Toán 9 Ước nguyên tố của một số

Cheems

Học sinh chăm học
Thành viên
12 Tháng mười một 2020
642
579
121
Hà Nội
THCS ko noi

Attachments

  • BTVN 9T0 Số 04.09.jpg
    BTVN 9T0 Số 04.09.jpg
    61.7 KB · Đọc: 23

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,869
11,464
1,116
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
2. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q \geq r[/TEX]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} q+n \vdots rp\\ r+n \vdots pq \end{matrix}\right.\Rightarrow (q+n)-(r+n) \vdots p \Rightarrow q-r \vdots p[/tex]
Vì [TEX]p \geq q \geq r \Rightarrow 0 \leq q-r < p \Rightarrow q=r[/TEX]
Từ đó [tex]\frac{p+n}{qr}=\frac{p+n}{q^2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n+p \vdots q^2 \Rightarrow n=kq^2-p[/tex]
[TEX]\frac{q+n}{rp}=\frac{q+kq^2-p}{pq} \in \mathbb{Z} \Rightarrow kq^2+q-p \vdots pq \Rightarrow kq^2+q-p \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q[/TEX](đpcm)
3. Để cho gọn ta chỉ xét [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]d=\frac{2n^2}{k}[/TEX]
Ta có: [tex]n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2.\frac{k+2}{k}=\frac{n^2}{k^2}.(k^2+2k)[/tex]
Để [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương thì [TEX]k^2+2k[/TEX] là số chính phương. Mà [TEX]k^2 < k^2+2k<(k+1)^2[/TEX] nên ta có đpcm.
4. Nhận thấy [tex](n,n+1)=1[/tex] nên [TEX]n+24[/TEX] phải chứa tất cả các ước nguyên tố của [TEX]n[/TEX]
Mà [TEX](n,n+24)=(24,n) [/TEX] là ước của [TEX]24 \Rightarrow n=2^x.3^y[/TEX]
Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=2^x.3^y.(2^x.3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(2^x.3^y+1)(2^x.3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Ta thấy: [TEX]n+9,n+1[/TEX] phải có ít nhất 1 ước nguyên tố chung, giả sử là [TEX]p[/TEX].
Khi đó nếu [TEX]x \neq 0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^x.3^y+1 \vdots p\\ 2^x.3^y+9 \vdots p \end{matrix}\right. \Rightarrow 8 \vdots p \Rightarrow p=2\Rightarrow 1 \vdots p[/tex](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]x=0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=3^y(3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(3^y+1)(3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]3^y+1[/TEX]
Vì 2 số trên chung tập ước nguyên tố, [TEX](3^y,3^y+1)=1[/TEX] nên [TEX]3^y+9 \vdots d \Rightarrow 8 \vdots d \Rightarrow d=2[/TEX]
Từ đó [TEX]3^y+1=2^z[/TEX]
Với [TEX]y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow n=1[/TEX]
Với [TEX]y \geq 1\Rightarrow 2^z \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow z \vdots 2[/TEX]
Đặt [TEX]z=2t \Rightarrow 3^y=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1) \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^t-1=3^m\\ 2^t+1=3^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^n-3^m=2 \Rightarrow m=0 \Rightarrow n=1 \Rightarrow y=m+n=1 \Rightarrow n=3[/tex]
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=3[/TEX].

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi ngay tại topic này nhé.
 

