Toán 12 Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

[Kim Ngânn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho em hỏi dạng bài ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức cách làm sao vậy ạ, em không hiểu lắm ạ. Giống ví dụ dưới đây ạ :
2/3.sinx + 1/3.tanx > x ; Với 0<x<π/2
Em cảm ơn anh, chị ạ

 

[Alice_www]

Cho em hỏi dạng bài ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức cách làm sao vậy ạ, em không hiểu lắm ạ. Giống ví dụ dưới đây ạ :
2/3.sinx + 1/3.tanx > x ; Với 0<x<π/2
Em cảm ơn anh, chị ạ

Kim Ngânnbđt thường là dấu >,<, [imath]\ge, \le[/imath]

nên khi em cm đc nó đơn điệu trong khoảng (a,b) thì [imath]f(a)>f(x)> f(b)[/imath] nếu hàm nghịch biến [imath]f(a)<f(x)< f(b)[/imath] nếu hàm đồng biến
nếu khoảng xđ có dấu = thì bdt có dấu =
_______
Ví dụ bài dưới đây

Xét [imath]f(x)=\dfrac{2}3\sin x+\dfrac{1}3\tan x-x[/imath]

[imath]f'(x)=\dfrac{2}3\cos x+\dfrac{1}{3\cos ^2x}-1[/imath]

[imath]0<x<\dfrac{\pi}2\Rightarrow \cos x\in (0,1)[/imath]

Đặt [imath]t=\cos x; t\in (0,1)[/imath]

[imath]f(t)=\dfrac{2}3t+\dfrac{1}{3t^2}-1[/imath]

[imath]f'(t)=\dfrac{2}3-\dfrac{2}{3t^3}; f'(t)=0\Leftrightarrow t=1[/imath]

Dựa vào BBT ta có [imath]f(t)\in (0,+\infty)[/imath]

[imath]\Rightarrow f'(x)>0 \forall x\in (0,\dfrac{\pi}2)[/imath]

Vậy hàm f(x) đồng biến trên [imath](0,\dfrac{\pi}2)[/imath]

[imath]\Rightarrow f(x)>f(0)\: \forall x\in (0,\dfrac{\pi}2)\Rightarrow \dfrac{2}3\sin x+\dfrac{1}3\tan x>x\: \forall x\in (0,\dfrac{\pi}2)[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Hàm số và ứng dụng của đạo hàm

 

[2712-0-3]

bđt thường là dấu >,<, [imath]\ge, \le[/imath]

nên khi em cm đc nó đơn điệu trong khoảng (a,b) thì [imath]f(a)>f(x)> f(b)[/imath] nếu hàm nghịch biến [imath]f(a)<f(x)< f(b)[/imath] nếu hàm đồng biến
nếu khoảng xđ có dấu = thì bdt có dấu =
_______
Ví dụ bài dưới đây

Xét [imath]f(x)=\dfrac{2}3\sin x+\dfrac{1}3\tan x[/imath]

[imath]f'(x)=\dfrac{2}3\cos x+\dfrac{1}{3\cos ^2x}[/imath]

[imath]0<x<\dfrac{\pi}2\Rightarrow \cos x\in (0,1)[/imath]

[imath]\Rightarrow f'(x)>0 \forall x\in (0,\dfrac{\pi}2)[/imath]

Vậy hàm f đồng biến trên [imath](0,\dfrac{\pi}2)[/imath]

[imath]\Rightarrow f(x)>f(0)\: \forall x\in (0,\dfrac{\pi}2)\Rightarrow \dfrac{2}3\sin x+\dfrac{1}3\tan x>0\: \forall x\in (0,\dfrac{\pi}2)[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Hàm số và ứng dụng của đạo hàm

Alice_wwwso sánh với [imath]x[/imath] mà chị

 

[Alice_www]

so sánh với [imath]x[/imath] mà chị

2712-0-3hehee chị nhìn lộn chị sửa lại rồi nha

 

[Kim Ngânn]

Cho em hỏi tại sao Dựa vào BBT ta có f(x) thuộc (0; dương vc ) vậy ạ ?

 

[Rau muống xào]

Cho em hỏi tại sao Dựa vào BBT ta có f(x) thuộc (0; dương vc ) vậy ạ ?

Kim NgânnBởi vì [imath]f't<0\forall \ t\in (0,1)\Rightarrow f(t)[/imath] nghich biến trên đoạn [imath](0,1)[/imath]
nên [imath]f(t)[/imath] đạt giá trị nhỏ nhất tại [imath]t=1[/imath] trên khoảng [imath][0,1][/imath]
mà [imath]f(1)=0\Rightarrow f(t) >0 \forall \ t \in (0,1)[/imath]


Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Hàm số và ứng dụng của đạo hàm