Topic về số học

[linhhuyenvuong]

2/Cminh bài toán(k nhớ tên là gì ấy nhỉ):
[TEX]a^{p-1}-1 \vdots p[/TEX]vs a là số tự nhiên k chia hết cho p và p là số nguyên tố
(hình như tên là Phéc-ma K nhớ rõ ( )

Chứng minh luôn cái này:[TEX] a^p-a \vdots p[/TEX] rồi suy ra cái trên

Nguyên văn bởi sách

-Mệnh đề đúng vs a=0
-Giả sử mệnh đề đúng vs a=k tức [TEX] A_k=k^p-k \vdots p[/TEX]
Cần c/m [TEX] A_{k+1}=(k+1)^p-k-1 \vdots p[/TEX]

Có; [TEX]A_{k+1}- A_k=[ (k+1)^p-k-1]-(k^p-k)[/TEX]

[TEX]=[k^p+pk^{p-1} +\frac{p(p-1)}{2!}. k^{p-2}+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}.k^{p-3}+.....+\frac{p(p-1)}{2!}.k^2+pk+1-k-1] -(k^p-k)[/TEX]

[TEX]=pk^{p-1}+\frac{p(p-1)}{2!}k^{p-2}+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}.k^{p-3}+....+\frac{p(p-1)}{2!}.k^2+pk (1)[/TEX]
Dạng chung của các biểu thức (1):
[TEX]\frac{p(p-1)(p-2)....(p-k+1)}{k!} \vdots p[/TEX]

\Rightarrow[TEX]A_{k+1} \vdots p[/TEX]
\Rightarrow đpcm

 

[shayneward_1997]

số có sáu chữ số

1,CMr: [TEX]\bar{abc}+\bar{deg}[/TEX] chia hết cho 37 thì [TEX]\bar{abcdeg}[/TEX] chia hết cho 37
2,Tìm a,b,c,d,e,g thỏa mãn:
a,[TEX]{(\bar{abc}+\bar{deg})}^{2}=\bar{abcdeg}[/TEX]
b,[TEX]\bar{abcdeg},\bar{bcdeg},\bar{cdeg},\bar{deg},\bar{eg}[/TEX] đều là scp

 

[son9701]

1,CMr: [TEX]\bar{abc}+\bar{deg}[/TEX] chia hết cho 37 thì [TEX]\bar{abcdeg}[/TEX] chia hết cho 37
2,Tìm a,b,c,d,e,g thỏa mãn:
a,[TEX]{(\bar{abc}+\bar{deg})}^{2}=\bar{abcdeg}[/TEX]
b,[TEX]\bar{abcdeg},\bar{bcdeg},\bar{cdeg},\bar{deg},\bar{eg}[/TEX] đều là scp

Câu 1:
Ta có: [TEX]\bar{abcdeg}-\bar{abc}-\bar{deg}=999.\bar{abc}\vdots 111 \vdots 37[/TEX]
Vậy ta đc đpcm

 

[harrypham]

2,Tìm a,b,c,d,e,g thỏa mãn:
a,[TEX]{(\bar{abc}+\bar{deg})}^{2}=\bar{abcdeg}[/TEX]

Lời giải.Đặt [TEX]\overline{abc}=A, \ \overline{deg}=B[/TEX]. Ta có:

[TEX]1000A+B=(A+B)^2 \Leftrightarrow 999A=(A+B)(A+B-1). \ \ \ \ \ (1)[/TEX]​

Do [TEX]A \le 999[/TEX] nên [TEX](A+B)(A+B-1) \le 999^2[/TEX], suy ra [TEX]A+B \le 999[/TEX].
+ Nếu [TEX]A+B=999[/TEX] thì từ [TEX](1) \Rightarrow A=998, \ B=1[/TEX]. Từ đó [TEX]\overline{abcdeg}= \fbox{998001}[/TEX].
+ Nếu [TEX]A+B <999[/TEX]. Ta có [TEX]999=27.37[/TEX]. Mặt khác:

[TEX]\left( A+B, A+B-1 \right)=1[/TEX]​

Nên trong 2 số A+B, A+B-1 có một số chia hết cho 27 và 1 số chia hêt cho 37.

Nếu [TEX]A+B \ \vdots 27, \ A+B-1 \ \vdots 37[/TEX].
Ta có: [TEX]A+B-1=37m \ (m \in \mathbb{N^*})[/TEX], hay [TEX]37m+1 \vdots 27 \Rightarrow 10m+1 \vdots 27 \Rightarrow 8m+8 \vdots 27[/TEX].
Mặt khác [TEX]81m \vdots 27[/TEX], nên [TEX]m-8 \vdots 27[/TEX], hay [TEX]m=27n+8 \ (n \in \mathbb{N})[/TEX]. Do đó ta có

[TEX]A+B-1=37(27n+8)=999n+296.[/TEX]​

Do [TEX]0 \le A+B-1 \le 997[/TEX] nên [TEX]A+B-1=996[/TEX]. Kết hợp với 1 ta có [TEX]A=88[/TEX] (loại).

Nếu [TEX]A+B \ \vdots 37, \ A+B-1 \ \vdots 27[/TEX]. Thực hiện tương tự, ta tìm được

[TEX]\overline{abcdeg}=494209[/TEX]​

Kết luận. Có hai số thỏa mãn đề bài là

[TEX]\fbox{ \fbox{998001}, \ \fbox{494209}}[/TEX]​

 

[harrypham]

Loạt bài mới :
1)Cho p là số nguyên tố và n thỏa mãn [TEX]p^n[/TEX] có 20 chữ số.
CMR: trog 20 chữ số của [TEX]p^n[/TEX] có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Gợi ý: Hình như là sd Đi-rích-lê
2/Cminh bài toán(k nhớ tên là gì ấy nhỉ):
[TEX]a^{p-1}-1 \vdots p[/TEX]vs a là số tự nhiên k chia hết cho p và p là số nguyên tố
(hình như tên là Phéc-ma K nhớ rõ ( )

[TEX]\fbox{1}[/TEX]. Giả sử trái lại trong 20 chữ số cách viết thập phân của [TEX]p^n[/TEX] không có 3 chữ số nào giống nhau. Từ đó suy ra mỗi một chứ số tỏng 10 chữ số [TEX]0,1,2,3,...,9[/TEX] xuất hiện đúng 2 lần. Vì vậy tổng các chữ số của [TEX]p^n[/TEX] là

[TEX]2(1+2+3+..+9)=2. \frac{9.10}{90}[/TEX]​

Vì [TEX]90 \vdots 3[/TEX] nên [TEX]p^n \vdots 3 \Rightarrow p \vdots 3[/TEX]. Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra mâu thuẫn. Vậy ta có đpcm.

[TEX]\fbox{2}[/TEX]. Đây là định lý Fermat nhỏ, một định lý đẹp được ứng dụng nhiều để giải quyết các bài toán trong lĩnh vực lý thuyết số.
Định lý còn có thể viết dưới dạng [TEX]a^p-a \ \vdots p[/TEX].

 

[linhhuyenvuong]

1, Tìm m,n nguyên biết: [TEX]m^n=n^{m-n}[/TEX]

2, Cho số thực x và các số nguyên dương a,b,n thoả mãn:
[TEX]a^n+b^n=x^n (a>b; n>b)[/TEX]
Hỏi x có là số số nguyên không?

............................................................................................