Cheems

Học sinh chăm học
Thành viên
12 Tháng mười một 2020
642
579
121
Hà Nội
THCS ko noi
2. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q \geq r[/TEX]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} q+n \vdots rp\\ r+n \vdots pq \end{matrix}\right.\Rightarrow (q+n)-(r+n) \vdots p \Rightarrow q-r \vdots p[/tex]
Vì [TEX]p \geq q \geq r \Rightarrow 0 \leq q-r < p \Rightarrow q=r[/TEX]
Từ đó [tex]\frac{p+n}{qr}=\frac{p+n}{q^2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n+p \vdots q^2 \Rightarrow n=kq^2-p[/tex]
[TEX]\frac{q+n}{rp}=\frac{q+kq^2-p}{pq} \in \mathbb{Z} \Rightarrow kq^2+q-p \vdots pq \Rightarrow kq^2+q-p \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q[/TEX](đpcm)
3. Để cho gọn ta chỉ xét [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]d=\frac{2n^2}{k}[/TEX]
Ta có: [tex]n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2.\frac{k+2}{k}=\frac{n^2}{k^2}.(k^2+2k)[/tex]
Để [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương thì [TEX]k^2+2k[/TEX] là số chính phương. Mà [TEX]k^2 < k^2+2k<(k+1)^2[/TEX] nên ta có đpcm.
4. Nhận thấy [tex](n,n+1)=1[/tex] nên [TEX]n+24[/TEX] phải chứa tất cả các ước nguyên tố của [TEX]n[/TEX]
Mà [TEX](n,n+24)=(24,n) [/TEX] là ước của [TEX]24 \Rightarrow n=2^x.3^y[/TEX]
Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=2^x.3^y.(2^x.3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(2^x.3^y+1)(2^x.3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Ta thấy: [TEX]n+9,n+1[/TEX] phải có ít nhất 1 ước nguyên tố chung, giả sử là [TEX]p[/TEX].
Khi đó nếu [TEX]x \neq 0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^x.3^y+1 \vdots p\\ 2^x.3^y+9 \vdots p \end{matrix}\right. \Rightarrow 8 \vdots p \Rightarrow p=2\Rightarrow 1 \vdots p[/tex](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]x=0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=3^y(3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(3^y+1)(3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]3^y+1[/TEX]
Vì 2 số trên chung tập ước nguyên tố, [TEX](3^y,3^y+1)=1[/TEX] nên [TEX]3^y+9 \vdots d \Rightarrow 8 \vdots d \Rightarrow d=2[/TEX]
Từ đó [TEX]3^y+1=2^z[/TEX]
Với [TEX]y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow n=1[/TEX]
Với [TEX]y \geq 1\Rightarrow 2^z \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow z \vdots 2[/TEX]
Đặt [TEX]z=2t \Rightarrow 3^y=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1) \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^t-1=3^m\\ 2^t+1=3^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^n-3^m=2 \Rightarrow m=0 \Rightarrow n=1 \Rightarrow y=m+n=1 \Rightarrow n=3[/tex]
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=3[/TEX].

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi ngay tại topic này nhé.
Cho em hỏi câu 2 ạ
Tại sao mk lại phải đi cm q-r chia hết cho p ạ ?
 

Cheems

Học sinh chăm học
Thành viên
12 Tháng mười một 2020
642
579
121
Hà Nội
THCS ko noi
Nếu thế thì p > q-r ( G sử ) còn lại là q-r > p => p = q-r chứ ạ ?
 

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,869
11,464
1,116
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Nếu thế thì p > q-r ( G sử ) còn lại là q-r > p => p = q-r chứ ạ ?
Nếu [TEX]q-r > p[/TEX] thì không chứng minh được [TEX]q-r=p[/TEX] nhé. Khi đó thì ta chỉ đặt được [TEX]q-r=kp(k>0)[/TEX] thôi.
Vì vậy cho nên ta cố gắng sử dụng giả thiết sắp xếp sao cho có lợi nhất có thể.
 
