Toán 10 Ứng dụng vector để chứng minh trung điểm các đoạn AB, CD, EF thẳng hàng.

[T T T T]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác ABCD có AD=BC. Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác bằng nhau ADE, BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn AB, CD, EF thẳng hàng.
Giúp mình bài này theo kiến thức vectơ 10 từ cộng, trừ đến nhân véctơ với một số đi ạ.

 

[iceghost]

Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB$, $CD$, $EF$
Ta có $2\vec{MP} = \vec{ME} + \vec{MF} = \vec{MA} + \vec{AE} + \vec{MB} + \vec{BF} = \vec{AE} + \vec{BF}$
$2\vec{MN} = \vec{MD} + \vec{MC} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{MB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{AC}$
Tịnh tiến tam giác $BFC$ theo vecto $BA$ thành tam giác $AF'C'$

Gọi $X$, $Y$ là trung điểm của $EF'$ và $DC'$. do $AE = BF = AF'$ và $AD = BC = AC'$ nên ta được hai tam giác $AEF'$ và $ADC'$ cân tại $A$, suy ra $AX, AY$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác tương ứng trong hai tam giác
Do $\widehat{EAD} = \widehat{FBC} = \widehat{F'AC'}$ và $\widehat{XAE} = \widehat{XAF'}$ nên trừ vế theo vế thì $\widehat{XAD} = \widehat{XAC'}$ nên $AX$ là tia phân giác góc $\widehat{DAC'}$, suy ra $A, X, Y$ thẳng hàng
Do $2\vec{MP} = \vec{AE} + \vec{BF} = \vec{AE} + \vec{AF'} = 2\vec{AX}$ và tương tự $2\vec{MN} = 2\vec{AY}$, do $A, X, Y$ thẳng hàng nên $\vec{AX}$ cùng phương $\vec{AY}$ hay $\vec{MP}$ cùng phương $\vec{MN}$ hay ta có đpcm