[Toán 10]Bdt

[quyenuy0241]

a,b,c>0 :

$$CMR: (xy+yz+xz)(x^2y+y^2z+z^2x) \ge xyz(x+y+z)^2$$

 

[vodichhocmai]

dễ

Cho [TEX]a,b,c>0\ \ CMR:\ \ LHS:=\sum_{cyclic}\frac{1}{a^2+bc} \le \frac{a+b+c}{2abc}[/TEX]

 

[king_math96]

a,b,c>0 :

$$CMR: (xy+yz+xz)(x^2y+y^2z+z^2x) \ge xyz(x+y+z)^2$$

Áp dụng bdt cauchy schwarz ta có:

[TEX] (1/x+1/y+1/z)(z^2.x+x^2.y+y^2.z) \geq (x+y+z)^2[/TEX]
[TEX]<=>(xy+yz+zx)( z^2.x+x^2.y+y^2.z) \geq (x+y+z)^2[/TEX]

 

[king_math96]

Cho [TEX]a,b,c>0\ \ CMR:\ \ LHS:=\sum_{cyclic}\frac{1}{a^2+bc} \le \frac{a+b+c}{2abc}[/TEX]

Ta có:[TEX]\sum_{cyclic}\frac{1}{a^2+bc} \leq[/TEX][TEX] =\sum_{cyclic}\frac{1}{2.a.sqrt{bc}}[/TEX][TEX]=\sum_{cyclic}\frac{sqrt{bc}}{2abc}[/TEX] [TEX]\leq \frac{a+b+c}{2abc}.[/TEX]

Bài toán này là đề thi học sinh giỏi TPHCM năm 2002 ,nếu mình nhớ không nhàm là như vậy.

 

[king_math96]

Cho a,b,c,d >0.Cm:
$$(1-a+a^2)(1-b+b^2)(1-c+c^2)(1-d+d^2) \geq \frac{1+abcd}{2}$$

 

[duynhan1]

Cho a,b,c,d >0.Cm:
$$(1-a+a^2)(1-b+b^2)(1-c+c^2)(1-d+d^2) \geq \frac{1+abcd}{2} (1)$$

[TEX]try a=b=c=d = \frac12[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow \frac{81}{256} < \frac12 < \frac {1+abcd}{2} [/TEX] :-/

 

[quyenuy0241]

[TEX]try a=b=c=d = \frac12[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow \frac{81}{256} < \frac12 < \frac {1+abcd}{2} [/TEX] :-/

Để anh sửa rùm :

Cho a,b,c,d >0.Cm:
$$(1-a+a^2)(1-b+b^2)(1-c+c^2)(1-d+d^2) \geq (\frac{1+abcd}{2})^2$$

................................................. Có lẽ là vậy chắc là ok! roài !

 

[keja_b95]

1; cho các số dương x;y;z;t có tổng bằng 2 . tìm GTNN: [TEX]B = \frac{ (x+y+z)(x+y)}{xyzt}[/TEX]

2; tìm min:[TEX] A = \sum \frac{ 1 }{xy}[/TEX] biết [TEX]x;y;z[/TEX] dương và [TEX]x^2 +y^2 +z^2 \leq 3[/TEX]

3; tìm min của tích [TEX]xyz[/TEX] với [TEX]x;y;z[/TEX] dương ; [TEX]z \geq 60 [/TEX]và [TEX]x+y+z = 100 [/TEX]

4; cho [tex]\left{\begin{x^2 +y^2=16}\\{u^2 + v^2 = 25}\\{xu + yv\geq 20 } [/tex]

tìm [TEX]max (x+y) =??[/TEX]

...................

 

[bigbang195]

Cho a,b,c duong va [TEX]a+b+c=6[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\geq \sqrt{15+ab+bc+ca}[/TEX].

Với

và

.

