Xét hình chóp [imath]S . A B C[/imath] thay đồi sao cho các cạnh [imath]S A, S B, S C[/imath] đôi một vuông góc với nhau. Gọi [imath]M, N, P[/imath] là trung điểm các cạnh [imath]B C, C A, A B[/imath]. Kí hiệu [imath]\alpha, \beta, \gamma[/imath] lần lượt là góc tạo bới mặt phẳng [imath](A B C)[/imath] với các mặt phằng [imath](S M N),(S N P),(S P M)[/imath]. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức [imath]T=\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma[/imath].
giup em voi moi nguoi oiiii
truong211005
Bài này ta sẽ dùng tọa độ hóa để tính nhé
Gỉa sử: [imath]A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)[/imath]
PTmp (ABC) là [imath]\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}-1=0[/imath]
[imath]\Rightarrow M(0,\dfrac{b}2, \dfrac{c}2); N(\dfrac{a}2,0,\dfrac{c}2); P(\dfrac{a}2, \dfrac{b}2, 0)[/imath]
[imath][\overrightarrow{SM};\overrightarrow{SN}]=(\dfrac{bc}4; \dfrac{ca}4;\dfrac{-ab}4)=\dfrac{abc}{4}(\dfrac{1}a;\dfrac1b;\dfrac{-1}c)[/imath]
[imath]\cos ((SMN),(ABC))=\left|\dfrac{bc}{4a}+\dfrac{ac}{4b}-\dfrac{ab}{4c}\right|:\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{16}+\dfrac{c^2a^2}{16}+\dfrac{a^2b^2}{16}}\right)[/imath]
[imath]=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{c^2}\right):\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)[/imath]
Đặt [imath](x,y,z)=\left(\dfrac{1}{a^2}; \dfrac{1}{b^2};\dfrac{1}{c^2}\right)[/imath]
khi đó [imath]\cos ((SMN),(ABC))=\dfrac{x+y-z}{x+y+z}=1-\dfrac{2z}{x+y+z}[/imath]
[imath]\Rightarrow \sin \alpha=\sqrt{1-\left(1-\dfrac{2z}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4z}{x+y+z}-\dfrac{4z^2}{(x+y+z)^2}}=\dfrac{\sqrt{4z(x+y)}}{x+y+z}[/imath]
Tương tự ta có: [imath]\sin \beta=\dfrac{\sqrt{4y(x+z)}}{x+y+z}; \sin \gamma=\dfrac{\sqrt{4x(y+z)}}{x+y+z}[/imath]
[imath]T\le \dfrac{\sqrt2(x+y+2z)}{2(x+y+z)}+\dfrac{\sqrt2(x+2y+z)}{2(x+y+z)}+\dfrac{\sqrt2(2x+y+z)}{2(x+y+z)}=2\sqrt2[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=c\Leftrightarrow SA=SB=SC[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
