H
- Status
D
duynhan1
Định hướng: Nhận thấy ở phương trình (2) có x^2y nên ta nhân thêm y ở 1 để đặt ẩn phụ.
Bài giải:
Với [TEX]y=0[/TEX], ta có hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Với [TEX]y \not= 0 [/TEX], hệ đã cho tương đương với:
[TEX]\left{ x^2y(y+1) = 6y^2 - 2y \\ (x^2y)^2 + 2x^2y.y + x^2y + y = 12y^2 - 1[/TEX]
Đặt [TEX]\left{ a = x^2 y \\ b = y [/TEX], ta có:
[TEX]\left{ a (b+1) = 6b^2 - 2b \\ a^2 + 2ab + a + b = 12b^2 - 1 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ a = \frac{6b^2 - 2b}{b+1} (do\ b=-1\ thi\ he\ vo\ nghiem) \\ (a+b-3)(a+b+4) = 13(b^2-1)[/TEX].
Thay (1) và (2) ta có:
[TEX]\frac{6b^2 - 2b + b^2 + b - 3b - 3 }{b+1} \ . \ \frac{6b^2 -2b + b^2 + b + 4b + 4}{b+1} = 13(b^2-1) \\ \Leftrightarrow \frac{( b - 1)( 7b + 3)( 7b^2 + 3b + 4) }{(b+1)^2}= 13(b-1)(b+1) \\ \Leftrightarrow \left[ b = 1 \\ 49b^3 + 42b^2 + 37b + 12 = 13 ( b^3 + 3b^2 + 3b+1) \right. \\ \Leftrightarrow \left[ b = 1 \\ 36b^3 + 3b^2 - 2b - 1 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left[ b = 1 \\ b = \frac13 [/TEX]
- [TEX]b= 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow \left{ x = \pm \sqrt{2} \\ y = 1[/TEX]
- [TEX]b = \frac13 \Rightarrow a= 0 \Rightarrow \left{ x = 0 \\ y = \frac13[/TEX]
[TEX]\left[ \left{ x = \pm \sqrt{2} \\ y = 1\right. \\ \left{ x = 0 \\ y = \frac13 \right.[/TEX]
L
langtu_117
Điều kiện: [TEX]|x|<\frac{1}{2}[/TEX]Bài 55: Giải phương trình:
Theo Cô-Si, ta có dãy BĐT sau:
[TEX]1.\sqrt{1-2x}\leq \frac{(1-2x)+1}{2} \ \ (1)[/TEX]
[TEX]1.\sqrt{1+2x}\leq \frac{(1+2x)+1}{2} \ \ (2)[/TEX]
[TEX]\sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}}+\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}}.\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}}=2 \ \ (3)[/TEX]
Lấy [TEX](1)+(2)[/TEX], ta được:
[TEX]VT=\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}\leq 2[/TEX]
Từ [TEX](3)[/TEX], suy ra:
[TEX]VP\geq 2[/TEX]
Suy ra:
[TEX]VT=VP\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}VT=2\\VP=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{1-2x}=1\\ \sqrt{1+2x}=1\\ \sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}=\sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0[/TEX]
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm là : [TEX]x=0[/TEX]
Last edited by a moderator:
P
peto_cn94
Bài 56:giải hệ:
[TEX]\left{\begin{y+2=(3-x)^2}\\{(2z-y)(y+2)=9+4y}\\{x^2+z^2=4x}\\{z\geq0[/TEX]
[TEX]\left{\begin{y+2=(3-x)^2}\\{(2z-y)(y+2)=9+4y}\\{x^2+z^2=4x}\\{z\geq0[/TEX]
Last edited by a moderator:
S
stork_pro
Bài 57
[TEX]\left{\begin{2(2x+1)^3+2x+1=(2y-3)\sqrt{y-2}}\\{\sqrt{4x+2}+\sqrt{2y+4}=6[/TEX]
Bài 58
[TEX]\left{\begin{y^3+y=x^3+3x^2+4x+2}\\{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{2-y}-1}=0[/TEX]
[TEX]\left{\begin{2(2x+1)^3+2x+1=(2y-3)\sqrt{y-2}}\\{\sqrt{4x+2}+\sqrt{2y+4}=6[/TEX]
Bài 58
[TEX]\left{\begin{y^3+y=x^3+3x^2+4x+2}\\{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{2-y}-1}=0[/TEX]
