Vật lí 12 Tổng hợp tất tần tật về dao động điều hòa

[Rau muống xào]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Dạng [imath]1:[/imath] Xác định các đại lượng và trạng thái dao động điều hòa​

I, Các định nghĩa:
1, Dao động cơ:
Dao động cơ là dao động trong không gian xung quanh một vị trí được gọi là vị trí cân bằng.
[imath]\quad[/imath] Ví dụ: dao động của chiếc lá trên ngọn cây, dao động của màng loa khi phát ra âm thanh.
2, Dao động tuần hoàn:
- Dao động tuần hoàn là dao động có chu kì
- Là dao động mà cứ sau những khoảng thời gian nhất định, trạng thái của vật (vị trí, vận tốc, phương chiều) đều lặp lại như cũ.

[imath]\Rightarrow[/imath] Chu kì [imath]T (s)[/imath] : là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần (hoặc khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại trạng thái như cũ)
[imath]\Rightarrow[/imath] Tần số [imath]f (Hz)[/imath]: Số dao động toàn phần thực hiện được trong [imath]1s[/imath]
[imath]\quad[/imath] Ví dụ: Con lắc đơn

Vật được xem là thực hiện được một dao động điều hòa khi đi được cung tròn [imath]O\to A\to O\to B\to O[/imath]
3, Dao động điều hòa:
- Là dao động mà ly độ của vật được biểu diễn dưới dạng hàm [imath]\sin[/imath] hoặc hàm [imath]\cos[/imath]
Đồ thị biểu diễn ly độ của một vật dao động điều hòa theo thời gian. [imath]x=cos\left(2\pi t\right)[/imath]


Tổng kết: ta có thể tóm gọn cả ba dao động trong hình minh họa sau:

Hiểu đơn giản chúng là là những tập hợp con, với tập lớn nhất là dao động cơ, trong đó chứa tập con dao động tuần hoàn, và trong nữa sẽ có tập dao động điều hòa. Vậy nếu một vật dao động điều hòa, chắc chắn nó sẽ dao động tuần hoàn, nhưng một vật dao động tuần hoàn thì chưa thể kết luận nó là một dao động điều hòa
Ví dụ: [imath]x=2\cos(\pi t)cm[/imath] là một hàm điều hòa thì sẽ sẽ tuần hoàn luôn
Còn [imath]x=4 +2\cos(\pi t)[/imath] không có dạng của một hàm điều hòa [imath](x=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right))[/imath] nhưng nó là hàm tuần hòa vì nó có chu kì
II, Dao động điều hòa:
1, Phương trình ly độ chuẩn của một dd điều hòa: [imath]x=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right) \ cm[/imath]
Trong đó:
[imath]+ x:[/imath] ly độ dao động (độ dài đại số so với [imath]VTCB[/imath])
[imath]+ A:[/imath] Biên độ dao động (độ lớn ly độ cực đại).
[imath]\quad[/imath] Có thể chứng minh bằng đại số: [imath]|x|=A|\cos\left(\omega t+\varphi_0\right) |\leq A[/imath]
[imath]+ \omega:[/imath] Vận tốc góc [imath](rad/s)[/imath]
[imath]+\varphi_0:[/imath] Pha ban đầu hay pha tại thời điểm chọn làm mốc dao động ([imath]t=0[/imath])
[imath]+\omega t+\varphi_0[/imath]: Pha tại thời điểm [imath]t[/imath]
2, Vận tốc, gia tốc, lực kéo về:
2.1 Vận tốc:
Ta đã học ý nghĩa của đạo hàm trong vật lý
Ta có: [imath]v=x'=-\omega A\sin\left(\omega t+\varphi_0\right)=\omega A\sin\left(\omega t+\varphi_0+\pi\right)=\omega A\cos\left(\omega t+\varphi_0+\dfrac{\pi}{2}\right)[/imath]
Nhận xét:
Nếu xem [imath]v[/imath] là một đại lượng dao động điều hòa thì [imath]v[/imath] có:
+ Biên độ [imath]v_{max}=\omega A[/imath]
+ Vận tốc góc: [imath]\omega_v=\omega_x=\omega[/imath]
+ Pha dao động của [imath]v[/imath] luôn sớm pha hơn pha dao động của [imath]x[/imath] một góc [imath]\dfrac{\pi}{2}[/imath] hay [imath]\varphi_v-\varphi_x=\dfrac{\pi}{2}[/imath]
2.2 Gia tốc
Ta có: [imath]a=v'=x''=-\omega^2 A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)=\omega^2 A\cos\left(\omega t+\varphi_0+\pi\right)=-\omega^2 x[/imath]
Nhận xét:
Tương tự nếu xem [imath]a[/imath] là một đại lượng dao động điều hòa thì [imath]a[/imath] có:
+ Biên độ [imath]a_{max}=\omega^2 A[/imath]
+ Vận tốc góc: [imath]\omega_a=\omega_v=\omega_x=\omega[/imath]
+ Pha dao động của [imath]a[/imath] luôn sớm pha hơn pha dao động của [imath]v[/imath] một góc [imath]\dfrac{\pi}{2}[/imath] hay [imath]\varphi_a-\varphi_v=\dfrac{\pi}{2}[/imath]
+ Từ biểu thức: [imath]a=-\omega^2 x\Rightarrow[/imath] [imath]a[/imath] ngược pha so với [imath]x[/imath]
2.3 Lực kéo về.
Summon định luật II Newton: [imath]F=ma=-m\omega^2x[/imath]
Dấu '-' thể hiện lực [imath]F[/imath] luôn ngược chiều với [imath]x[/imath], quan sát hình vẽ sau:

Có thể thấy tại mọi vị trí thì lực [imath]F[/imath] luôn có hướng về [imath]VTCB[/imath] nên nó còn được gọi là lực kéo về (có tác dụng kéo vật về [imath]VTCB[/imath])

3. Tính chất chuyển động:


Chú ý: chiều quay của [imath]\varphi[/imath] luôn là chiều ngược chiều kim đồng hồ
- Phần nửa bán cầu trên ứng với pha dương [imath](\varphi >0)[/imath] thì vật chuyển động theo chiều âm hay [imath](v<0)[/imath]
- Phần nửa bán cầu trên ứng với pha âm [imath](\varphi <0)[/imath] thì vật chuyển động theo chiều âm hay [imath](v>0)[/imath]
- Vật chuyển động càng nhanh khi càng gần [imath]VTCB[/imath], càng chậm khi càng gần biên.
Thần chú: Pha âm thì [imath]v[/imath] dương còn pha dương thì [imath]v[/imath] âm.

4. Những vị trí đặc biệt:
+ Biên dương:
- [imath]x_{max}=A, |v| =0, a_{min}=-\omega^2A, F_{min}=-m\omega^2A[/imath]
+ Biên âmL
- [imath]x_{min} = -A,|v| =0, a_{max}=\omega^2A, F_{max}=-m\omega^2A[/imath]
+ VTCB theo chiều dương:
- [imath]x=0, v=|v|=\omega A, a = F =0[/imath]
+ VTCB theo chiều âmL
- [imath]x=0, -v=|v|=\omega A, a=F=0[/imath]

5.Các hệ thức độc lập thời gian:
+ [imath]v=\pm \omega\sqrt{A^2-x^2}[/imath]
+ [imath]\left(\dfrac{x}{A}\right)^2+\left(\dfrac{v}{\omega A}\right)^2=1[/imath] ( vì ([imath]x,v[/imath] vuông pha)
+ [imath]\left(\dfrac{v}{\omega A}\right)^2+\left(\dfrac{a}{\omega^2 A}\right)^2=1[/imath] vì ([imath]v,a[/imath] vuông pha)
6, Đồ thị biểu diễn giữa các đại lượng:
+ [imath]v[/imath] và [imath]x[/imath]
Từ biểu thức [imath]\left(\dfrac{x}{A}\right)^2+\left(\dfrac{v}{\omega A}\right)^2=1[/imath]
Đồ thị biểu diễn giữa [imath]x[/imath] và [imath]v[/imath] là một hình elip với độ dài các trục chính là biên độ của các đại lượng
+ [imath]a[/imath] và [imath]v[/imath]
Từ biểu thức [imath]\left(\dfrac{v}{\omega A}\right)^2+\left(\dfrac{a}{\omega^2 A}\right)^2=1[/imath]
Đồ thị biểu diễn giữa [imath]v[/imath] và [imath]a[/imath] là một hình elip với độ dài các trục chính là biên độ của các đại lượng
+ [imath]a[/imath] và [imath]x[/imath]
Từ biểu thức: [imath]a=-\omega^2 x[/imath]
Vậy đồ thị biểu diễn [imath]a[/imath] theo [imath]x[/imath] là một đoạn thẳng nghịch biến đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc [imath]k=-\omega^2[/imath]

Ví dụ: Cho dao động [imath]x=2\cos\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{3}\right) \ cm[/imath]
So sánh với phương trình chuẩn [imath]x=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)[/imath]
[imath]\Rightarrow \begin{cases}A=2 \ cm\\ \omega=2\pi \ rad/s\\ T=\dfrac{2\pi}{\omega}=1s\\f=\dfrac{1}{T}=1 \ Hz\\ \varphi_0=\dfrac{-\pi}{3}rad\\ \varphi_0=2\pi t-\dfrac{\pi}{3}\end{cases}[/imath]

Luyện tập
Câu 1. Li độ của vật dao động điều hòa (với biên độ [imath]\mathrm{A}[/imath], với tần số góc [imath]\omega[/imath] ) có giá trị cực tiểu là
A. [imath]-A[/imath]
B. [imath]+A[/imath]
C. [imath]0[/imath]
D. [imath]-\omega A[/imath]
Câu 2. Li độ của vật dao động điều hỏa (với biên độ [imath]A[/imath],với tần số góc [imath]\omega[/imath] ) có giá trị cực đại là
A. [imath]-\omega A[/imath]
B. [imath]-A[/imath]
C. [imath]+A[/imath]
D. [imath]0[/imath]
Câu 3. Độ lớn li độ của vật dao động điều hòa (vơi biên độ [imath]A[/imath],với tần số góc [imath]\omega[/imath] ) có giá trị cực tiểu là
A. -A
B. [imath]+A[/imath]
C. [imath]0[/imath]
D. [imath]-\omega A[/imath]
Câu 4. Độ lớn li độ của vật dao động điều hòa (vơi biên độ [imath]A[/imath], với tần số góc [imath]\omega[/imath] ) có giá trị cực đại là
A. [imath]-[/imath] A
B. [imath]+A[/imath]
C. [imath]0[/imath]
D. [imath]-\omega A[/imath]
Câu 5. Vận tốc của vật dao động điều hòa có giá trị cực tiểu khi
A. Vật đi qua vị trí cân bẳng theo chiều dương.
B. Vật đến vị trí biên.
C. Lực kéo về triệt tiêu.
D. Vật đi qua vị tri cân bằng theo chiều âm.
Câu 6. Vận tốc của vật dao động điều hòa có giá trị cực đại khi
A. Vật đến vị trí biên.
B. Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
C. Vật đi qua vị trí cân bằng
D. Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Câu 7. Tốc độ (độ lớn của vận tốc) của vật dao động điều hòa có giá trị cực đại khi
A. Vật đi qua vị trí cân bẳng theo chiều dương.
B. Vật đến vị trí biên.
C. Lực kéo về triệt tiêu.
D. Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Câu 8. Tốc độ (độ lớn của vận tốc) của vật dao động điều hòa có giá trị cực tiểu khi
A. Vật đi qua vị tri cân bẳng theo chiểu dương.
B. Vật đến vị trí biên.
C. Lực kéo về triệt tiêu.
D. Vật đỉ qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Câu 9. Gia tốc của vật dao động điều hòa (với biên độ [imath]A[/imath] có giá trị cực tiểu khi
A. Vật đến vị trí biên âm [imath]x=-A[/imath]
B. Vật đến vị trí biên dương [imath]x=+A[/imath]
C. Động lượng của vật cực tiểu.
D. Động lượng của vật cực đại.
Câu 10. Gia tốc của vật dao động điều hòa (với biên độ A) có giá trị cực đại khi
A. Vật đến vị trí biên âm [imath]x=-A[/imath].
B. Vật đến vị trí biên dương [imath]x=+A[/imath].
C. Động lượng của vật cụ̣c tiểu.
D. Động lượng của vật cực đại.
Câu 11. Độ lớn gia tốc của vật dao động điều hòa (với biên độ [imath]A[/imath] ) có giá trị cực tiểu khi
A. Vật đí qua vị trí cân bẳng theo chiều dương.
B. Vật đến vị trí biên.
C. Lực kéo về triệt tiêu
D. Vật đi qua vị trí cân bẳng theo chiều âm
Câu 12. Độ lớn gia tốc của vật dao động điều hòa (với biên độ A) có giá trị cực đại khi
A. Vật đi qua vị trí cân bẳng theo chiều dương.
B. Vật đến vị trí biên.
C. Lực kéo về triệt tiêu
D. Vật đi qua vị tri cân bẳng theo chiều âm

Spoiler: Đáp án:

1. A
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.B
10.A
11.C
12.B

Bạn đọc tham khảo thêm

[Chuyên đề] Dao động điều hòa - Bài toán thời gian​

 

[Rau muống xào]

Dạng 2: Áp dụng công thức độc lập thời gian​

I, Quan hệ cùng pha, ngược pha
I.1 Hai đại lượng được gọi là cùng pha nếu hiệu pha dao động của chúng [imath]\Delta \varphi =k.2\pi \ (k \in \mathbb{Z})[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] Tính chất: [imath]\dfrac{x_1}{A_1}=\dfrac{x_2}{A_2}[/imath]
Chứng minh: [imath]\begin{cases}x_1=A_1\cos(\varphi)\\x_2=A_2\cos(\varphi+2k\pi)\end{cases}[/imath]
Lấy vế chia vế [imath]\Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{A_1}{A_2}\Rightarrow\dfrac{x_1}{A_1}=\dfrac{x_2}{A_2} \ (ĐPCM)[/imath]
I.2 Hai đại lượng được gọi là ngược pha pha nếu hiệu pha dao động của chúng [imath]\Delta \varphi =(2k+1)\pi \ (k \in \mathbb{Z})[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] Tính chất: [imath]\dfrac{-x_1}{A_1}=\dfrac{x_2}{A_2}[/imath]
Bạn đọc nên chứng minh tương tự mục I.1
Vậy nếu quan hệ giữa hai đại lượng là cùng hoặc ngược pha, ta có hệ thức chung: [imath]\dfrac{|x_1|}{A_1}=\dfrac{|x_2|}{A_2}[/imath]
II, Quan hệ vuông pha
Hai đại lượng được gọi là cùng pha nếu hiệu pha dao động của chúng [imath]\Delta \varphi =(2k+1)\dfrac{\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})[/imath]
Tính chất, với [imath]2[/imath] cặp đại lượng bất kì có mối quan hệ vuông pha, giả sử đại lượng [imath]M[/imath] và [imath]N[/imath], ta luôn có hệ thức:
[imath]\quad\left(\dfrac{x_M}{x_{M \ \max}}\right)^2+\left(\dfrac{x_N}{x_{N \ \max}}\right)^2=1[/imath]
Chứng minh: [imath]\begin{cases} x_M= x_{M \ \max} .\cos(\varphi) \\x_N = x_{N \ \max} .\cos(\varphi \pm \dfrac{\pi}{2})\end{cases}\Rightarrow\left(\dfrac{x_M}{x_{M \ \max}}\right)^2+\left(\dfrac{x_N}{x_{N \ \max}}\right)^2=\cos^2(\varphi)+\cos^2\left(\varphi\pm\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \ (ĐPCM)[/imath]

Cặp thứ nhất: ly độ [imath]x[/imath] và vận tốc [imath]v[/imath]
Ta có: [imath]\left(\dfrac{x}{A}\right)^2+\left(\dfrac{v}{v_{\max}}\right)^2=1[/imath]
Với [imath]v_{max}=\omega .A\Rightarrow\left(\dfrac{x}{A}\right)^2+\left(\dfrac{v}{\omega.A}\right)^2=1[/imath]
[imath]\Rightarrow\begin{cases}x=\pm\sqrt{A^2-\left(\dfrac{v}{\omega}\right)^2}\\v=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}\end{cases}[/imath] (đóng khung)

Cặp thứ hai: vận tốc [imath]v[/imath] và gia tốc [imath]a[/imath]
Theo như tính chất trên đã chứng minh:
[imath]\quad \left(\dfrac{v}{v_{\max}}\right)^2+\left(\dfrac{a}{a_{\max}}\right)^2=1[/imath]
Với [imath]\begin{cases} v_{\max}=\omega A\\a_{\max}=\omega^2A\end{cases}[/imath]
[imath]\Rightarrow A^2=\dfrac{a^2}{\omega^4}+\dfrac{v^2}{\omega^2}[/imath] (đóng khung)
Cặp thứ ba: vận tốc [imath]v[/imath] và lực kéo về [imath]F[/imath]
Ta đã biết : [imath]F_{kv}=ma[/imath] (định luật II Newton)
Do [imath]m[/imath] là khối lượng nên [imath]m>0\Rightarrow F_{kv}[/imath] và [imath]a[/imath] là hai đại lượng cùng pha.
[imath]\Rightarrow F_{kv}[/imath] và [imath]v[/imath] vuông pha
[imath]\Rightarrow \left(\dfrac{v}{v_{\max}}\right)^2+\left(\dfrac{F_{kv}}{F_{kv \ \max}}\right)^2=1[/imath]
Với [imath]\begin{cases} v_{\max}=\omega A\\F_{kv \ \max}=m.a_{\max}=m.\omega^2A\end{cases}[/imath]

VD: Cho vật dao động điều hòa có phương trình [imath]x=5\cos\left(4\pi t+\dfrac{\pi}{12}\right) \ cm[/imath]
a, Tìm [imath]x[/imath] khi [imath]v=-12\pi \ cm/s[/imath]
b, Tìm [imath]a[/imath] khi [imath]v=16\pi \ cm /s[/imath]
c, Tìm [imath]v[/imath] khi [imath]x=2,5\sqrt{3} \ cm[/imath]
d, Cho [imath]m=100g[/imath] .Tìm [imath]|F_{kv}|[/imath] khi [imath]v=10\sqrt{3} \ cm/s[/imath]

Hướng dẫn:
Trước tiên: Tính: [imath]\begin{cases}A=5cm\\v_{max}=\omega A=20\pi cm/s\\a_{max}=\omega^2A=(4\pi)^2.5=800cm/s^2=8m/s^2\end{cases}[/imath] Sử dụng [imath](\pi^2\approx 10)[/imath]
a,Ta có: [imath]x=\pm\sqrt{A^2-\left(\dfrac{v}{\omega}\right)^2}=\pm\sqrt{5^2-\left(\dfrac{-12\pi}{4\pi}\right)^2}=\pm 4cm[/imath]
b, Ta có: [imath]\left(\dfrac{v}{v_{\max}}\right)^2+\left(\dfrac{a}{a_{\max}}\right)^2=1[/imath]
Thay vào tại thời điểm [imath]v=16\pi \ cm /s\Rightarrow \left(\dfrac{16\pi}{20\pi}\right)^2+\left(\dfrac{a}{8}\right)^2=1[/imath]
[imath]\quad\Rightarrow a=4,8m/s^2[/imath]
c, Áp dụng hệ thức độc lập thời gian: [imath]v=\pm\sqrt{A^2-x^2}=\pm 4\pi \sqrt{5^2-(2,5\sqrt{3}^2)}=10\pi \ cm/s[/imath]
d, Có hai cách để giải quyết ý này:
Cách [imath]1:[/imath] Tìm [imath]F_{\max}[/imath] sau đó áp dụng hệ thức vuông pha giữa [imath]v[/imath] và [imath]F[/imath] ta sẽ tìm được kết quả
Cách [imath]2:[/imath] Áp dụng hệ thức độc lập giữa [imath]x[/imath] và [imath]v[/imath], tính lực bằng công thức [imath]|F|=m\omega^2|x|[/imath]
Ở đây mình sẽ chọn giải theo cách [imath]2[/imath], bạn đọc có thể giải theo cách [imath]1[/imath] để thuần thục hơn
Ta có: [imath]|x|=\sqrt{A^2-\left(\dfrac{v}{\omega}\right)^2}[/imath]
[imath]\Rightarrow |F|=m\omega^2 x=m\omega^2.\sqrt{A^2-\left(\dfrac{v}{\omega}\right)^2}=0,1.(4\pi)^2.\sqrt{5^2-\left(\dfrac{10\sqrt{3}}{\pi}\right)^2}=75,938 \ N[/imath]

Nên thay số vào biểu thức cuối cùng tránh thay từ quá sớm để sai số của kết quả là nhỏ nhất

*Lưu ý quan trọng:
Các đại lượng vuông pha không nhất thiết là phải từ hai đại lượng khác nhau, chúng có thể là cùng một đại lượng nhưng khác nhau ở thời điểm.
Ví dụ: Tại thời điểm [imath]t_1[/imath] một vật đang ở ly độ [imath]x_1[/imath], tại thời điểm [imath]t_2=t_1+\dfrac{T}{4}[/imath], vật có ly độ là [imath]x_2[/imath]. Tìm mối liên hệ giữa [imath]x_1[/imath] và [imath]x_2[/imath]
Ta có: với thời gian [imath]t=\dfrac{T}{4}[/imath]. Góc quét thêm đó là: [imath]\Delta \varphi=\omega.t=\dfrac{2\pi}{T}.\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{2} \ rad[/imath]
Nói cách khác thời điểm [imath]t_1[/imath] và thời điểm [imath]t_2[/imath] là hai thời điểm có ly độ vuông pha nhau.
Áp dụng thệ thức: [imath]\left(\dfrac{x_1}{A}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{A}\right)^2=1[/imath] (Biên độ dao động là [imath]A[/imath])
[imath]\Rightarrow x_1^2+x_2^2=A^2[/imath] (Đóng khung)

Có nhiều thứ kết luận còn hay hơn nữa, như chúng ta đã biết, pha dao động của của vận tốc luôn sớm pha hơn pha dao động của ly độ tại cùng một thời điểm một góc [imath]\dfrac{\pi}{2}[/imath]
Ta có thể viết theo công thức toán học: [imath]\begin{cases} \varphi_{v_1}-\varphi_{x_1}=\dfrac{\pi}{2}\\ \varphi_{x_2}-\varphi_{x_1}=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}\Rightarrow \varphi_{v_1}-\varphi_{x_2}=0[/imath]
[imath]\Rightarrow v_1[/imath] và [imath]x_2[/imath] cùng pha nhau, theo tính chất ở mục [imath]I.1[/imath], ta có: [imath]\dfrac{x_1}{A}=\dfrac{v_2}{v_{\max}}[/imath]
Thay [imath]v_{\max}=\omega A\Rightarrow v_2=\omega.x[/imath]

Bạn đoc giải tương tự với đại lượng [imath]v_1[/imath] và [imath]x_2[/imath] và rút ra mối liên hệ.

Tổng quát: Dao động của một vật tại hai thời điểm [imath]t_1, t_2=t_1+(2k+1)\dfrac{T}{4}[/imath] hoặc [imath]\Delta \varphi =(2k+1)\dfrac{\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})[/imath] (Hai giả thiết tương đương nhau)
Ta có các kết luận sau: [imath]\begin{cases}x_1^2+x_2^2=A^2\\ v_1^2+v_2^2=v^2_{\max}\\|v_2|=\omega |x_1|\\ |v_1|=\omega |x_2|\end{cases}[/imath]

Luyện tập:
Câu 1: Một vật dao động điều hòa với [imath]\omega=5 rad/s[/imath]. Khi vận tốc của vật là [imath]v=10 cm/s[/imath] thì gia tốc của nó [imath]a=2\sqrt{3} m/s^2[/imath]. Biên độ dao động của vật là:
A. [imath]10 cm.[/imath]
B. [imath]11 cm.[/imath]
C. [imath]13 cm.[/imath]
D. [imath]14 cm.[/imath]

Spoiler: Đáp án:

Ta có: [imath]a=-\omega^2x\Rightarrow x=\dfrac{a}{\omega^2}=\dfrac{200\sqrt{3}}{5^2}=8\sqrt{3} \ cm[/imath]
Áp dụng công thức độc lập: [imath]A=\sqrt{x^2+\left(\dfrac{v}{\omega}\right)}=\sqrt{(8\sqrt{3})^2+\left(\dfrac{10}{5}\right)}=14 \ cm[/imath]

Câu 2: Một vật dao động điều hòa có vận tốc cực đại là [imath]v_{max}=8 \pi cm/s[/imath] và gia tốc cực đại [imath]a_{max}=100cm/s^2[/imath] thì chu kỳ dao động của vật là:
(lấy [imath]\pi \approx \sqrt{10}[/imath] )
A. [imath]1,6 s[/imath]
B. [imath]2 s[/imath]
C. [imath]2,4s[/imath]
D. [imath]1 s[/imath]

Spoiler: Đáp án:

Ta có: [imath]\begin{cases}v_{max}=\omega A\\ a_{max}=\omega^2A \end{cases}\Rightarrow \omega =\dfrac{a_{max}}{v_{max}}[/imath]
[imath]\Rightarrow T=\dfrac{2\pi}{\omega} =\dfrac{2\pi v_{max}}{a_{max}}=\dfrac{2\pi .8\pi}{100}=1,6 \ s[/imath]

Câu 3: Một vật dao động với chu kì [imath]T=1s[/imath] tại thời điểm [imath]t_1[/imath] một vật đang ở ly độ [imath]x_1[/imath] và vận tốc [imath]v_1[/imath], tại thời điểm [imath]t_2=t_1+\dfrac{3T}{4}[/imath], vật có ly độ là [imath]x_2[/imath] và vận tốc [imath]v_2[/imath]. Tìm tỷ số giữa độ lớn vận tốc tại thời điểm [imath]t_2[/imath] và độ lớn ly độ tại thời điểm [imath]t_1[/imath]
A. [imath]1[/imath]
B. [imath]2[/imath]
C. [imath]3[/imath]
D . [imath]4[/imath]

