Ứng dụng đạo hàm

N

nhocngo976

không bít post đâu, thui thì post ở đây lun ;))

trong mf Oxy cho tg ABC có A(1;0)
2 đt lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B,C có pt x-2y+1=0 và 3x+y-1=0. tính S tg ABC

giải ;))

[TEX]AC \ \left{\begin{ qua A \\ nhan \ u1(2,1) VTPT \right. ---> AC \\\\ --> C \\\\ tuong \ tu --> B \\\\ S=\frac{1}{2} d(B,AC).AC[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

nhocngo976

tg ABC bất kì

[TEX]CM \ \frac{1+cos (\frac{A}{2})}{A} +\frac{1+cos (\frac{B}{2})}{B}+ \frac{1+cos (\frac{C}{2})}{C} \ge 3\sqrt{3} [/TEX]
 
N

nerversaynever

nhocngo976 said:
tg ABC bất kì

[TEX]CM \ \frac{1+cos (\frac{A}{2})}{A} +\frac{1+cos (\frac{B}{2})}{B}+ \frac{1+cos (\frac{C}{2})}{C} \ge 3\sqrt{3} [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


edit hộ em nè :d
[TEX]\frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{A}{2}}}{A} + \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}{B} + \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{C}{2}}}{C} \ge 9.\frac{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{\pi }[/TEX]
 
N

nerversaynever

Xét hàm số
[TEX]f(x) = \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{x}{2}}}{x},x \in \left( {0;\pi } \right)[/TEX]

có [TEX]\begin{array}{l}f(x) = \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{x}{2}}}{x},x \in \left( {0;\pi } \right) \\ f''(x) = \frac{{ - \frac{1}{4}x^2 c{\rm{os}}\frac{x}{2} + 2 + x.\sin \frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2}}}{{x^3 }} \ge \frac{{\left( {2 - \frac{{\pi ^2 }}{4}} \right)c{\rm{os}}\frac{x}{2} + 2 + x.\sin \frac{x}{2}}}{{x^3 }} > 0 \\ \end{array}[/TEX]
do đó f(x) là hàm lõm

từ đó suy ra [TEX]f(x) - f(\frac{\pi }{3}) \ge f'(\frac{\pi }{3})\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)[/TEX]


từ đó suy ra [TEX]f(A) + f(B) + f(C) \ge 3f(\frac{\pi }{3}) + f'(\frac{\pi }{3})\left( {A + B + C - \pi } \right) = 3f(\frac{\pi }{3})[/TEX]
 
N

nhocngo976

nerversaynever said:
Xét hàm số
[TEX]f(x) = \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{x}{2}}}{x},x \in \left( {0;\pi } \right)[/TEX]

có [TEX]\begin{array}{l}f(x) = \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{x}{2}}}{x},x \in \left( {0;\pi } \right) \\ f''(x) = \frac{{ - \frac{1}{4}x^2 c{\rm{os}}\frac{x}{2} + 2 + x.\sin \frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2}}}{{x^3 }} \ge \frac{{\left( {2 - \frac{{\pi ^2 }}{4}} \right)c{\rm{os}}\frac{x}{2} + 2 + x.\sin \frac{x}{2}}}{{x^3 }} > 0 \\ \end{array}[/TEX]
do đó f(x) là hàm lõm

từ đó suy ra [TEX]f(x) - f(\frac{\pi }{3}) \ge f'(\frac{\pi }{3})\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)[/TEX]


từ đó suy ra [TEX]f(A) + f(B) + f(C) \ge 3f(\frac{\pi }{3}) + f'(\frac{\pi }{3})\left( {A + B + C - \pi } \right) = 3f(\frac{\pi }{3})[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

anh ơi, hàm lõm là hàm gì
em mới học có S1 của chương 1 thôi :((
 
N

nhocngo976

tg ABC bất kì

[TEX]CM \ \frac{1+cos (\frac{A}{2})}{A} +\frac{1+cos (\frac{B}{2})}{B}+ \frac{1+cos (\frac{C}{2})}{C} > 3\sqrt{3} [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