Last edited by a moderator:
N
nhocngo976
[TEX](1) \leftrightarrow y^3+y= (x+1)^3+(x+1)[/TEX]
xét [TEX]f(t)= t^3 +t \\\\ f'(t)= 3t^2+1 >0 \ voi \ moi \ t\ \\\\ \rightarrow f(t) \ DB \rightarrow y=x+1[/TEX]
thế vào (2), ta có:
[TEX](2) \leftrightarrow \sqrt{1-x^2}= \sqrt{1-x}+1 \\\\ (binh \ phuong ) \\\\ \leftrightarrow 2\sqrt{1-x}= -x^2+x-1 (VN) \ do \ -x^2 +x-1 <0 \ voi \ moi \ x [/TEX]
vậy hệ VN
Last edited by a moderator:
X
xlovemathx
Bài 59 : [TEX]\left\{ x^3+y^2=2 \\ x^2+xy+y^2-y=0 [/TEX]
Bài 60 : [TEX]\left\{ x^2+3y=9 \\ y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0[/TEX]
Bài 61 : [TEX]\left\{ x^2y^2-2x+y^2=0 \\ 2x^3+3x^2+6y-12x+13=0[/TEX]
Bài 60 : [TEX]\left\{ x^2+3y=9 \\ y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0[/TEX]
Bài 61 : [TEX]\left\{ x^2y^2-2x+y^2=0 \\ 2x^3+3x^2+6y-12x+13=0[/TEX]
D
duynhan1
Định hướng: Phương trình (1) và (2) rõ ràng không liên quan với nhau nên ta sẽ đánh giá để chứng tỏ hệ vô nghiệm.
Bài giải:
Xem phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, ta có:
[TEX]\Delta_x = y^2 - 4(y^2-y) = y( 4- 3y) \ge 0 \Rightarrow 0 \le y \le \frac43[/TEX]
Xem phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:
[TEX]\Delta_x = (x-1)^2 - 4x^2 = (-x -1)( 3x-1) \ge 0 \Rightarrow -1 \le x \le \frac13 [/TEX]
Do đó:
[TEX]x^3 + y^2 \le \frac{1}{27} + \frac{16}{9} = \frac{49}{27} <2 [/TEX]
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Định hướng: Đề cho quan hệ giữa y và x^2 trong phương trình (1) phải chăng là để khử y trong phương trình (2) rồi xem phương trình (2) là ẩn y^2, thử thay y bởi x^2 xem sao.
Bài giải:
Từ hệ ta suy ra:
[TEX]y^4 + 4(2x-3) y^2 - 16(9-x^2) - 48x + 155 = 0 \\ \Leftrightarrow y^4 + 4(2x-3)y^2 + 16x^2 - 48 x + 11 = 0(3) [/TEX]
Xem đây là phương trình bậc 2, ẩn [TEX]y^2[/TEX] ta có:
[TEX]\Delta = 4(2x-3)^2 - ( 16x^2 - 48x + 11) = 25[/TEX]
[TEX](3) \Leftrightarrow \left[ y^2 = -2(2x -3) - 5 = -4x + 1 \\ y^2 = -2(2x-3) + 5= - 4x + 11 [/TEX]
Trường hợp 1: [TEX]y^2 = 1- 4x [/TEX], ta có:
Thay vào (1) ta có:
[TEX](1-y^2)^2 + 48y = 144 \\ \Leftrightarrow y^4 = 2y^2 - 48y + 144 \\ \Leftrightarrow (y^2+1)^2 = (2y - 12)^2 \\ \Leftrightarrow \left[ y^2 +1 = 2y - 12(vo\ nghiem)\\ y^2 + 1 = 12 - 2y \right. \Leftrightarrow y = -1 \pm 2\sqrt{3} [/TEX]
Suy ra: [TEX]x = \frac{1-y^2}{4} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{2}[/TEX]
Trường hợp 2: [TEX]y^2= 11- 4x [/TEX]
Thay vào (1) ta có:
[TEX]( 11- y^2)^2 + 48y = 144 \\ \Leftrightarrow y^4 = 22y^2 - 48 y + 23 \\ \Leftrightarrow (y^2 -5)^2 = 12(y-2)^2 \\ \Leftrightarrow \left[ y^2 - 5 = 2\sqrt{3} y - 4 \sqrt{3} \\ y^2 - 5 = -2\sqrt{3} y + 4\sqrt{3} \right. \Leftrightarrow \left[ y = \sqrt{3} \pm \sqrt{8-4\sqrt{3}} \\ y = -\sqrt{3} \pm \sqrt{8+ 4\sqrt{3}} \right. [/TEX]
Suy ra: [TEX]x=\frac{11-y^2}{4} [/TEX]
Kết luận:
Định hướng: Nhận thấy từ phương trình (1) ta có: [TEX]{-1\le y= \frac{2x}{x^2+1} \le 1 [/TEX]. Do đó ta sẽ đánh giá từng phương trình để rút ra 1 cái gì đó.