Spoiler: Đáp án:

Ta có: [imath]\Delta \varphi =\dfrac{2\pi}{T}.\dfrac{3T}{4}=\dfrac{3\pi}{2} \ rad[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] Hai thời điểm [imath]t_1[/imath] và [imath]t_2[/imath] vuông pha [imath]\Rightarrow \dfrac{|v_2|}{|x_1|}=\omega =\dfrac{2\pi}{T}=1[/imath]

Bài toán này có thể tìm được giá trị về độ lớn, bạn đọc từ tìm hiểu, gợi ý nếu chưa hiểu hơn về các quan hệ này, xem thêm tài liệu bằng cách gõ ytb: định lý BHD4 CVB

 

[Rau muống xào]

Dạng 3: Viết phương trình dao động điều hòa​

Phương trình chuẩn của dao động điều hòa: [imath]x=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)[/imath]
I, Tìm [imath]A[/imath]
+ Cho [imath]l_{\max},l_{\min}\Rightarrow A=\dfrac{l_{\max}-l_{\min}}{2}=\dfrac{l}{2}[/imath]
Với [imath]l:[/imath] là chiều dài quỹ đạo
+ [imath]A=\dfrac{v_{\max}}{\omega}=\dfrac{a_{\max}}{\omega^2}=\dfrac{a_{\max}}{v_{\max}}=\sqrt{x^2+\left(\dfrac{v}{\omega}\right)^2}[/imath]
+ [imath]F_{\max}=m\omega^2 A\Rightarrow A=\dfrac{F_{\max}}{m\omega^2}[/imath]
+ [imath]W=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{2W}{m\omega^2}}[/imath]
+ [imath]A=\dfrac{2W}{F}[/imath]
II, Tìm [imath]\omega[/imath]
+ [imath]\omega = \dfrac{2\pi}{T}=2\pi f=\sqrt{\dfrac{a_{\max}}{A}}=\dfrac{v_{\max}}{a}=\dfrac{v_{\max}^2}{a_{\max}}=\sqrt{\dfrac{v^2}{A^2-x^2}}[/imath]
+ Vật thực hiện [imath]n[/imath] dao động trong thời gian [imath]\Delta t\Rightarrow T=\dfrac{\Delta t}{n}[/imath]
+ Thời gian ngắn nhất vật đi từ biên này tới biên kia là [imath]\Delta t=\dfrac{T}{2}[/imath]
+ Thời gian ngắn nhất giữa hai lần năng lượng bằng nhau: [imath]\Delta t=\dfrac{T}{4}[/imath]
III, Tìm [imath]\varphi[/imath]
+ Tại [imath]t=0: \begin{cases} x=x_0\\v_0\end{cases}\Rightarrow x_0=A\cos \left(\omega t+\varphi_0\right) \Rightarrow \varphi_0[/imath]
+ Vật đang qua vị trí có ly độ [imath]x[/imath] theo chiều dương: [imath]\varphi=-\arccos\bigg(\dfrac{x}{A}\bigg)[/imath]
+ Vật đang qua vị trí có ly độ [imath]x[/imath] theo chiều âm: [imath]\varphi=\arccos\bigg(\dfrac{x}{A}\bigg)[/imath]

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ [imath]A =10 cm[/imath], Trong [imath]20[/imath] giây vật thực hiện được [imath]20[/imath] dao động. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại thời điểm ban đầu vật tại ví trí cân bằng theo chiều dương.
Phương trình dao động: [imath]x=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)[/imath]
Ta có: + [imath]T=\dfrac{\Delta t}{n}=\dfrac{20}{20}=1(s)\Rightarrow \omega =\dfrac{2\pi}{T}[/imath]
+ [imath]A=10cm[/imath]
+ [imath]\varphi_0=\dfrac{-\pi}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow x=10\cos\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{2}\right) \ cm[/imath]

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo [imath]l=16cm[/imath]. Trong [imath]\dfrac{2}{3}[/imath] phút vật thực hiện được [imath]40[/imath] dao động. Chọn gốc tọa độ tại [imath]VTCB[/imath] , gốc thời gian là lúc vật có ly độ [imath]4\sqrt{3} \ cm[/imath] và đang ra xa [imath]VTCB[/imath]. Viết phương trình dao động
Phương trình dao động: [imath]x=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)[/imath]
Ta có: + [imath]A=\dfrac{l}{2}=\dfrac{16}{2}=8 \ cm[/imath]
+ [imath]T=\dfrac{\Delta t}{n}=\dfrac{40}{40}=1s\Rightarrow \omega= \dfrac{2\pi}{T}=2\pi \ rad/s[/imath]
+ Vật đang có ly độ [imath]x=4\sqrt{3} \ cm[/imath] và đang đi ra xa [imath]O[/imath] tức là nó đang chuyển động theo chiều dương
[imath]\quad\Rightarrow \varphi=-\arccos\bigg(\dfrac{x}{A}\bigg)=\dfrac{-\pi}{6} \ rad[/imath]
[imath]\Rightarrow x=8\cos\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{6}\right) \ cm[/imath]

Luyện tập
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục [imath]Ox[/imath] với chu kỳ [imath]0,2s[/imath]. Lấy gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ [imath]\sqrt{3}cm[/imath] theo chiều âm với tốc độ [imath]10\pi \ cm/s[/imath]. Phương trình dao động của chất điểm là:
A. [imath]x=2\sqrt{3} \cos \left(10\pi t-\dfrac{\pi}{6} \right) \ cm[/imath]
B. [imath]x=2\sqrt{3} \cos \left(10\pi t+\dfrac{\pi}{6} \right) \ cm[/imath]
C. [imath]x=2 \cos \left(10\pi t+\dfrac{\pi}{6} \right) \ cm[/imath]
D. [imath]x=2 \cos \left(10\pi t-\dfrac{\pi}{6} \right) \ cm[/imath]

Spoiler: Đáp án:

Ta có: [imath]\omega =\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0,2}=10\pi \ rad/s[/imath]
Áp dụng hệ thức: [imath]A=\sqrt{x^2+\left(\dfrac{v}{\omega}\right)^2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+\left(\dfrac{10\pi}{10\pi}\right)^2}=2\ cm[/imath]
Tại [imath]t=0[/imath] chất điểm đi qua vị trí có li độ [imath]\sqrt{3}cm[/imath] theo chiều âm [imath]\Rightarrow \varphi_0=\arccos \dfrac{x}{A}=\dfrac{\pi}{6} \ rad[/imath]
[imath]\Rightarrow x=2 \cos \left(10\pi t+\dfrac{\pi}{6} \right) \ cm[/imath]

Câu 2: Một lò xo có độ cứng [imath]k[/imath] nằm ngang, một đầu gắn cố định một đầu gắn vật có khối lượng [imath]m[/imath]. Kích thích để vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại bằng [imath]3m/s[/imath] và gia tốc cực đại bằng [imath]30\pi (m/s^2)[/imath]. Thời điểm ban đầu [imath]t = 0[/imath] vật có vận tốc [imath]v = 1,5m/s[/imath] và thế năng đang giảm. Phương trình ly độ của vật là:
A. [imath]x=9,5 \cos \left(10\pi t-\dfrac{5\pi}{6} \right) \ cm[/imath]
B. [imath]x=9,5 \cos \left(10\pi t+\dfrac{5\pi}{6} \right) \ cm[/imath]
C. [imath]x=9,5 \cos \left(10\pi t-\dfrac{\pi}{6} \right) \ cm[/imath]
D. [imath]x=9,5 \cos \left(10\pi t+\dfrac{\pi}{6} \right) \ cm[/imath]

Spoiler: Đáp án:

Ta có: [imath]\begin{cases} a_{\max}=\omega^2 A\\ v_{\max}=\omega A\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \omega=\dfrac{a_{\max}}{v_{\max}}=\dfrac{30\pi}{3}=10\pi \ rad/s\\ A =\dfrac{v_{\max}^2}{a_{\max}}=\dfrac{3^2}{30\pi}\approx 0,095m=9,5cm\end{cases}[/imath]
Thời điểm [imath]v=1,5m/s[/imath] tức vật đang chuyển động theo chiều dương và thế năng đang giảm tức chuyển động về gần [imath]O[/imath]
Ta có: [imath]\varphi_0=\dfrac{-5\pi}{6} \ rad[/imath]
[imath]\Rightarrow x=9,5 \cos \left(10\pi t-\dfrac{5\pi}{6} \right) \ cm[/imath]

Câu 3: Một vật dao động điều hoà với tốc độ cực đại là [imath]20\pi \ cm /s[/imath]. Ban đầu vật đứng ở vị trí có vận tốc là [imath]10\pi cm/s[/imath] và ly độ dương. Và thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí trên đến vị trí có vận tốc bằng [imath]0[/imath] là [imath]0.05s[/imath] . Viết phương trình dao động của vật.
A. [imath]x=20 \cos\left(\pi t -\dfrac{\pi}{6}\right)[/imath]
B. [imath]x=20 \cos\left(\pi t +\dfrac{\pi}{6}\right)[/imath]
C. [imath]x=10 \cos\left(\pi t -\dfrac{\pi}{6}\right)[/imath]
D. [imath]x=10 \cos\left(\pi t +\dfrac{\pi}{6}\right)[/imath]

Spoiler: Đáp án:

Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí trên đến vị trí có vận tốc bằng [imath]0[/imath] là [imath]t=\dfrac{T}{4}=0,05 s \Rightarrow T=2s\Rightarrow \omega =\dfrac{2\pi}{T}=\pi \ rad /s[/imath]
Ta có: [imath]A=\dfrac{v_{\max}}{\omega}=\dfrac{20\pi}{\pi}=20 cm[/imath]
Thời điểm [imath]t=0[/imath] vật đứng ở vị trí có vận tốc là [imath]10\pi cm/s[/imath] và ly độ dương [imath]\Rightarrow \varphi_0=\dfrac{-\pi}{6} \ rad[/imath]
[imath]\Rightarrow x=20 \cos\left(\pi t -\dfrac{\pi}{6}\right)[/imath]

 

[Rau muống xào]

Dạng [imath]4:[/imath] Xác định ly độ của vật sau thời gian [imath]\Delta t[/imath]​

Phương trình dao động chuẩn của một vật dđđh: [imath]x=A\cos \left(\omega t+\varphi_0\right)[/imath]
Bài toán: Tại thời điểm [imath]t_1[/imath] vật có trạng thái (ly độ, vận tốc, gia tốc,...). Hỏi tại thời điểm [imath]t_2=t_1+\Delta t[/imath] vật có trạng thái như thế nào?

