T
tiendung_htk
Sao tự nhiên mình lại nghĩ phức tạp mà không ra mà quên cái cơ bản là nhân liên hợp nhỉ
Tẩu hỏa nhập ma rồi
- Status
Tẩu hỏa nhập ma rồi
H
hoanghondo94
[TEX]{\color{Blue} Solve \ the \ equation \ and \ the \ system \ of \ equations \ [/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 1. \ 2sin\ ( x+\frac{\pi }{3} \)+2^2sin\ ( x+\frac{2\pi }{3} \ )+...+2^{2010} sin\ ( x+\frac{2010\pi }{3} \)=0[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 2. \ \sqrt[3]{cos5x+2cosx}-\sqrt[3]{2cos5x+cosx}-2\sqrt[3]{cosx}(cos4x-cos2x)=0[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 3. \ \{(\sqrt{3x+4}-\sqrt{5-x}).2^y=2.\left ( \frac{19}{x}-3x+8 \right )\\ log_2x+y=1[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 4. \ \{2(\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2 \\ x^3+2y^2=x^2y+2xy[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 5. \ \ Let \ a;b;c \ be \ positive \ real \ numbers \ satisfying \ the \ condition \ abc=1 \ , \ prove \ that \ : \ \\\\ \sum \frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}}\leq 1[/TEX]
[TEX] {\color{DarkGreen} All \ for \ Duynhan \ [/TEX]
..
[TEX]{\color{Blue} 1. \ 2sin\ ( x+\frac{\pi }{3} \)+2^2sin\ ( x+\frac{2\pi }{3} \ )+...+2^{2010} sin\ ( x+\frac{2010\pi }{3} \)=0[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 2. \ \sqrt[3]{cos5x+2cosx}-\sqrt[3]{2cos5x+cosx}-2\sqrt[3]{cosx}(cos4x-cos2x)=0[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 3. \ \{(\sqrt{3x+4}-\sqrt{5-x}).2^y=2.\left ( \frac{19}{x}-3x+8 \right )\\ log_2x+y=1[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 4. \ \{2(\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2 \\ x^3+2y^2=x^2y+2xy[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} 5. \ \ Let \ a;b;c \ be \ positive \ real \ numbers \ satisfying \ the \ condition \ abc=1 \ , \ prove \ that \ : \ \\\\ \sum \frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}}\leq 1[/TEX]
[TEX] {\color{DarkGreen} All \ for \ Duynhan \ [/TEX]
..
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Điều kiện: $ \begin{cases} - \frac43 \le x \le 5 \\ x>0 \end{cases} \Leftrightarrow 0<x \le 5 $
Thay (2) vào (1) ta có: $$\begin{aligned} & \sqrt{3x+4} - \sqrt{5-x} = - 3x^2 + 8x + 19 \\ \Leftrightarrow & \frac{3(x-4)}{\sqrt{3x+4} + 4} + \frac{x-4}{\sqrt{5-x}+1} = (4-x)(3x+4) \end{aligned} $$
Chú ý điều kiện ta có nghiệm duy nhất $x=4$.
P/s: Bài 1 bị sao ý cậu ơi.
Điều kiện: $x^2 \ge 2y+1$
Từ phương trình (2) ta có: $x=y$.
Do đó ta có: $$\begin{aligned} & 2\sqrt{x^2 -2x - 1 } + \sqrt[3]{x^3-14} = x-2 \\ \Leftrightarrow & 2\sqrt{x^2-2x-1} = \frac{-6(x^2-2x-1)}{(x-2)^2 + (\sqrt[3]{x^3-14})^2 + (x-2)\sqrt[3]{x-14}} \\ \Leftrightarrow & x^2 -2x -1 = 0 \end{aligned}$$
Sửa lại đề rồi đó
Trước hết với $abc=1$ ta sẽ có hằng đẳng thức: $$ \frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1} = 1$$
Ta sẽ đưa BĐT đã cho về HĐT này vì đã có dấu hiệu $ab$.