Bài giải:
Từ phương trình (1) ta có:
[TEX]y^2 = \frac{2x}{x^2+1} [/TEX]
Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có:
[TEX]x^2 + 1 \ge 2|x| \Rightarrow \frac{2x}{x^2+1} \le 1 \Rightarrow y^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le y \le 1 (3) [/TEX]
và do [TEX]y^2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0 [/TEX]
Từ phương trình (2) ta có:
[TEX]{-6y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 13 [/TEX]
Xét hàm [TEX]f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12 x + 13 \forall x \ge 0[/TEX]
[TEX]f'(x) =6 x^2 + 6x - 12 \\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ x= 1 \\ x=-2(loai)[/TEX]
[TEX]\circ \ f(1) = 6 \\ \circ f(0) = 13 \\ \circ \lim_{x \to + \infty} = + \infty[/TEX]
Do đó ta có: [TEX]f(x) \ge f(1) = 6 \forall x \ge 0[/TEX].[TEX]\Rightarrow -6y \ge 6 \Leftrightarrow y \le -1 (4) [/TEX]
Từ (3) và (4) suy ra [TEX]y=-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x = 1[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là :
[TEX]\left{ x =1 \\ y = -1[/TEX]
Last edited by a moderator:
L
langtu_117
Bài 62: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^3(2+3y)=1\\ x(y^3-2)=3\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 63: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-3x+4y=1\\ 3x^2-2y^2-9x-8y=3\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 64: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x\sqrt{x}-\sqrt{x}=y\sqrt{y}+8\sqrt{y}\\ x-y=5\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 65: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}y+xy^2=6x^2\\ 1+x^2y^2=5x^2\end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^3(2+3y)=1\\ x(y^3-2)=3\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 63: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-3x+4y=1\\ 3x^2-2y^2-9x-8y=3\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 64: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x\sqrt{x}-\sqrt{x}=y\sqrt{y}+8\sqrt{y}\\ x-y=5\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 65: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}y+xy^2=6x^2\\ 1+x^2y^2=5x^2\end{matrix}\right.[/TEX]
Last edited by a moderator:
D
destinyx4
Định hướng
hương trình (1) và (2) đều có y^2 thử chia cả 2 vế của cả 2 phương trình cho y^2 xem sao.Cái loại dạng này không khó nhưng quan trong phải tìm được cách chia rồi rút x theo yCách giải:
Nhận thấy x,y=0 không phải là nghiệm của phương trình=>Thoải mái chia cho x và y
Ta chia cả 2 vế của cả 2 phương trình cho y^2 ta được:
[tex]\left\{ \frac{1}{y}+x=\frac{6x^2}{y^2} (1) \\ \frac{1}{y^2}+x^2=\frac{5x^2}{y^2}(2).[/TEX]
Mà
[TEX]\frac{1}{y^2}+x^2=(\frac{1}{y}+x)^2-2\frac{x}{y}.[/TEX]
Thế (1) vào (2) ta được:
[TEX]36\frac{x^4}{y^4}-5\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}=0[/TEX]
[TEX]\rightarrow\frac{x}{y}=\frac{1}{2}=>x=2y[/TEX]
Thay vào phương trình đầu ta được
[TEX]4x^3-6x^2+2x=0[/TEX]
Do x=0 không phải là nghiệm nên:
[tex]4x^2-6x+2=0.[/tex]
[tex]\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1 \rightarrow y=2 \\ x=\frac{1}{2}\rightarrow y=1 \end{array} \right.[/tex]
Kết luận:Vậy nghiệm của phương trình là (x;y)=(1;2),(1/2;1)
Last edited by a moderator:
D
destinyx4
Bài 63: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-3x+4y=1\\ 3x^2-2y^2-9x-8y=3\end{matrix}\right.[/TEX]
Định hướng:Để ý nếu phương trình (1) nhân thêm với 3 thì sẽ xuất hiện rất nhiều cái giống với phương trình (2).Ta sẽ tiến hành nhân chéo 2 vế của phương trình với nhau
Bài Làm: Nhân chéo 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được
[tex]3x^2+3y^2-9x+12y=3x^2-2y^2-9x-8y[/tex]
\Rightarrow 5y^2+20y=0
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=0 \\ y =-4 \end{array} \right.[/tex]
Với y=0 ta có:
[tex]x^2-3x-1=0[/tex]
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
Với y=-4 ta có
[tex]x^2-3x-1=0 [/tex]
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm
[tex]\left\{ \begin{array}{l} y=0;x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ y=0; x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
[tex]\left\{ \begin{array}{l}y=-4; x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ y=-4; x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-3x+4y=1\\ 3x^2-2y^2-9x-8y=3\end{matrix}\right.[/TEX]
Định hướng:Để ý nếu phương trình (1) nhân thêm với 3 thì sẽ xuất hiện rất nhiều cái giống với phương trình (2).Ta sẽ tiến hành nhân chéo 2 vế của phương trình với nhau
Bài Làm: Nhân chéo 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được
[tex]3x^2+3y^2-9x+12y=3x^2-2y^2-9x-8y[/tex]
\Rightarrow 5y^2+20y=0
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=0 \\ y =-4 \end{array} \right.[/tex]
Với y=0 ta có:
[tex]x^2-3x-1=0[/tex]
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
Với y=-4 ta có
[tex]x^2-3x-1=0 [/tex]
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm
[tex]\left\{ \begin{array}{l} y=0;x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ y=0; x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
[tex]\left\{ \begin{array}{l}y=-4; x= \frac{3+\sqrt{13}}{2} \\ y=-4; x= \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.[/tex]
Last edited by a moderator:
D
destinyx4
Định hướng:Bài này phải sử dụng đến phương pháp hàm,không thì làm quá phức tạp
Giải:
Từ phương trình (1) và (2) ta có:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x^3}=2+3y \\ \frac{3}{x}=y^3-2 \end{array} \right.[/tex]
Cộng vế với vế:
[tex]\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x}=y^3+3y.[/tex]
Xét hàm số t^3+3t
f(t)'=3t^2+3>0.Nên hàm số luôn đống biến
[tex]\Rightarrow\frac{1}{x}=y.[/tex]
Thay vào phương trình (1) ta được
[tex]x^3(2+\frac{3}{x})=1.[/tex]
[tex]\Rightarrow2x^3+3x^2-1=0.[/tex]
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x = -1\Rightarrow y=-1 \\ x= \frac{1}{2}\Rightarrow y=2\end{array} \right.[/tex]
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
[tex]\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x = -1; y=-1 \\ x= \frac{1}{2}; y=2\end{array} \right.[/tex]
Last edited by a moderator:
D
destinyx4
Định hướng:Bài này dồn căn về 1 bên và dồn những biểu thức không chứa căn về một bên:
Bài giải:
Từ 2 phương trình đầu ta dễ dàng có được:
[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\frac{y+8}{x-1}[/TEX]
Do x-y=5=>x=y+5 thay vào phương trình trên rồi bình phương 2 vế ta được
[TEX]\frac{x}{y}=(\frac{x+3}{x-1})^2[/TEX]
Nhân chéo
=>[TEX]x(x-1)^2=(x-5)(x+3)^2[/TEX]
=>x=9 v x= -5/3
Với x=9=>y=4
Với x=-5/3=>y=-17/3.
Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm
(x;y)=(9;4);(-5/3;-17/3)
Last edited by a moderator:
L
langtu_117
Bài 66: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}y=-x^3+3x+4\\ x=2y^3-6y-2\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 67: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{1-y^2}=1\\ y+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 68: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1\\ y+\frac{y}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{35}{12}=0\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 69: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1\\ 125y^5-125y^3+6\sqrt{15}=0\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 70: Giải hệ phương trình: ( Dự bị 2 Khối B 2007)
[TEX]\left\{\begin{matrix}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y\\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x\end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]\left\{\begin{matrix}y=-x^3+3x+4\\ x=2y^3-6y-2\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 67: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{1-y^2}=1\\ y+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 68: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1\\ y+\frac{y}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{35}{12}=0\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 69: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1\\ 125y^5-125y^3+6\sqrt{15}=0\end{matrix}\right.[/TEX]
Bài 70: Giải hệ phương trình: ( Dự bị 2 Khối B 2007)
[TEX]\left\{\begin{matrix}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y\\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x\end{matrix}\right.[/TEX]
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Định hướng: Nhận thấy ở phương trình (2) nhóm nhân tử được, và sau khi nhóm ngó lên 1 thì có thể thế được. Ở pt(1) là tổng, ở pt(2) là tích nên cố gắng tìm cách áp dụng Co-si thử xem sao.
Bài giải:
[TEX](2) \Leftrightarrow 125x^2y^3 = 6 \sqrt{15}(3)[/TEX]
Từ phương trình (1) ta có:
[TEX]1= \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{y^2}{3} + \frac{y^2}{3} \ge 5 \sqrt[5]{\frac{x^4y^6}{4.27}} \\ \Rightarrow 25\sqrt{5}|x^2y^3| \le 6\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow 125|x^2y^3| \le 6\sqrt{15} \Rightarrow 125x^3y^2 \le (4) [/TEX]
Từ (3) và (4) suy ra [TEX]6 \sqrt{15} = 125x^2y^3 \le {6\sqrt{15}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
[TEX]\left{ \frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{3} \\ x^2 + y^2 = 1 \\ x2y^3 \ge 0 \right. \Leftrightarrow \left{ x^2 = \frac25 \\ y^2 = \frac35 \\ x^2y^3 \ge 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x = \pm \sqrt{\frac25} \\ y = \sqrt{\frac35}[/TEX]
Thử lại 2 nghiệm trên là nghiệm của hệ phương trình.
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Định hướng: Khi không đưa được về đồng bậc , gặp 1 bên bậc 3, 1 bên bậc nhất, ta nhẩm nghiệm, phân tích rồi nhân chéo như sau.
Bài giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
[TEX]\left{ y-2 = ( 2-x)(x+1)^2 \\ x-2 = 2(y-2)(y+1)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x-2)(y-2) = 2(2-x)(y-2)(x+1)^2(y+1)^2 \\ \Leftrightarrow \left[ x=2 \\ y=2 [/TEX]
Trường hợp 1: x=2, thay vào hệ ban đầu ta có:
[TEX]\left{ y = 2 \\ 2y^3 - 6y - 2 = 2 \right. \Leftrightarrow y=2 \Rightarrow\left{ x=2 \\ y=2 \right. [/TEX]
Trường hợp 2: y=2, thay vào hệ ban đầu ta có:
[TEX]\left{ x = 2 \\ -x^3+ 3x + 4 = 2 \right. \Leftrightarrow x=2 \Rightarrow \left{ x=2 \\ y=2 \right. [/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left{ x =2 \\ y = 2[/TEX]
D
duynhan1
Định hướng: Để ý đến đẳng thức [TEX]( x+ \sqrt{x^2+1}) ( \sqrt{x^2+1}-x) = 1[/TEX], như vậy từ phương trình (1) ta sẽ tìm cách chứng minh [TEX]x=-y[/TEX] bằng cách nhân lượng liên hợp.
Bài giải:
Điều kiện : [TEX]|x|>1[/TEX]
[TEX](1) \Rightarrow \left{ x + \sqrt{x^2 +1} = \sqrt{y^2 + 1 } -y \\ y + \sqrt{y^2+1} = \sqrt{x^2+1}-x \right. \Rightarrow x-y = y- x \Leftrightarrow x=-y [/TEX]
Thay vào phương trình (2) ta có:
[TEX]x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ x >0 \\ x^2 + \frac{x^2}{x^2 -1} + \frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}} = ( \frac{35}{12})^2 (3)[/TEX]
Giải (3):
Đặt [TEX]t = \sqrt{x^2-1} ( t>0)[/TEX], ta có:
[TEX]t^2 + 1 + \frac{t^2+1}{t^2} + \frac{2(t^2+1)}{t} = ( \frac{35}{12})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( t + \frac{1}{t})^2 + 2 ( t + \frac{1}{t}) + 1 = \frac{1396}{144} \\ \Leftrightarrow ( t + \frac{1}{t} + 1)^2 = \frac{37^2}{12^2} \\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} + 1 = \frac{37}{12} (do \ t>0) \\ \Leftrightarrow \left[ t = \frac34 \\ t = \frac43[/TEX]
Trường hợp 1: [TEX]t = \frac34 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 -1 =\frac{9}{16} \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac54 [/TEX]
Kết hợp điều kiện [TEX]\left{ |x| >1 \\ x >0 \right. [/TEX] ta suy ra [TEX]x = \frac54 \Rightarrow y = - \frac54[/TEX]
Trường hợp 2: [TEX]t = \frac43 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 -1 = \frac{16}{9} \Leftrightarrow x = \pm \frac53[/TEX]
Kết hợp điều kiện [TEX]\left{ |x| >1 \\ x >0 \right. [/TEX] ta suy ra [TEX]x = \frac53 \Rightarrow y = - \frac53[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ \left{ x = \frac54 \\ y = - \frac54 \right. \\ \left{ x = \frac53 \\ y = - \frac53\right. \right. [/TEX]
D
duynhan1
Định hướng: Có 2 cách giải quyết cho bài này:
- Lượng giác hóa
- [TEX]x = sin a, y = sin b [/TEX], bình phương và cộng 2 vế ta được [TEX]2 + 2sin a . cos b+ 2 sin b . cos a = 4 \Leftrightarrow sin(a+b) = 1[/TEX], kết hợp với đk a, b ban đầu để suy ra a, b.
- Đại số: Chuyển vế và bình phương, sau đó xác lập quan hệ giữa x và y rồi thay lại vào hệ.
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]\left{ |x| \le 1\\ |y| \le 1[/TEX]
Với điều kiện trên ta có hệ phương trình tương đương với:
[TEX]\left{ 1-y^2 = 1 - 2x + x^2 \\ 1- x^2 = 3 - 2\sqrt{3} y + y^2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x^2 + y^2 = 2x \\ x^2 + y^2 =2\sqrt{3} y - 2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x = \sqrt{3} y - 1\\ ( \sqrt{3} y - 1)^2 + y^2 = 2\sqrt{3} y - 2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x = \sqrt{3} y - 1 \\ ( 2y - \sqrt{3} )^2 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x = \frac12 \right. (thoa\ dieu\ kien\ xac\ dinh )[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left{ x = \frac12 \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX]
L
locxoaymgk
Bài 71: Giải PT:[TEX] x^2-4x+3=\sqrt{x+5}. [/TEX]
Bài 72:, Giải HBPT:
[TEX] \ \ \ \ \ \ \left{\begin{x^6+y^8+z^{10} \leq 1}\\{x^{2007}+y^{2009}+z^{2011} \geq 1}.[/TEX]
Bài 72:, Giải HBPT:
[TEX] \ \ \ \ \ \ \left{\begin{x^6+y^8+z^{10} \leq 1}\\{x^{2007}+y^{2009}+z^{2011} \geq 1}.[/TEX]
D
duynhan1
Định hướng: Nhận thấy có nghiệm x=4, nên bình phương đưa về phương trình bậc 4, nhưng phương trình bậc 3 nghiệm xấu quá, lại thỏa điều kiện chứ^^.
Định hướng: Không.
Bài giải:
Từ bpt(1) ta có: [TEX]|x|, |y|, |z| \le 1[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX]\left{ x^{2007} \le x^6 \\ z^{2009} \le y^8 \\ z^{2011} \le z^{10} \right. [/TEX]
[TEX]\Rightarrow1\le x^{2007}+y^{2009}+z^{2011} \le x^6+y^8+z^{10} \le 1[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
[TEX](x;y;z) =(0;0;1)[/TEX] và các hoán vị.
- Status