Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[bboy114crew]

1)Cho a,b,c >0 ,a+b+c=3 .CMR:
[tex]\frac{a^2}{a+2} + \frac{b^2}{b+2} + \frac{c^2}{c+2} \leq \frac{3}{ab+bc+ac}[/tex]
2)cho các số dương a,b,c CMR:
[TEX]2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)[/TEX]

 

[01263812493]

). [tex]\blue Min: [/tex]
[tex]\blue xy(x-y)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36[/tex]

 

[bboy114crew]

1)
2)cho các số dương a,b,c CMR:
[TEX]2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)[/TEX]

áp dụng BĐT cauchy ta có:
[TEX]a+b+c = \frac{1}{3}.3.(a+b+c) \leq \frac{1}{6}[9+(a+b+c)^2][/TEX]
do đó ta chỉ cần CM:
[TEX]12(a^2+b^2+c^2) +6abc+48\geq 5[9+(a+b+c)^2] [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow7(a^2+b^2+c^2) +6abc + 3 \geq 10(ab+bc+ ac)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + 3[a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ac)] \geq 0[/TEX]đúng vì [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac[/TEX]
phần còn lại là dành cho các bạn CM:
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ac)[/TEX]
mọi người làm nhé dễ thôi!
p\s: mình nghĩ bạn 01263812493 nên làm hết bài người khác post trước khi post tiếp!

 

[herrycuong_boy94]

cHO a+b+c=4.
tÌM MAX :

 

[ohmymath]

cHO A+B+C=4.
tÌM MAX :

Bạn ơi a;b;c có dương ko vậy?? Vì nếu không ta chỉ cần chọn a;b trái dấu nhau và nhỏ tuỳ ý như a=b=-1000 rồi c=2004 chẳng hạn thì không thê tìm được max!!!
Nếu a;b;c[TEX]\geq[/TEX] 0 thì nếu mình không nhầm ra Max =16 !!

 

[herrycuong_boy94]

Bạn ơi a;b;c có dương ko vậy?? Vì nếu không ta chỉ cần chọn a;b trái dấu nhau và nhỏ tuỳ ý như a=b=-1000 rồi c=2004 chẳng hạn thì không thê tìm được max!!!
Nếu a;b;c[TEX]\geq[/TEX] 0 thì nếu mình không nhầm ra Max =16 !!

>-
Quên mấy, a,b ,c là 3 cạnh của một tam giác ( đề thi hsg tỉnh)

 

[01263812493]

[TEX]a,b,c \in R^+ . Prove that :[/TEX]
[TEX]\sum \sqrt{ab(a+b)} \geq \sqrt{4abc+\prod (a+b)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2( \sum a\sqrt{bc(a+b)(a+c)}) \geq 6abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{\sqrt{bc}} \geq \sum \frac{a +\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}} >3[/TEX]

 

[dandoh221]

lạ

ai thử làm đi:
[TEX]x,y,z \ge 1[/TEX]
[TEX]\sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1} \le \sqrt{c(ab+1)}[/TEX]

 

[01263812493]

cúi cùng cũng ra

1)Cho a,b,c >0 ,a+b+c=3 .CMR:
[tex]\frac{a^2}{a+2} + \frac{b^2}{b+2} + \frac{c^2}{c+2} \leq \frac{3}{ab+bc+ac}[/tex]

[TEX]BDT \Leftrightarrow \sum \frac{2a}{a+2} \geq 3- \frac{3}{ab+bc+ac}[/TEX]
Lại có: [TEX]\sum \frac{2a}{a+2} \geq \frac{18}{\sum a^2 +6}[/TEX]
Ta C/m: [TEX]\frac{18}{\sum a^2 +6} \geq 3- \frac{3}{ab+bc+ac}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{6}{15-2(\sum ab)} \geq 1- \frac{1}{\sum ab}(*)[/TEX]
[TEX]Dat: \ \sum ab=x \Rightarrow x \leq 3[/TEX]
[TEX](*) \Leftrightarrow (2x-5)(x-3) \geq 0 \ (dung') \ \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[bboy114crew]

tiếp 1 bài!
Cho x,y,z>o và [tex]x+y+z \leq \frac{3}{2}[/tex].CM [tex]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \frac{3}{2}\sqrt{17}[/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

tiếp 1 bài!
Cho x,y,z>o và [tex]x+y+z \leq \frac{3}{2}[/tex].CM [tex]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \frac{3}{2}\sqrt{17}[/tex]