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ thì ta có: $$\left( \sum_{cyc} \ \frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}} \right)^2 \le 3 \left( \sum_{cyc} \frac{1}{a^5-a^2+3ab+6} \right) $$
Mặt khác theo BĐT AM-GM thì ta có: $$ \begin{cases} a^5 + a + 1 \ge 3a^2 \\ a^2+1 \ge 2a \end{cases} \Rightarrow a^5 -a^2 + 3ab + 6 \ge 2a^2 - a + 3ab + 6 \ge 3(ab+a+1) $$
Do đó ta có: $$ \left( \sum_{cyc} \ \frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}} \right)^2 \le 3 ( \sum_{cyc} \frac{1}{3(ab+a+b) } ) = 1 $$
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
P/s: Dài quá, đừng gộp nhé^^
Đặt $A= \sqrt[3]{cos5x+2cosx},\ B=\sqrt[3]{2cos5x+cosx}$ ta có:
Phương trình được viết lại thành: $$ \begin{aligned} & 4 \sqrt[3]{cos x} \sin 3x \sin x = \frac{\cos 5x - \cos x}{A^2 + AB + B^2} \\ \Leftrightarrow & 4 \sqrt[3]{cos x} \sin 3x \sin x = \frac{-4 \sin x . \cos x . \sin 3x}{A^2+B^2 + AB} \\ \Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l} \sin 3x . \sin x . \cos x = 0 \\ \dfrac{-1}{\sqrt[3]{\cos ^2 x}} = \frac{1}{A^2+AB+B^2} \text{(vô nghiệm)} \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow & \cos 5x = \cos x \end{aligned} $$
Xử nốt bài cuối, mấy bài này phí thời gian quá
Phương trình đã cho tương đương với: $$\sin x ( 2 . \cos(\frac{\pi}{3}) + 2^2 \ cos( \frac{2\pi}{3}) + ..+ 2^{2010} . \cos(\frac{2010 \pi}{3}) + \cos x ( 2 . \sin(\frac{\pi}{3}) + 2^2 \sin( \frac{2\pi}{3}) + ..+ 2^{2010} . \sin(\frac{2010 \pi}{3}) = 0 $$
Để tính 2 cái ngoặc kia ta đặt: $z= 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) $
Xét tổng: $$z+z^2+..+z^{2010} = \left( 2 . \cos(\frac{\pi}{3}) + 2^2 \ cos( \frac{2\pi}{3}) + ..+ 2^{2010} . \cos(\frac{2010 \pi}{3}) \right) + i * \left( 2 . \sin(\frac{\pi}{3}) + 2^2 \sin( \frac{2\pi}{3}) + ..+ 2^{2010} . \sin(\frac{2010 \pi}{3}) \right) $$ Mà ta lại có: $z+z^2+..+z^{2010} = \frac{z(z^{2010} - 1)}{z-1} = A+ i.B$
Xong thế vào nhé, dài chết
Gộp luôn bài ni vào bài 2 giúp tớ.
Done!!
Last edited by a moderator:
T
thg94
1.giải phương trình
[TEX]sin2x +sinx - \frac{1}{2sinx} -\frac{1}{sin2x}=2cot2x [/TEX]
2.tìm m để phương trình sau có nghiệm x thuộc [TEX] [0,1+sqrt{3}][/TEX]
[TEX]m(sqrt{x^{2}-2x+2}+1) +x(2-x)<0[/TEX]
[TEX]sin2x +sinx - \frac{1}{2sinx} -\frac{1}{sin2x}=2cot2x [/TEX]
2.tìm m để phương trình sau có nghiệm x thuộc [TEX] [0,1+sqrt{3}][/TEX]
[TEX]m(sqrt{x^{2}-2x+2}+1) +x(2-x)<0[/TEX]
sorry gõ thiếuhoanghondo94: sửa lại cái đề cho đúng đi bạn , chỗ pt LG ....=0 nữa chứ
Last edited by a moderator:
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Đặt [TEX]sqrt{x^{2}-2x+2}=t[/TEX]
từ điều kiến của x[TEX] \Rightarrow 1\leq t \leq2[/TEX]
Khi đó bất phương trình trở thành :
[TEX]m( t+1) -t^2+2 \leq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow m \leq \frac{t^2-2}{t+1}[/TEX]
Đặt [TEX] f(x)= \frac{t^2-2}{t+1}[/TEX]
xác định trên khoảng [1;2]
có[TEX] f'(x)= \frac{t^2+2t+2}{(t+1)^2}>0 [/TEX]
=> Hàm số đồng biến trên tập xác định
[TEX]\Rightarrow m \leq Max f(x) =f(2)= \frac{2}{3}[/TEX]
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Đkxđ : [TEX]sin2x # 0 \Rightarrow x # \frac{k\pi}{2} [/TEX]
[TEX]sin2x +sinx - \frac{1}{2sinx} -\frac{1}{sin2x}=2cot2x [/TEX]