Ta cần chứng minh

đến đây chuẩn hóa

thì cần chứng minh

Rất tiếc nó sai khi

và

 

[son_9f_ltv]

2; tìm min:[TEX] A = \sum \frac{ 1 }{xy}[/TEX] biết [TEX]x;y;z[/TEX] dương và [TEX]x^2 +y^2 +z^2 \leq 3[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]VT\ge \frac{9}{ab+bc+ca}\ge \frac{9}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{9}{3}=3[/TEX]

dấu = khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[vodichhocmai]

1; cho các số dương x;y;z;t có tổng bằng 2 . tìm GTNN: [TEX]B = \frac{ (x+y+z)(x+y)}{xyzt}[/TEX]

Chúng ta áp dụng bất đẳng thức

[TEX]\left{$x+y+z+t$^2\ge 4t$x+y+z$\$x+y+z$^2 \ge 4 z(x+y) \\(x+y)^2\ge 4xy[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

4; cho [tex]\left{\begin{x^2 +y^2=16}\\{u^2 + v^2 = 25}\\{xu + yv\geq 20 } [/tex]
tìm [TEX]max (x+y) =??[/TEX]

Hướng dẫn:

Chúng ta dùng lượng giác hoá bài toàn thì dễ hơn rất nhiều hoặc dùng
[TEX]20^2=$x^2 +y^2$$u^2 + v^2$\ge $xu + yv$^2=20^2[/TEX]

 

[bigbang195]

3; tìm min của tích [TEX]xyz[/TEX] với [TEX]x;y;z[/TEX] dương ; [TEX]z \geq 60 [/TEX]và [TEX]x+y+z = 100 [/TEX]

Tìm được max

đúng vì

do

chỉ có min nếu

Mình nghĩ vậy

 

[silvery21]

3; tìm min của tích [TEX]xyz[/TEX] với [TEX]x;y;z[/TEX] dương ; [TEX]z \geq 60 [/TEX]và [TEX]x+y+z = 100 [/TEX]

...................

)

gt[TEX] => y<60; z\geq 60[/TEX] nên [TEX]( 60-y)(60-z) \leq 0[/TEX]

[TEX] \Rightarrow 3600 - 60( y+z) + yz \leq 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow yz \leq 60 ( y+z-60) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow x yz \leq 60x( y+z-60) \leq 60. \frac{ ( x+y+z-60)^2 }{ 4} = 15.40^2 =.........[/TEX]

[TEX]max ( xyz) = 15.40^2 =.........[/TEX]

dấu = \Leftrightarrow [TEX]z= 60; x= y = 20 ............[/TEX];

 

[duynhan1]

)

[TEX]\Rightarrow x yz \leq 60x( y+z-60) \leq 60. \frac{ ( x+y+z-60)^2 }{ 2} = 30.40^2 =.........[/TEX]

Phải là :

[TEX] x yz \leq 60x( y+z-60) \leq 60. \frac{ ( x+y+z-60)^2 }{ 4}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX] \blue a,b,c>0[/TEX] và
[TEX]\blue \sum_{cyclic} \frac{1}{a}=1[/TEX]

[TEX]\blue \sum_{cyclic} \sqrt{a+bc} \ge \sqrt{abc}+\sum_{cyclic} \sqrt{a}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\blue a,b,c \ge 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]\blue a+b+c \ge abc[/TEX] . CM

[TEX]\blue a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3}abc[/TEX]

[TEX]\red (BMO \: \: 2001)[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\red Hong\: Kong \: 2000[/TEX]

[TEX]\blue abc=1[/TEX] và [TEX]\blue a,b,c>0[/TEX] . CM

[TEX]\blue \sum_{cyc} \frac{1+ab^2}{c^3} \ge \frac{18}{a^3+b^3+c^3}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\blue a,b,c>0[/TEX]

[TEX]\blue \sum_{cyc} \frac{a^2+2bc}{b^2+c^2} > 3[/TEX]

[TEX]\red (Russia\:\: 1999)[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\blue x,y,z \in R[/TEX]. và[TEX] \blue x^2+y^2+z^2=2[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\blue x+y+z \le 2+xyz [/TEX]

[TEX]\red (Poland \: \: 1991)[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\blue a,b,c >0[/TEX] và[TEX] \blue a+b+c=1[/TEX].

[TEX]\blue \sum a^3+6abc \ge \frac{1}{4}[/TEX]

[TEX]\red (USA \:\:1979)[/TEX]