Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[bboy114crew]

Bài khác:
[TEX]\blue Let \ 0 \leq a,b,c,d \leq 1.C/m:[/TEX]
[TEX]A=\blue \huge \sum \frac{a}{bcd+1} \leq 3[/TEX]

giả su:
[TEX]m=min(a,b,c,d) \Rightarrow m \geq abcd +1[/TEX]
và [TEX]A \leq \sum \frac{a}{m} \leq \sum \frac{a+b+c+d}{abcd+1}[/TEX]
mà [TEX]a+b+c+d \leq 3+abcd \Rightarrow A \leq \frac{3+abcd}{1+abcd} \leq 3[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]1) a,b,c > 0. CM :\sum\frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}[/TEX]
[TEX]2) a,b,c >0. CM : \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}[/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]2) a,b,c >0. CM : \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}[/TEX]

[TEX]\blue \Leftrightarrow 2(\sum a)(\sum ab) \geq 2abc +\prod(a+b)+2\sqrt{2abc\prod(a+b)}[/TEX]

[TEX]\blue \Leftrightarrow (\sum a)(\sum ab) \geq abc +2\sqrt{2abc\prod(a+b)}[/TEX]

[TEX]\blue \Leftrightarrow \prod(a+b) \geq 2\sqrt{2abc\prod(a+b)}[/TEX]

[TEX]\blue \Leftrightarrow \sqrt{\prod(a+b)} \geq 2\sqrt{2abc}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \blue \prod(a+b) \geq 8abc \ ( \rightarrow True) \rightarrow dpcm[/TEX]

 

[conami]

[TEX]1) a,b,c > 0. CM :\sum\frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}[/TEX]

Ta có:
[TEX]\frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{b+3c} \geq \frac{4}{2a+2b+4c} = \frac{2}{a+b+2c} [/TEX]
Tương tự với 2 số hạng còn lại và cộng theo vế 3 đẳng thức thu đc là đc ĐPCM
Dấu "=" <=> a=b=c>0

 

[bboy114crew]

cho a,b,c dương. CMR
[tex] \frac{b+c}{2 a^{2} +bc}+ \frac{c+a}{2 b^{2}+ca }+ \frac{a+b}{2 c^{2}+ab } \geq \frac{6}{a+b+c}[/tex]

 

[lelinh19lucky]

chém thử:
theo cauchy
BDT <=> [TEX]\frac{4(a+b+c)^2}{(2a^2+bc)(b+c)+...}[/TEX]\geq[TEX]\frac{6}{a+b+c}[/TEX]
đặt mẫu của phân thức vế phải là S ta CM
S\leq[TEX]\frac{2}{3}[/TEX](a+b+c)^3
lại có
S=(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3+6abc)
\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+6abc\geq[TEX]\frac{1}{3}[/TEX](a+b+c)^3
cái này thì chịu
(em mới học sai mong mọi người bỏ qua)

 

[viet_tranmaininh]

Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] là 1 tam giác nhọn.
C/m
[TEX]\frac{cos^2A}{cosA +1}+ \frac{cos^2B}{cosB +1}+ \frac{cos^2C}{cosC +1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

 

[quan8d]

Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] là 1 tam giác nhọn.
C/m
[TEX]\frac{cos^2A}{cosA +1}+ \frac{cos^2B}{cosB +1}+ \frac{cos^2C}{cosC +1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]Cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \rightarrow \frac{cos^2A}{cosA+1} = \frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2+2bc(b^2+c^2-a^2)}[/TEX]
[TEX]\rightarrow VT = \sum \frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2+2bc(b^2+c^2-a^2)} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4\sum a^2b^2+2\sum a^3b-2abc(a+b+c)}[/TEX]
[TEX](a^2+b^2+c^2)^2 - 2\sum a^2b^2+\sum a^3b-2abc(a+b+c) \geq 0[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3 ( AM-GM )[/TEX]
[TEX]\Rightarrow DONE[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho a,b,c là ba số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
[tex]\ a^2+b^2+c^2 \geq \sum\frac{ 2a^2(b^2+c^2)}{ (a+b)(a+c)}[/tex]

 

[viet_tranmaininh]

Cho x, y, z>0
C/m: [TEX]2(x^3 +y^3+z^3) +3xyz \geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)[/TEX]
Dấu"=" xẩy khi ra ?

 

[dandoh221]

Cho x, y, z>0
C/m: [TEX]2(x^3 +y^3+z^3) +3xyz \geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)[/TEX]
Dấu"=" xẩy khi ra ?

Schur bậc 3 : [TEX]x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2y+y^2z+z^2x + xy^2 + yz^2+xz^2[/TEX]
AM-GM : [TEX]x^3+xy^2 + y^3 + yz^2 + z^3+zx^2 \ge 2(x^2y+y^2z+z^2x)[/TEX]
Cộng 2 bdt lại ta có đpcm

 

[01263812493]

[TEX]\blue Let \ x,y,z>-1 \ and \ \sum x^3 \geq \sum x^2. Prove:[/TEX]
[TEX]\blue \sum x^5 \geq \sum x^2[/TEX]

 

[bboy114crew]