[TEX]\Rightarrow sin2x +sinx - \frac{1}{2sinx} -\frac{1}{2sinxcosx}=2\frac{cosx}{sinx}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow - cos^22x- cosx.cos2x=2cos2x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow cos2x=0[/TEX]
Last edited by a moderator:
P
phanthanh1711
cùng nhau làm bài nào:
cau 1
$$\frac{sin (3x+\frac{\pi}{4})}{cos(x+\frac{\pi}{4}) }=2+tanx$$
cau 2:
giải hệ pht:
[tex]\{ x^3-y^3+3y^2-3x=2. \\ x^2+ \sqrt{ (1-x^2)} - 3.\sqrt{2y-y^2} =1.[/tex]
cau 1
$$\frac{sin (3x+\frac{\pi}{4})}{cos(x+\frac{\pi}{4}) }=2+tanx$$
cau 2:
giải hệ pht:
[tex]\{ x^3-y^3+3y^2-3x=2. \\ x^2+ \sqrt{ (1-x^2)} - 3.\sqrt{2y-y^2} =1.[/tex]
Last edited by a moderator:
M
maxqn
Câu hệ:
Đk: [TEX]{\{ {0 \leq x + 1 \leq 2} \\ { 0 \leq y \leq 2}}[/TEX]
$(1) \Leftrightarrow (x+1)^3 - 3(x+1)^2 = y^3 - 3y^2$
Xét $g(t) = t^3 - 3t^2 \ \text{trên [0;2]}$
$g'(t) = 3t^2 - 6t \leq 0, \forall t \in [0;2]$
Do đó g(t) nghịch biến trên [0;2]
$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow g(x+1) = g(y) \Rightarrow y = x + 1$
Thay vào pt dưới và bđổi ta được
$(\sqrt{1-x^2})^2 + 2\sqrt{1-x^2} = 0 \Leftrightarrow$ [TEX]{\[ {x = 1; y = 2} \\ { x = -1; y = 0}}[/TEX]
Đk: [TEX]{\{ {0 \leq x + 1 \leq 2} \\ { 0 \leq y \leq 2}}[/TEX]
$(1) \Leftrightarrow (x+1)^3 - 3(x+1)^2 = y^3 - 3y^2$
Xét $g(t) = t^3 - 3t^2 \ \text{trên [0;2]}$
$g'(t) = 3t^2 - 6t \leq 0, \forall t \in [0;2]$
Do đó g(t) nghịch biến trên [0;2]
$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow g(x+1) = g(y) \Rightarrow y = x + 1$
Thay vào pt dưới và bđổi ta được
$(\sqrt{1-x^2})^2 + 2\sqrt{1-x^2} = 0 \Leftrightarrow$ [TEX]{\[ {x = 1; y = 2} \\ { x = -1; y = 0}}[/TEX]
M
maxqn
Câu lgiác
ĐK: [TEX]{\{ {x \not = \frac{\pi}2 + k\pi} \\ { x \not= \frac{\pi}4 + k\pi}} \ \ (k \in \mathbb{Z})[/TEX]
$pt \Leftrightarrow sin3x + cos3x = 2tanx(cosx-sinx)$
$\Leftrightarrow 4(cosx-sinx)(1+sinx.cosx) - 3(cosx-sinx) = 2tanx(cosx-sinx)$
$\Leftrightarrow (cosx-sinx)(1+ 4sinx.cosx-2tanx) = 0$
$ \Leftrightarrow cosx + 4sinx.cos^2x - 2sinx = 0$
ĐK: [TEX]{\{ {x \not = \frac{\pi}2 + k\pi} \\ { x \not= \frac{\pi}4 + k\pi}} \ \ (k \in \mathbb{Z})[/TEX]
$pt \Leftrightarrow sin3x + cos3x = 2tanx(cosx-sinx)$
$\Leftrightarrow 4(cosx-sinx)(1+sinx.cosx) - 3(cosx-sinx) = 2tanx(cosx-sinx)$
$\Leftrightarrow (cosx-sinx)(1+ 4sinx.cosx-2tanx) = 0$
$ \Leftrightarrow cosx + 4sinx.cos^2x - 2sinx = 0$
A
alizeeduong
Sáng nay thi ....ngồi mò mãi nghiệm câu lượng giác đã chán lắm rồi , vậy mà câu hệ lại còn ..trêu ngươi thêm nữa ......( (
Câu II:
[TEX]\{2x-y-xy^2=2xy(1-x) \\ (x^2+2y^2)(1+\frac{1}{xy})^2=9[/TEX]
Câu V: Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+3y+5z\leq3$ .Chứng minh rằng :
$3xy\sqrt{625z^4+4}+5xz\sqrt{81y^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz$
Câu iV: Cho lăng trụ $ABCA'B'C'$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông , cạnh huyền $BC=2a$ , $\widehat{ABC}=60$ . Mặt bên $BCB'C'$ là hình thoi . $\widehat{B'Bc}> 90$ , mặt phẳng $(BCB'C')$ vuông góc với đáy , mặt bên $(ABB'A')$ tạo với đáy góc $45^o$ . Tính thể tích lăng trụ $ABCA'B'C'$ theo $a$
Câu VI: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $(d)$ lần lượt có phương trình : $(P):2x-y-2z-2=0$ ; $(d): \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$
Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $(d)$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc nhỏ nhất.