[TEX]\sum_{cyc}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{9}{x+y+z}})^2}\geq 3\sqrt{\sqrt[3]{(xyz)^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{(xyz)^2}}[/TEX]
đặt [TEX]a=\sqrt[3]{(xyz)^2}\leq (\frac{x+y+z}{3})^3=\frac14[/TEX]
[TEX]\sum_{cyc}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq 3\sqrt{a+\frac{1}{a}}=3\sqrt{a+\frac{1}{16a}+\frac{15}{16a}}\geq 3\sqrt{\frac 12+\frac{15}{16a}}\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho [tex]x , y >0[/tex] . [tex]x^2+y^2 = 4[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của [tex]\frac{xy}{x+y+2}[/tex]

 

[bboy114crew]

Cho [tex]x , y >0[/tex] . [tex]x^2+y^2 = 4[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của [tex]\frac{xy}{x+y+2}[/tex]

 

[math_life6196]

Cho [tex]x , y >0[/tex] . [tex]x^2+y^2 = 4[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của [tex]\frac{xy}{x+y+2}[/tex]

Vì nó dương nên lộn ngược ta có :
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy} \geq \frac{4}{x+y}+\frac{4}{x^2+y^2} \geq \frac{4}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}+1 = \sqrt{2}+1[/TEX]
[TEX]\rightarrow \frac{xy}{x+y+2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow x = y = \sqrt{2}[/TEX]

 

[math_life6196]

Cho [tex]x , y >0[/tex] . [tex]x^2+y^2 = 4[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của [tex]\frac{xy}{x+y+2}[/tex]

Vì nó dương nên lộn ngược ta có :
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy} \geq \frac{4}{x+y}+\frac{4}{x^2+y^2} \geq \frac{4}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}+1 = \sqrt{2}+1[/TEX]
[TEX]\rightarrow \frac{xy}{x+y+2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow x = y = \sqrt{2}[/TEX]

 

[trydan]

Chứng minh

 

[trydan]

Chứng minh

 

[quan8d]

Chứng minh

[TEX]BDT \leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{2xy}}{\sqrt{2}} \geq \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}[/TEX]
2 vế đều dương nên có thể bình phương
[TEX]\leftrightarrow \frac{(x+y)^2-2\sqrt{2xy(x^2+y^2)}}{2} \geq \frac{(x-y)^4}{4(x+y)^2}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow 2(x+y)^4-4\sqrt{2xy(x^2+y^2)}(x+y)^2 \geq (x-y)^4[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow (x+y)^4+8xy(x^2+y^2) \geq 4\sqrt{2xy(x^2+y^2)}(x+y)^2[/TEX]
Xài AM-GM là được BĐT trên

 

[quan8d]

Chứng minh

[TEX]BDT \leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{2xy}}{\sqrt{2}} \geq \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}[/TEX]
2 vế đều dương nên có thể bình phương
[TEX]\leftrightarrow \frac{(x+y)^2-2\sqrt{2xy(x^2+y^2)}}{2} \geq \frac{(x-y)^4}{4(x+y)^2}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow 2(x+y)^4-4\sqrt{2xy(x^2+y^2)}(x+y)^2 \geq (x-y)^4[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow (x+y)^4+8xy(x^2+y^2) \geq 4\sqrt{2xy(x^2+y^2)}(x+y)^2[/TEX]
Xài AM-GM là được BĐT trên

 

[viet_tranmaininh]

Cho mình hỏi bài này nha:
Cho x,y,z>0, x+y+z= 10, x\geq5 , y\geq 3
Tìm GTLN của A= xyz. ​