Toán 9 Ước nguyên tố của một số

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mong mn giúp gấp ạ ! Làm văn tắt thôi cũng được ạ !

 

[7 1 2 5]

2. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q \geq r[/TEX]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} q+n \vdots rp\\ r+n \vdots pq \end{matrix}\right.\Rightarrow (q+n)-(r+n) \vdots p \Rightarrow q-r \vdots p[/tex]
Vì [TEX]p \geq q \geq r \Rightarrow 0 \leq q-r < p \Rightarrow q=r[/TEX]
Từ đó [tex]\frac{p+n}{qr}=\frac{p+n}{q^2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n+p \vdots q^2 \Rightarrow n=kq^2-p[/tex]
[TEX]\frac{q+n}{rp}=\frac{q+kq^2-p}{pq} \in \mathbb{Z} \Rightarrow kq^2+q-p \vdots pq \Rightarrow kq^2+q-p \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q[/TEX](đpcm)
3. Để cho gọn ta chỉ xét [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]d=\frac{2n^2}{k}[/TEX]
Ta có: [tex]n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2.\frac{k+2}{k}=\frac{n^2}{k^2}.(k^2+2k)[/tex]
Để [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương thì [TEX]k^2+2k[/TEX] là số chính phương. Mà [TEX]k^2 < k^2+2k<(k+1)^2[/TEX] nên ta có đpcm.
4. Nhận thấy [tex](n,n+1)=1[/tex] nên [TEX]n+24[/TEX] phải chứa tất cả các ước nguyên tố của [TEX]n[/TEX]
Mà [TEX](n,n+24)=(24,n) [/TEX] là ước của [TEX]24 \Rightarrow n=2^x.3^y[/TEX]
Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=2^x.3^y.(2^x.3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(2^x.3^y+1)(2^x.3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Ta thấy: [TEX]n+9,n+1[/TEX] phải có ít nhất 1 ước nguyên tố chung, giả sử là [TEX]p[/TEX].
Khi đó nếu [TEX]x \neq 0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^x.3^y+1 \vdots p\\ 2^x.3^y+9 \vdots p \end{matrix}\right. \Rightarrow 8 \vdots p \Rightarrow p=2\Rightarrow 1 \vdots p[/tex](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]x=0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=3^y(3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(3^y+1)(3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]3^y+1[/TEX]
Vì 2 số trên chung tập ước nguyên tố, [TEX](3^y,3^y+1)=1[/TEX] nên [TEX]3^y+9 \vdots d \Rightarrow 8 \vdots d \Rightarrow d=2[/TEX]
Từ đó [TEX]3^y+1=2^z[/TEX]
Với [TEX]y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow n=1[/TEX]
Với [TEX]y \geq 1\Rightarrow 2^z \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow z \vdots 2[/TEX]
Đặt [TEX]z=2t \Rightarrow 3^y=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1) \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^t-1=3^m\\ 2^t+1=3^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^n-3^m=2 \Rightarrow m=0 \Rightarrow n=1 \Rightarrow y=m+n=1 \Rightarrow n=3[/tex]
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=3[/TEX].

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi ngay tại topic này nhé.

 

[Cheems]

2. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q \geq r[/TEX]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} q+n \vdots rp\\ r+n \vdots pq \end{matrix}\right.\Rightarrow (q+n)-(r+n) \vdots p \Rightarrow q-r \vdots p[/tex]
Vì [TEX]p \geq q \geq r \Rightarrow 0 \leq q-r < p \Rightarrow q=r[/TEX]
Từ đó [tex]\frac{p+n}{qr}=\frac{p+n}{q^2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n+p \vdots q^2 \Rightarrow n=kq^2-p[/tex]
[TEX]\frac{q+n}{rp}=\frac{q+kq^2-p}{pq} \in \mathbb{Z} \Rightarrow kq^2+q-p \vdots pq \Rightarrow kq^2+q-p \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q[/TEX](đpcm)
3. Để cho gọn ta chỉ xét [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]d=\frac{2n^2}{k}[/TEX]
Ta có: [tex]n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2.\frac{k+2}{k}=\frac{n^2}{k^2}.(k^2+2k)[/tex]
Để [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương thì [TEX]k^2+2k[/TEX] là số chính phương. Mà [TEX]k^2 < k^2+2k<(k+1)^2[/TEX] nên ta có đpcm.
4. Nhận thấy [tex](n,n+1)=1[/tex] nên [TEX]n+24[/TEX] phải chứa tất cả các ước nguyên tố của [TEX]n[/TEX]
Mà [TEX](n,n+24)=(24,n) [/TEX] là ước của [TEX]24 \Rightarrow n=2^x.3^y[/TEX]
Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=2^x.3^y.(2^x.3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(2^x.3^y+1)(2^x.3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Ta thấy: [TEX]n+9,n+1[/TEX] phải có ít nhất 1 ước nguyên tố chung, giả sử là [TEX]p[/TEX].
Khi đó nếu [TEX]x \neq 0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^x.3^y+1 \vdots p\\ 2^x.3^y+9 \vdots p \end{matrix}\right. \Rightarrow 8 \vdots p \Rightarrow p=2\Rightarrow 1 \vdots p[/tex](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]x=0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=3^y(3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(3^y+1)(3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]3^y+1[/TEX]
Vì 2 số trên chung tập ước nguyên tố, [TEX](3^y,3^y+1)=1[/TEX] nên [TEX]3^y+9 \vdots d \Rightarrow 8 \vdots d \Rightarrow d=2[/TEX]
Từ đó [TEX]3^y+1=2^z[/TEX]
Với [TEX]y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow n=1[/TEX]
Với [TEX]y \geq 1\Rightarrow 2^z \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow z \vdots 2[/TEX]
Đặt [TEX]z=2t \Rightarrow 3^y=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1) \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^t-1=3^m\\ 2^t+1=3^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^n-3^m=2 \Rightarrow m=0 \Rightarrow n=1 \Rightarrow y=m+n=1 \Rightarrow n=3[/tex]
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=3[/TEX].