---------HẾT -------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu ,( đề đúng ) AlizeeDuong không giải thích gì thêm !!
( (Câu II:
[TEX]\{2x-y-xy^2=2xy(1-x) \\ (x^2+2y^2)(1+\frac{1}{xy})^2=9[/TEX]
Câu V: Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+3y+5z\leq3$ .Chứng minh rằng :
$3xy\sqrt{625z^4+4}+5xz\sqrt{81y^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz$
Câu iV: Cho lăng trụ $ABCA'B'C'$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông , cạnh huyền $BC=2a$ , $\widehat{ABC}=60$ . Mặt bên $BCB'C'$ là hình thoi . $\widehat{B'Bc}> 90$ , mặt phẳng $(BCB'C')$ vuông góc với đáy , mặt bên $(ABB'A')$ tạo với đáy góc $45^o$ . Tính thể tích lăng trụ $ABCA'B'C'$ theo $a$
Câu VI: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $(d)$ lần lượt có phương trình : $(P):2x-y-2z-2=0$ ; $(d): \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$
Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $(d)$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc nhỏ nhất.
---------HẾT -------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu ,( đề đúng ) AlizeeDuong không giải thích gì thêm !!
Last edited by a moderator:
H
hn3
Đề phức tạp này cứ như kiểu thi ĐH cấp độ châu lục trở lên , liếc qua thì tạm nhắm được câu VI :khi (64)::khi (41):
M
maxqn
Câu HHKG:
Gọi $H$ là hình chiếu của $B'$ xuống $(ABC)$ thì H nằm trên tia đối của tia BC.
Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$ thì góc giữa $(ABB'A')$ và $(ABC)$ chính là góc $\hat{HIB'}$
Đặt $HB' = x > 0$
Tam giác $B'HI$ vuông cân tại $H$ nên $HI = HB' = x$
Lại có $HB = \frac{HI}{sin60^o} = \frac{2x}{\sqrt3}$
Trong tam giác $B'HB$ vuông tại H:
$x^2 = B'H^2 = BB'^2 - HB^2 = 4a^2 - \frac{4x^2}3 \Leftrightarrow x = \frac{2a\sqrt{21}}7$
$S_{\Delta{ABC}} = \frac12.AB.BC.sin60^o = \frac{a^2\sqrt3}2$
Vậy thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là: $V = B'H.S_{\Delta{ABC}} = \frac{3a^3\sqrt7}7 \ (dvtt)$
Gọi $H$ là hình chiếu của $B'$ xuống $(ABC)$ thì H nằm trên tia đối của tia BC.
Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$ thì góc giữa $(ABB'A')$ và $(ABC)$ chính là góc $\hat{HIB'}$
Đặt $HB' = x > 0$
Tam giác $B'HI$ vuông cân tại $H$ nên $HI = HB' = x$
Lại có $HB = \frac{HI}{sin60^o} = \frac{2x}{\sqrt3}$
Trong tam giác $B'HB$ vuông tại H:
$x^2 = B'H^2 = BB'^2 - HB^2 = 4a^2 - \frac{4x^2}3 \Leftrightarrow x = \frac{2a\sqrt{21}}7$
$S_{\Delta{ABC}} = \frac12.AB.BC.sin60^o = \frac{a^2\sqrt3}2$
Vậy thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là: $V = B'H.S_{\Delta{ABC}} = \frac{3a^3\sqrt7}7 \ (dvtt)$
M
maxqn
Bài này ai giải ra nghiệm giúp đc k :-s Chi tiết luôn đi :-s
----------------------------------------
P
phanthanh1711
H
hotboysnam
Ai giúp tớ nốt 2 câu này đi
....................................................
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Đi tìm lời giải cho thằng này.
Phương trình (1) ta dễ phân tích: $(2x-y)(xy+1) = 2xy$
Ta liếc xuống dưới có $1+\frac{1}{xy}$, liếc lên trên lại thì chẳng phải có: $1+\frac{1}{xy} = \frac{2}{2x-y} $ sao, mà nếu thế thì thế vào phương trình (2) trở thành đồng bậc rồi.
Bài giải:
Điều kiện: $xy \not= 0$.
Với điều kiện trên, hệ trở thành: $$ \begin{cases} (2x-y)(xy+1) = 2xy & \color{red}{(1)} \\ (x^2+2y^2) (1+ \frac{1}{xy}) = 9 & \color{red}{(2)} \end{cases} $$ Do $xy \not= 0 $ nên ta có: $2x-y \not= 0$, từ phương trình (1) ta có: $1 + \frac{1}{xy} = \frac{2}{2x-y}$.
Thay vào phương trình (2) thì ta có: $$\begin{aligned} & 4(x^2 + 2y^2) = 9(2x-y)^2 \\ \Leftrightarrow & 32x^2 - 36xy + y^2 = 0 \\ \Leftrightarrow & 32 (\frac{x}{y})^2 - 36 \frac{x}{y} + 1 = 0 \quad \color{red}{(2')} \end{aligned} $$ Do $y \not= 0$ nên ta đặt $x=ky$, khi đó (1) trở thành: $$\begin{aligned} & y( 2k-1)(ky^2 + 1) = 2ky^2 \\ \Leftrightarrow & (2k-1)k y^2- 2ky + 2k-1 = 0 \end{aligned}$$ +Hiển nhiên ta có: $k \not= 0$, nếu $k=\frac12$ thì ta suy ra: $y=0$ (loại)
+Nếu $ k \not= \frac12$, coi đây là phương trình bậc 2 ẩn y, với k là tham số, để phương trình có nghiệm thì ta phải có: $\Delta ' =k^2 - k (2k-1)^2 \ge 0 \Leftrightarrow k(5k-4k^2-1) \ge 0 \quad \color{red}{(*)}$
Lại có từ phương trình (2') thì được: $32k^2 - 36k + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = \frac{1}{16} (9 - \sqrt{73}) \\ k = \frac{1}{16} (9 + \sqrt{73}) \end{array} \right. $
Lần lượt thay 2 giá trị k vào (*) thì ta có cả 2 giá trị này đều không thỏa (*).
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
M
maxqn
T__T
Đề thế thì vầy
$pt \Leftrightarrow (tanx -1)(tan^2x + 2tanx - 1) = 0$
$\Leftrightarrow tanx = -1 \pm \sqrt2 $
M
maxqn
M
maxqn
D
duynhan1
[TEX]DK: \left{x-y \geq 0 \\ x+y \geq 0 \\ 4x-y^2 \geq 0 \\ 3x^2-1 \geq 0 [/TEX]
[TEX] (2) \Leftrightarrow 2y-4x+y^2=2\sqrt{(x-y)(4x-y^2)} \Rightarrow (2y-4x+y^2)^2=4(x-y)(4x-y^2) \Leftrightarrow y^4+4y^2-4xy^2=0 \Leftrightarrow \left[y=0 , \ (2) \Rightarrow x=0 \ (\ loai \ ) \\ y^2+4-4x=0 [/TEX]
[TEX]y^2+4-4x=0 \Rightarrow \left{y^2=4x-4 \\ y^2+6=4x+2[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow 2x^2-16x+4+2(2x+1)\sqrt{3x^2-1}=0 \Leftrightarrow (3x-2)^2=(2x+1+\sqrt{3x^2-1})^2[/TEX]
Last edited by a moderator:
- Status