Toán 11 Xét hình chóp S.ABCS . A B C thay đồi sao cho các cạnh SA,SB,SCS A, S B, S C

[truong211005]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét hình chóp $S . A B C$ thay đồi sao cho các cạnh $S A, S B, S C$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $B C, C A, A B$. Kí hiệu $\alpha, \beta, \gamma$ lần lượt là góc tạo bới mặt phẳng $(A B C)$ với các mặt phằng $(S M N),(S N P),(S P M)$. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức $T=\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma$.

giup em voi moi nguoi oiiii

 

[Alice_www]

Xét hình chóp $S . A B C$ thay đồi sao cho các cạnh $S A, S B, S C$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $B C, C A, A B$. Kí hiệu $\alpha, \beta, \gamma$ lần lượt là góc tạo bới mặt phẳng $(A B C)$ với các mặt phằng $(S M N),(S N P),(S P M)$. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức $T=\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma$.

giup em voi moi nguoi oiiii

truong211005
Bài này ta sẽ dùng tọa độ hóa để tính nhé
Gỉa sử: $A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)$
PTmp (ABC) là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}-1=0$
$\Rightarrow M(0,\dfrac{b}2, \dfrac{c}2); N(\dfrac{a}2,0,\dfrac{c}2); P(\dfrac{a}2, \dfrac{b}2, 0)$
$[\overrightarrow{SM};\overrightarrow{SN}]=(\dfrac{bc}4; \dfrac{ca}4;\dfrac{-ab}4)=\dfrac{abc}{4}(\dfrac{1}a;\dfrac1b;\dfrac{-1}c)$
$\cos ((SMN),(ABC))=\left|\dfrac{bc}{4a}+\dfrac{ac}{4b}-\dfrac{ab}{4c}\right|:\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{16}+\dfrac{c^2a^2}{16}+\dfrac{a^2b^2}{16}}\right)$
$=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{c^2}\right):\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)$
Đặt $(x,y,z)=\left(\dfrac{1}{a^2}; \dfrac{1}{b^2};\dfrac{1}{c^2}\right)$
khi đó $\cos ((SMN),(ABC))=\dfrac{x+y-z}{x+y+z}=1-\dfrac{2z}{x+y+z}$
$\Rightarrow \sin \alpha=\sqrt{1-\left(1-\dfrac{2z}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4z}{x+y+z}-\dfrac{4z^2}{(x+y+z)^2}}=\dfrac{\sqrt{4z(x+y)}}{x+y+z}$
Tương tự ta có: $\sin \beta=\dfrac{\sqrt{4y(x+z)}}{x+y+z}; \sin \gamma=\dfrac{\sqrt{4x(y+z)}}{x+y+z}$
$T\le \dfrac{\sqrt2(x+y+2z)}{2(x+y+z)}+\dfrac{\sqrt2(x+2y+z)}{2(x+y+z)}+\dfrac{\sqrt2(2x+y+z)}{2(x+y+z)}=2\sqrt2$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c\Leftrightarrow SA=SB=SC$

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc