leftrightarrow 2x+1=x-y \Rightarrow y=- \frac{3}{2}[/TEX]
Vậy HPT có nghiệm [TEX](x;y)=( \frac{1}{2};- \frac{3}{2})[/TEX]

 

[nhocngo976]

Bài 123: Giải hệ phương trình:

[TEX]\left{ x^3-3x^2=y^3-3y-2 \\ log_y(\frac{x-2}{y-1}) + log_x(\frac{y-1}{x-2}) =(x-3)^3 [/TEX]

Bài 124: Giải hệ hương trình:

[TEX]\left{ 2^{\frac{1-x^2}{x}} +xy+\frac{3}{2}=2^y \\ (x^2y+2x)^2 -2x^2y-4x+1=0[/TEX]

 

[huy266]

Bài 123: Giải hệ phương trình:

[TEX]\left{ x^3-3x^2=y^3-3y-2 \\ log_y(\frac{x-2}{y-1}) + log_x(\frac{y-1}{x-2}) =(x-3)^3 [/TEX]


Bài 123:
Điều kiện: [tex]\left[ \left\{\begin{matrix} &x>2 \\ &y>1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} &0<x<2;x\neq 1 \\ & 0<y<1 \end{matrix}\right. \right.[/tex]
Nhìn phương trình thứ nhất thấy nhiều dấu hiệu của sự đối xứng giữa x và y+1. Vậy ta biến đổi:
[tex]x^{3}-3x^{2}=y^{3}-3y-2\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}=(y+1)^{3}-3(y+1)^{2}(1)[/tex]
Trường hợp 1: [tex]\left\{\begin{matrix} &x>2 \\ &y>1 \end{matrix}\right.[/tex]
Xét [tex]f(t)=t^{3}-3t^{2}[/tex] trên [tex](2;+\infty )[/tex]
[tex]f'(t)=3t^{2}-6t>0,\forall t>2[/tex]
Vậy [tex](1)\Leftrightarrow x=y+1[/tex]
Thay vào pt (2) ta được:
[tex]\log _{y}(\frac{y+1-2}{y-1})+\log _{y+1}(\frac{y-1}{y+1-2})=(y+1-3)^{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (y-2)^{3}=0\Leftrightarrow y=2(TM)[/tex]
Vậy trường hợp này có nghiệm [tex]\left\{\begin{matrix} &x=3 \\ &y=2 \end{matrix}\right.[/tex]
Trường hợp 2:[tex]\left\{\begin{matrix} &0<x<2;x\neq 1 \\ & 0<y<1 \end{matrix}\right.[/tex]
Xét [tex]f(t)=t^{3}-3t^{2}[/tex] trên [tex](0;2 )[/tex]
[tex]f'(t)=3t^{2}-6t<0,\forall0< t<2[/tex]
Vậy [tex](1)\Leftrightarrow x=y+1[/tex]. Thay vào pt thứ 2 thấy trường hợp này vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất [tex]\left\{\begin{matrix} &x=3 \\ &y=2 \end{matrix}\right.[/tex]

 

[huy266]

Bài 124: Giải hệ hương trình:

[TEX]\left{ 2^{\frac{1-x^2}{x}} +xy+\frac{3}{2}=2^y \\ (x^2y+2x)^2 -2x^2y-4x+1=0[/TEX]

Không ai giải câu này à? Bài này mình nghĩ mãi cũng chỉ đi được 1/10
Điều kiên:[tex]x\neq 0[/tex]
Quan sát thấy pt (1) quá xấu, chẳng biết làm gì, quay sang nhìn pt (2)
Thấy hình như là hằng đẳng thức
[tex](x^{2}y+2x)^{2}-2(x^{2}y+2x)+1=0[/tex]
[tex](x^{2}y+2x-1)^{2}=0\Leftrightarrow y=\frac{1-2x}{x^{2}}[/tex]
Thay vào pt(1) ta được pt:
[tex]2^{\frac{1-x^{2}}{x}}+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}-2^{\frac{1-2x}{x^{2}}}=0[/tex]
Đến đây thì siêu bí. Ai vào giúp mình đi