  • Like
Reactions: kido2006

Cheems

Học sinh chăm học
Thành viên
12 Tháng mười một 2020
642
579
121
Hà Nội
THCS ko noi
Nếu [TEX]q-r > p[/TEX] thì không chứng minh được [TEX]q-r=p[/TEX] nhé. Khi đó thì ta chỉ đặt được [TEX]q-r=kp(k>0)[/TEX] thôi.
Vì vậy cho nên ta cố gắng sử dụng giả thiết sắp xếp sao cho có lợi nhất có thể.
Chị trình bày kỹ lại bài 2 được không ạ , em thấy khó hiểu quá ạ :(

2. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q \geq r[/TEX]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} q+n \vdots rp\\ r+n \vdots pq \end{matrix}\right.\Rightarrow (q+n)-(r+n) \vdots p \Rightarrow q-r \vdots p[/tex]
Vì [TEX]p \geq q \geq r \Rightarrow 0 \leq q-r < p \Rightarrow q=r[/TEX]
Từ đó [tex]\frac{p+n}{qr}=\frac{p+n}{q^2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n+p \vdots q^2 \Rightarrow n=kq^2-p[/tex]
[TEX]\frac{q+n}{rp}=\frac{q+kq^2-p}{pq} \in \mathbb{Z} \Rightarrow kq^2+q-p \vdots pq \Rightarrow kq^2+q-p \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q[/TEX](đpcm)
3. Để cho gọn ta chỉ xét [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]d=\frac{2n^2}{k}[/TEX]
Ta có: [tex]n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2.\frac{k+2}{k}=\frac{n^2}{k^2}.(k^2+2k)[/tex]
Để [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương thì [TEX]k^2+2k[/TEX] là số chính phương. Mà [TEX]k^2 < k^2+2k<(k+1)^2[/TEX] nên ta có đpcm.
4. Nhận thấy [tex](n,n+1)=1[/tex] nên [TEX]n+24[/TEX] phải chứa tất cả các ước nguyên tố của [TEX]n[/TEX]
Mà [TEX](n,n+24)=(24,n) [/TEX] là ước của [TEX]24 \Rightarrow n=2^x.3^y[/TEX]
Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=2^x.3^y.(2^x.3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(2^x.3^y+1)(2^x.3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Ta thấy: [TEX]n+9,n+1[/TEX] phải có ít nhất 1 ước nguyên tố chung, giả sử là [TEX]p[/TEX].
Khi đó nếu [TEX]x \neq 0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^x.3^y+1 \vdots p\\ 2^x.3^y+9 \vdots p \end{matrix}\right. \Rightarrow 8 \vdots p \Rightarrow p=2\Rightarrow 1 \vdots p[/tex](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]x=0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=3^y(3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(3^y+1)(3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]3^y+1[/TEX]
Vì 2 số trên chung tập ước nguyên tố, [TEX](3^y,3^y+1)=1[/TEX] nên [TEX]3^y+9 \vdots d \Rightarrow 8 \vdots d \Rightarrow d=2[/TEX]
Từ đó [TEX]3^y+1=2^z[/TEX]
Với [TEX]y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow n=1[/TEX]
Với [TEX]y \geq 1\Rightarrow 2^z \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow z \vdots 2[/TEX]
Đặt [TEX]z=2t \Rightarrow 3^y=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1) \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^t-1=3^m\\ 2^t+1=3^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^n-3^m=2 \Rightarrow m=0 \Rightarrow n=1 \Rightarrow y=m+n=1 \Rightarrow n=3[/tex]
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=3[/TEX].

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi ngay tại topic này nhé.
Cho em hỏi bài 4 là tại sao d=2 thì 3^y+1 = 2^z ạ ?
 
Last edited by a moderator:

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,869
11,464
1,116
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Chị trình bày kỹ lại bài 2 được không ạ , em thấy khó hiểu quá ạ :(
Em thấy khó hiểu chỗ nào vậy nhỉ?
Cho em hỏi bài 4 là tại sao d=2 thì 3^y+1 = 2^z ạ ?
Bởi vì ta đang gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố bất kỳ của [TEX]3^y+1[/TEX] nên nếu [TEX]d=2[/TEX] thì [TEX]3^y+1[/TEX] chỉ có ước nguyên tố duy nhất là 2, nên [TEX]3^y+1[/TEX] có dạng [TEX]2^z[/TEX]
 
Top Bottom