[TEX]\blue Let \ x,y,z>-1 \ and \ \sum x^3 \geq \sum x^2. Prove:[/TEX]
[TEX]\blue \sum x^5 \geq \sum x^2[/TEX]

vì [TEX] x > -1 \Rightarrow x+2 > 1 > 0[/TEX]do đó:
[TEX](x+2)(x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow x^3-3x+2 \geq 0 \Rightarrow x^3 \geq 3x-2 \Rightarrow x^5 \geq 3x^3-2x^2[/TEX]
tương tự:
[TEX]y^5 \geq 3y^3-2y^2[/TEX]
[TEX]z^5 \geq 3z^3-2z^2[/TEX]
cộng vế với vế ta có:
[TEX] \sum x^5 \geq 3\sum x^3 - 2\sum x^2 \geq \sum x^2[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho [tex]a,b,c,d \ge 1[/tex] Chứng minh rằng :[tex] \frac {1}{1 + a^2} + \frac{1}{1+ b^2} \ge \frac{2}{1 + ab}[/tex]

[tex]\frac {1}{1 + a^4} + \frac{1}{1+ b^4}+ \frac{1}{1+ c^4}+ \frac{1}{1+ d^4} \ge \frac{4}{1 + abcd} [/tex]

 

[ohmymath]

Cho [tex]a,b,c,d \ge 1[/tex] Chứng minh rằng :[tex] \frac {1}{1 + a^2} + \frac{1}{1+ b^2} \ge \frac{2}{1 + ab}[/tex]

[tex]\frac {1}{1 + a^4} + \frac{1}{1+ b^4}+ \frac{1}{1+ c^4}+ \frac{1}{1+ d^4} \ge \frac{4}{1 + abcd} [/tex]

Bài này mình chứng minh thế này ko biết có đúng ko??

a; [TEX]\frac {1}{1 + a^2} + \frac{1}{1+ b^2} \ge \frac{2}{1 + ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [\frac {1}{1 + a^2}-\frac{1}{1 + ab}]+[\frac {1}{1 + b^2}-\frac{1}{1 + ab}]\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(\frac{b}{(1+b^2)(1+ab)}-\frac{a}{(1+a^2)(1+ab)})\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2.(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\geq0[/TEX]
Vì a;b[TEX]\geq1[/TEX] nên điều trên là hiển nhiên đúng!!
Vậy ta có điều phải chứng minh!
b; Ý này thì áp dụng ý a lần lượt 3 lần cho [TEX]a^4;b^4[/TEX] rồi [TEX]c^4;d^4[/TEX] và [TEX](ab)^2;(cd)^2[/TEX] là OK

Mấy cái bdt này quên lắm/ Nhưng mình chả nhớ nổi tên(

 

[asroma11235]

Dạng BDT Jensen bảo sao mà thấy quen:
Dạng tổng quát nè:
Cho a(i) \geq 1 ;i=1,2,3...,n(n thuộc N) , thì:
[TEX]\frac{1}{a1+1}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{a2+1}[/TEX]+...+[TEX]\frac{1}{1+an}[/TEX] \geq [TEX]\frac{n}{1+\sqrt[n]{a1.a2....an}}[/TEX]
Và: cho 0<ai \leq 1; i=1,2,3...,n(n thuộc N) , thì:
[TEX]\frac{1}{a1+1}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{a2+1}[/TEX]+...+[TEX]\frac{1}{1+an}[/TEX] \leq [TEX]\frac{n}{1+\sqrt[n]{a1.a2....an}}[/TEX]

Có thể chứng minh bằng quy nạp
Còn bài 1 thì nhân ra cũng dc:
BDT (1) \Leftrightarrow [TEX](2+a^2+b^2)(1+ab)\geq 2(1+a^2)(1+b^2)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2+a^2+b^2+2ab+ab(a^2+b^2)\geq2(1+a^2+b^2+a^2b^2)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2ab-a^2-b^2+ab(a^2+b^2)-2a^2b^2\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]ab(a-b)^2-(a-b)^2 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \geq 0 (đúng vì ab\geq1)
Còn câu b tớ đồng ý vs ý kiến của ohmymath

 

[bboy114crew]

một bài khá hay~!
cho [TEX]1 \leq a,b,c \leq 3[/TEX]
[TEX]a+b+c=6[/TEX]
tìm max:
[TEX]A=a^2+b^2+c^2[/TEX]

 

[conami]

một bài khá hay~!
cho [TEX]1 \leq a,b,c \leq 3[/TEX]
[TEX]a+b+c=6[/TEX]
tìm max:
[TEX]A=a^2+b^2+c^2[/TEX]

Đặt x=a-1 , y=b-1, z=c-1
=> x + y+ z =3 và 0\leqx,y,z\leq2
Xét tích:
[TEX](x-2)(y-2)(z-2)\leq0[/TEX]
<=> [TEX]xyz - 2(xy+yz+zx) + 4(x+y+z) -8 \leq0[/TEX]
<=> [TEX]xyz - 2(xy+yz+zx) \leq -4[/TEX]
Mặt khác [TEX]x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy+yz+zx) =9[/TEX]
=> [TEX]x^{2} + y^{2} + z^{2} + xyz \leq 5[/TEX]
=> [TEX]x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 5[/TEX]
<=> [TEX]a^{2} - 2a +1 + b^{2} - 2b +1 + c^{2} - 2c +1 \leq5[/TEX]
<=> [TEX]A\leq14[/TEX]
Dấu bằng xãy ra <=> (a,b,c)=(1,2,3) và các hoán vị

 

[conami]

1)Cho x,y,z dương thoả mãn [TEX]xy+yz+zx = \frac{9}{4}[/TEX]
Tìm min của [TEX]A=x^{2} +14y^{2} + 10z^{2} -4\sqrt{2y}[/TEX]
2) Cho 0\leqx,y,z \leq4 và x+y+z =6. Tìm max của [TEX]B=x^{3} +y^{3} +z^{3} +[/TEX]

 

[01263812493]

[tex]\blue Let \ x^2+y^2=14x+6y+6. \ Max: \ 3x+4y ....? [/tex]