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi ngay tại topic này nhé.

Cho em hỏi câu 2 ạ
Tại sao mk lại phải đi cm q-r chia hết cho p ạ ?

 

[7 1 2 5]

Cho em hỏi câu 2 ạ
Tại sao mk lại phải đi cm q-r chia hết cho p ạ ?

Khi sắp xếp biến thì ta có [TEX]q,r \leq p[/TEX] nên nếu ta chứng minh được một biểu thức liên quan [TEX]q-r[/TEX] thì ta sẽ chứng minh được [TEX]q=r[/TEX]

 

[Cheems]

Nếu thế thì p > q-r ( G sử ) còn lại là q-r > p => p = q-r chứ ạ ?

 

[7 1 2 5]

Nếu thế thì p > q-r ( G sử ) còn lại là q-r > p => p = q-r chứ ạ ?

Nếu [TEX]q-r > p[/TEX] thì không chứng minh được [TEX]q-r=p[/TEX] nhé. Khi đó thì ta chỉ đặt được [TEX]q-r=kp(k>0)[/TEX] thôi.
Vì vậy cho nên ta cố gắng sử dụng giả thiết sắp xếp sao cho có lợi nhất có thể.

 

[Cheems]

Nếu [TEX]q-r > p[/TEX] thì không chứng minh được [TEX]q-r=p[/TEX] nhé. Khi đó thì ta chỉ đặt được [TEX]q-r=kp(k>0)[/TEX] thôi.
Vì vậy cho nên ta cố gắng sử dụng giả thiết sắp xếp sao cho có lợi nhất có thể.

Chị trình bày kỹ lại bài 2 được không ạ , em thấy khó hiểu quá ạ

2. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q \geq r[/TEX]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} q+n \vdots rp\\ r+n \vdots pq \end{matrix}\right.\Rightarrow (q+n)-(r+n) \vdots p \Rightarrow q-r \vdots p[/tex]
Vì [TEX]p \geq q \geq r \Rightarrow 0 \leq q-r < p \Rightarrow q=r[/TEX]
Từ đó [tex]\frac{p+n}{qr}=\frac{p+n}{q^2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n+p \vdots q^2 \Rightarrow n=kq^2-p[/tex]
[TEX]\frac{q+n}{rp}=\frac{q+kq^2-p}{pq} \in \mathbb{Z} \Rightarrow kq^2+q-p \vdots pq \Rightarrow kq^2+q-p \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q[/TEX](đpcm)
3. Để cho gọn ta chỉ xét [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]d=\frac{2n^2}{k}[/TEX]
Ta có: [tex]n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2.\frac{k+2}{k}=\frac{n^2}{k^2}.(k^2+2k)[/tex]
Để [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương thì [TEX]k^2+2k[/TEX] là số chính phương. Mà [TEX]k^2 < k^2+2k<(k+1)^2[/TEX] nên ta có đpcm.
4. Nhận thấy [tex](n,n+1)=1[/tex] nên [TEX]n+24[/TEX] phải chứa tất cả các ước nguyên tố của [TEX]n[/TEX]
Mà [TEX](n,n+24)=(24,n) [/TEX] là ước của [TEX]24 \Rightarrow n=2^x.3^y[/TEX]
Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=2^x.3^y.(2^x.3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(2^x.3^y+1)(2^x.3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Ta thấy: [TEX]n+9,n+1[/TEX] phải có ít nhất 1 ước nguyên tố chung, giả sử là [TEX]p[/TEX].
Khi đó nếu [TEX]x \neq 0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^x.3^y+1 \vdots p\\ 2^x.3^y+9 \vdots p \end{matrix}\right. \Rightarrow 8 \vdots p \Rightarrow p=2\Rightarrow 1 \vdots p[/tex](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]x=0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=3^y(3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(3^y+1)(3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
Gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]3^y+1[/TEX]
Vì 2 số trên chung tập ước nguyên tố, [TEX](3^y,3^y+1)=1[/TEX] nên [TEX]3^y+9 \vdots d \Rightarrow 8 \vdots d \Rightarrow d=2[/TEX]
Từ đó [TEX]3^y+1=2^z[/TEX]
Với [TEX]y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow n=1[/TEX]
Với [TEX]y \geq 1\Rightarrow 2^z \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow z \vdots 2[/TEX]
Đặt [TEX]z=2t \Rightarrow 3^y=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1) \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^t-1=3^m\\ 2^t+1=3^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^n-3^m=2 \Rightarrow m=0 \Rightarrow n=1 \Rightarrow y=m+n=1 \Rightarrow n=3[/tex]
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=3[/TEX].

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi ngay tại topic này nhé.

Cho em hỏi bài 4 là tại sao d=2 thì 3^y+1 = 2^z ạ ?

 

[7 1 2 5]

Chị trình bày kỹ lại bài 2 được không ạ , em thấy khó hiểu quá ạ

Em thấy khó hiểu chỗ nào vậy nhỉ?

Cho em hỏi bài 4 là tại sao d=2 thì 3^y+1 = 2^z ạ ?

Bởi vì ta đang gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố bất kỳ của [TEX]3^y+1[/TEX] nên nếu [TEX]d=2[/TEX] thì [TEX]3^y+1[/TEX] chỉ có ước nguyên tố duy nhất là 2, nên [TEX]3^y+1[/TEX] có dạng [TEX]2^z[/TEX]