nhocngo976

tìm min ,max

[TEX]\color{blue}y= sin( \frac{2x}{x^2+1} )+ cos (\frac{4x}{x^2+1} )[/TEX]

nhocngo976 said:
tìm min ,max

[TEX]\color{blue}y= sin( \frac{2x}{x^2+1} )+ cos (\frac{4x}{x^2+1} )[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]y=-2sin^2 (\frac{2x}{x^2+1} ) +sin (\frac{2x}{x^2+1}) +1 \\\\ dat : \ t =sin (\frac{2x}{x^2+1} ,[/TEX]

[TEX]* t \in [-1;1][/TEX] [tex] \color{blue} dk \ nay \ sai [/tex]

[TEX]* \ xet \ \alpha = \frac{2x}{x^2+1} <=> \alpha x^2 -2x+ \alpha =0 \ co \ nghiem \ x \\\\ TH1: \alpha=0 --> x=0 \ thoa \ \\\\ TH2: \alpha \ khac \ 0 : \ <=> \Delta ' \ge 0 <=> \alpha \in [-1;1] ---> t \in [-sin1;sin1] \\\\ [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

nhocngo976

Tìm m để hs [TEX]\color{blue} y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1 [/TEX]

có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đt: [TEX]\color{blue}y=x+2[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
D

duynhan1

nhocngo976 said:
Tìm m để hs [TEX]\color{blue} y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1 [/TEX]

có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đt: [TEX]\color{blue}y=x+2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]y' = 6x^2 - 6( 2m+1) x + 6m(m+1) [/TEX]

[TEX]y' = 0 \\ \Leftrightarrow x^2 - (2m+1) x + m(m+1) = 0 (1)[/TEX]

Hàm số có cực đại, cực tiểu
[TEX]\Leftrightarrow Pt(1) \ co\ 2\ nghiem\ phan\ biet \\ \Leftrightarrow \Delta = (2m+1)^2 - 4m(m+1) >0 \\ \Leftrightarrow 1>0 (dung\ \forall m \in R) [/TEX]

Gọi các điểm cực đại, cực tiểu là [TEX]A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2) (x_1>x_2)[/TEX], thì ta có [TEX]x_1,\ x_2[/TEX] là nghiệm của phương trình (1). Theo hệ thức Vi-et ta có :
[TEX]\left{ x_1 + x_2 = 2m+1 \\ x_1.x_2 = m(m+1) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x_1 - x_2 = \sqrt{ 4m^2 + 4m +1 - 4m(m+1)} = 1 [/TEX]
[TEX]y_1 - y_2 = 2(x_1^3 - x_2^3) - 3(2m+1)(x_1^2 - x_2^2) + 6m(m+1)(x_1-x_2) \\ = 2( 1+ 3 x_1.x_2) - 3 (2m+1)( x_1+x_2) + 6m(m+1) \\ = 2 ( 1+3m(m+1)) - 3(2m+1)^2 + 6m(m+1) =-1 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow\vec{BA} = (1;-1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AB \bot d[/TEX]

[TEX]y_1 + y_2 = 2(x_1^3 + x_2^3) - 3(2m+1)(x_1^2 + x_2^2) + 6m(m+1)(x_1+x_2) + 2 \\ = 2( (2m+1)^3 - 3m(m+1)(2m+1)) - 3(2m+1)( (2m+1)^2 - 2m(m+1)) + 6m(m+1)(2m+1) + 2 \\ = 4m^3 + 6m^2 + 1 [/TEX]
A và B đối xứng qua đường thẳng (d): y=x+2 khi và chỉ khi :
[TEX]Trung\ diem\ I\ cua\ AB \in d[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{x_1+x_2}{2}+2 [/TEX]
Thế vào!! Cách là thế nhưng mà việc tính toán thì còn tùy !!
 
K

kiburkid

Kì nhỉ
Sao ta vẽ ra 2 cực trị ko vuông góc w đường x+2
Thay mấy cái m vô nó kì kì
 
N

nhocngo976

kiburkid said:
Kì nhỉ
Sao ta vẽ ra 2 cực trị ko vuông góc w đường x+2
Thay mấy cái m vô nó kì kì
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
nó vuông góc mà anh, có lẽ là với mọi m

nếu dùng cách tập hợp điểm thì dc: đt đi qua 2 điểm cực trị : [TEX]y= -x +m(m+1)(2m+1)+1[/TEX]

dễ thấy 2 đường này vuông góc với nhau :D
 
N

nhocngo976

Bài 1: Cho
 [TEX]\left{\begin{ a,b>0 \\ 2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+4) \right. \\\\ tim \ min \ P= 4( \frac{a^3}{b^3}+ \frac{b^3}{a^3}) -9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}) [/TEX]

Bài 2 : Cho x,y không đồng thời = 0. tìm min

[TEX]P=\frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2} \\\\ Q= \frac{x^2-(x-4y)^2}{x^2-4y^2}[/TEX]

Bài 3; Cho
[TEX]\left{\begin{ x,y>0 \\ x+y=1 \right. \\\\ tim \ min \ \\\\ P= \frac{x}{{\sqrt{1-x}}} + \frac{y}{\sqrt{1-y}}[/TEX]

Bài 4: Cho
[TEX]x^2+y^2+z^2=1 \ Tim \ min, \ max \\\\ P= x+y+z +xy+yz+zx[/TEX]
 
D

duynhan1

nhocngo976 said:
Bài 1: Cho
 [TEX]\left{\begin{ a,b>0 \\ 2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+4) \right. \\\\ tim \ min \ P= 4( \frac{a^3}{b^3}+ \frac{b^3}{a^3}) -9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}) [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Đại học khối B vừa rồi !!
Bài 2 : Cho x,y không đồng thời = 0. tìm min

[TEX]P=\frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2} \\\\ Q= \frac{x^2-(x-4y)^2}{x^2-4y^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Xét [TEX]y=0[/TEX].
Với [TEX]y\not= 0 [/TEX] đặt [TEX]t = \frac{x}{y}[/TEX]
Bài 3; Cho
[TEX]\left{\begin{ x,y>0 \\ x+y=1 \right. \\\\ tim \ min \ \\\\ P= \frac{x}{{\sqrt{1-x}}} + \frac{y}{\sqrt{1-y}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Thay [TEX]y = 1-x[/TEX], ta có:
[TEX]P = \frac{x^3 + (\sqrt{1-x})^3}{x .\sqrt{1-x}}[/TEX]

Đặt [TEX]t = x + \sqrt{1-x} ( 1< t \le \sqrt{2}) \Rightarrow x . \sqrt{1-x} = \frac{t^2-1}{2}[/TEX].
[TEX]P = \frac{2 t^3 - 3t(t^2-1)}{t^2-1} = \frac{3t - t^3}{t^2-1} [/TEX]
Bài 4: Cho
[TEX]x^2+y^2+z^2=1 \ Tim \ min, \ max \\\\ P= x+y+z +xy+yz+zx[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]P = x+y+z + \frac12(x+y+z)^2 - \frac12[/TEX]
[TEX]t = x+ y+ z(-\sqrt{3} \le t \le \sqrt{3} ) [/TEX]
[TEX]P = \frac12 t^2 + t - \frac12[/TEX]
 
P

pheo56

Cho hàm số [tex]y={\frac{x+2}{x+1} (C)[/tex]
Gọi (d1) x+1=0 , (d2) : y-1=0 và I là giao điểm (d1) và (d2). (d3) là 1 tiếp tuyến bất kì của đồ thị (C).Gọi A,B là giao điểm (d3) với d1 , d2 , d là khoảng cách từ I đến d3
a) tìm GTLN của d
b) CM diện tích tam giác IAB ko đổi
c) lập pt tiếp tuyến d3 sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất
d) lập pt tiếp tuyến d3 sao cho góc giữa d3 và trục Ox là 60 độ
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom