Mấy bài PT và HPT hay:
1) Giải các PT sau:
[TEX]a) (x+3) \sqrt{-x^2-8x+48}=28-x[/TEX]
[TEX]b) 3^{2009x+3cosx}-3^{2009x+4cos^3x}-3cos3x=0[/TEX]
2) Giải các HPT sau:
[TEX]a) \left{\begin{3^{x^2+2}-9^{2y^2+1}=2( \sqrt{2y}- \sqrt{x})}\\{3^{(x+y)^2+2}+2 \sqrt{x+y}=29}[/TEX]
[TEX]b) \left{\begin{ \frac{2xy+y \sqrt{x^2-y^2}}{14}= \sqrt{ \frac{x+y}{2}}+ \sqrt{ \frac{x-y}{2}}}\\{ \sqrt{( \frac{x+y}{2})^3}+ \sqrt{( \frac{x-y}{2})^3}=9}[/TEX]
Mãi không thấy ai làm thế? Mình thử vậy
Bài 1:
a) [tex](x+3) \sqrt{-x^2-8x+48}=28-x[/tex]
ĐK: [tex] -12 \leq x \leq 4[/tex]
* Với [tex] -12 \leq x < -3[/tex]: [tex]VT\leq 0,VP>0[/tex]
Vậy pt không có nghiệm x trong [tex] -12 \leq x < -3 [/tex]
*Với [tex] -3 \leq x \leq 4[/tex]
Xét hàm số :[tex]f(x)=(x+3)\sqrt{-x^{2}-8x+48}[/tex] trên [tex][-3;4][/tex]
[tex]f'(x)=\sqrt{-x^{2}-8x+48}-\frac{(x+4)(x+3)}{\sqrt{-x^{2}-8x+48}}[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} &f'(x)=0 \\ & x\in (-3;4) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{3\sqrt{57}-15}{4}[/tex]
[tex]f'(0)>0\Rightarrow \forall x\in (-3;0):f'(x)>0[/tex]
[tex]f'(2)<0\Rightarrow \forall x\in (0;4):f'(x)<0[/tex]
Lập bảng biến thiên ta có : [tex]x\in [-3;4]:maxf(x)=f(\frac{3\sqrt{57}-15}{4})<24[/tex] (Số lẻ nên không chắc nữa)
Mặt khác [tex]x\in [-3;4]:24\leq 28-x\leq 31[/tex]
Vậy nên pt không có nghiệm [tex]x\in [-3;4][/tex]
KL: pt vô nghiệm
[TEX]b) 3^{2009x+3cosx}-3^{2009x+4cos^3x}-3cos3x=0[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow 3^{2009x+3\cos x}(1-3^{\cos 3x})=3\cos 3x(1)[/tex]
*Với [tex]\cos 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})[/tex] thì pt (1) nghiệm đúng
*[tex]\cos 3x>0\Rightarrow 3^{\cos 3x}>1\Rightarrow VT<0[/tex]
Vậy pt không có nghiệm để [tex]\cos 3x>0[/tex]
*[tex]\cos 3x<0\Rightarrow 3^{\cos 3x}<1\Rightarrow VT>0[/tex]
Vậy pt không có nghiệm để [tex]\cos 3x<0[/tex]
Vậy pt có nghiệm [tex]x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})[/tex]
Bài 2:
[TEX]a) \left{\begin{3^{x^2+2}-9^{2y^2+1}=2( \sqrt{2y}- \sqrt{x})}(1)\\{3^{(x+y)^2+2}+2 \sqrt{x+y}=29}(2)[/TEX]
ĐK: [tex]x\geq 0;y\geq 0[/tex]
[tex](1)\Leftrightarrow 3^{x^{2}+2}+2\sqrt{x}=3^{(2y)^{2}+2}+2\sqrt{2y}(*)[/tex]
Xét hàm số : [tex]f(t)= 3^{t^{2}+2}+2\sqrt{t}[/tex] trên [tex][0;+\infty )[/tex]
[tex]f'(t)=2t.3^{t^{2}+2}.\ln 3+\frac{1}{2\sqrt{t}}>0\forall t>0[/tex]
Vậy hàm f(t) đồng biến trên [tex][0;+\infty )[/tex]
[tex](*)\Leftrightarrow x=2y[/tex]. Thay vào (2) ta có pt:
[tex]g(y)=3^{9y^{2}+2}+2\sqrt{3y}=29[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} &g'(y)>0;\forall y>0 \\ & g(\frac{1}{3})=29 \end{matrix}\right.[/tex]
Vậy pt [tex]g(y)=29\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}[/tex]
KL: hệ có nghiệm [tex]\left\{\begin{matrix} &x=\frac{2}{3} \\ & y=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.[/tex]
[TEX]b) \left{\begin{ \frac{2xy+y \sqrt{x^2-y^2}}{14}= \sqrt{ \frac{x+y}{2}}+ \sqrt{ \frac{x-y}{2}}}(*)\\{ \sqrt{( \frac{x+y}{2})^3}+ \sqrt{( \frac{x-y}{2})^3}=9}[/TEX]
ĐK:[tex]\left\{\begin{matrix} &x+y\geq 0 \\ &x-y\geq 0 \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có:
[tex]4xy=(x+y)^{2}-(x-y)^{2}[/tex] và [tex]2y=(x+y)-(x-y)[/tex]
[tex](*)\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}{2}+[\frac{(x+y)-(x-y)}{2}].\sqrt{(x+y)(x-y)}=14(\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}})[/tex]
[tex](*)\Leftrightarrow (\frac{x+y}{2})^{2}-(\frac{x-y}{2})^{2} +[\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}].\sqrt{\frac{x+y}{2}.\frac{x-y}{2}}=7(\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}})[/tex]
Đặt [tex]u=\frac{x+y}{2}\geq 0;v=\frac{x-y}{2}\geq 0[/tex]
Hệ pt trở thành:
[tex]\left\{\begin{matrix} &u^{2}-v^{2}+(u-v)\sqrt{uv}=7(\sqrt{u}+\sqrt{v})(1) \\ & \\ & \sqrt{u^{3}}+\sqrt{v^{3}}=9 \end{matrix}\right.(I)[/tex]
Dễ thấy : [tex]\sqrt{u}+\sqrt{v}=0\Leftrightarrow u=v=0[/tex] không phải là nghiệm của hệ.
[tex](1)\Leftrightarrow (\sqrt{u}-\sqrt{v})(u+v+\sqrt{uv})=7[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{u^{3}}-\sqrt{v^{3}}=7[/tex]
[tex](I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\sqrt{u^{3}}-\sqrt{v^{3}}=7 \\ & \sqrt{u^{3}}+\sqrt{v^{3}}=9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &u=4 \\ &v=1 \end{matrix}\right.[/tex]
Từ đó tìm được x,y