Cách [imath]1:[/imath] Sử dụng phương pháp đại số.​

Tại thời điểm [imath]t=0\Rightarrow x=A\cos \varphi_0[/imath]
Tại thời điểm [imath]t_1\Rightarrow x_1=A\cos \left(\omega t_1+\varphi_0\right)[/imath]
[imath]\quad \Rightarrow cos\varphi_1=\dfrac{x_1}{A}\Rightarrow \varphi_1=\pm\arccos \dfrac{x_1}{A}[/imath]
Tại thời điểm [imath]t_2=t_1+\Delta t\Rightarrow[/imath] Vector quay được thêm một góc là: [imath]\Delta \varphi=\omega \Delta t[/imath]
Thay vào phương trình ly độ: [imath]x_2=A\cos \left(\varphi_1+\omega \Delta t\right)=A\cos \left(\pm\arccos \dfrac{x_1}{A}+\omega \Delta t\right)[/imath]
Điều cần chú ý : [imath]\varphi_1=\pm \arccos\left(\dfrac{x_1}{A}\right)[/imath], việc chọn dấu cộng hay trừ phụ thuộc vào tính chất chuyển động
Cùng ôn lại kiến thức ở dạng [imath]1[/imath]:
Tính chất chuyển động:

Chú ý: chiều quay của [imath]\varphi[/imath] luôn là chiều ngược chiều kim đồng hồ - Phần nửa bán cầu trên ứng với pha dương [imath](\varphi >0)[/imath] thì vật chuyển động theo chiều âm hay [imath](v<0)[/imath] - Phần nửa bán cầu trên ứng với pha âm [imath](\varphi <0)[/imath] thì vật chuyển động theo chiều âm hay [imath](v>0)[/imath] - Vật chuyển động càng nhanh khi càng gần [imath]VTCB[/imath], càng chậm khi càng gần biên. Thần chú: Pha âm thì [imath]v[/imath] dương còn pha dương thì [imath]v[/imath] âm.

[imath]*[/imath] Ví dụ trên chỉ minh hoạ cho trường hợp mẫu là ly độ, nếu đề bài đề cập đến những đại lượng khác như vận tốc, gia tốc, động lượng, lực kéo về.... Bạn đọc linh động trong việc thay đổi các đại lượng tương ứng và khuyến khích tự thiết lập công thức cho từng trường hợp.

Bài tập ví dụ: Cho một vật dao động điều hoà có phương trình ly độ [imath]x=10\cos \left(2\pi t\right)[/imath]. Tại thời điểm [imath]t_1[/imath] vật đang có ly độ [imath]x_1=5cm[/imath] và đang chuyển động theo chiều dương. Sau [imath]\Delta t=\dfrac{2}{3}s[/imath] ly độ của vật có giá trị là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có: [imath]\cos \varphi_1=\dfrac{x_1}{A}=\dfrac{1}{2}[/imath]
Mà vật đang chuyển động theo chiêu dương [imath]\Rightarrow \varphi_1<0[/imath]
[imath]\quad\Rightarrow \varphi_1=\dfrac{-\pi}{3} rad[/imath]
Tại thời điểm [imath]\Delta t =\dfrac{2\pi}{3}[/imath]
Ly độ của vật là: [imath]x_2=10\cos \left( \varphi_1+\omega \Delta \right)=10\cos \left(\dfrac{-\pi}{3}+2\pi.\dfrac{2}{3})\right) = -10 cm[/imath]

Cách [imath]2:[/imath] Sử dụng vòng tròn lượng giác.​

Từ những dữ kiện tại trạng thái thời điểm [imath]t_1[/imath], biểu diễn trên vòng tròn lượng giác
Sau một khoảng thời gian [imath]\Delta t\Rightarrow[/imath] Vector quay được thêm [imath]\Delta \varphi =\omega \Delta t[/imath]
Biếu diễn thời điểm [imath]t_2[/imath] lên vòng tròn lượng giác và xác định các đại lượng cần tính:

Hình ảnh chỉ mang tính minh họa​

Một số công thức lượng giác để tính toán được nhanh hơn [imath]+\cos \left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/imath] [imath]+\cos \left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}[/imath] [imath]+\cos \left(\pm\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/imath] [imath]+\cos \left(\pm\dfrac{\pi}{2}\right)=0[/imath] [imath]+\cos \left(\pm\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{-1}{2}[/imath] [imath]+\cos \left(\pm\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}[/imath] [imath]+\cos \left(\pm\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}[/imath]

Bài tập ví dụ: Cho một vật dao động điều hoà có phương trình ly độ [imath]x=5\cos \left(2\pi t\right)[/imath]. Tại thời điểm [imath]t_1[/imath] vật đang có ly độ [imath]x_1=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}cm[/imath] và đang chuyển động theo chiều âm. Sau [imath]\Delta t=\dfrac{T}{3}[/imath] ly độ của vật có giá trị là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tại thời điểm [imath]t_1[/imath] vật có ly độ thỏa mãn [imath]\dfrac{x_1}{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/imath] và vật đang chuyển động theo chiều dương [imath]\Rightarrow[/imath] Vector quay tại thời điểm [imath]t_1[/imath] hợp với chiều dương trục [imath]Ox[/imath] môt góc [imath]\dfrac{\pi}{6}[/imath] [imath]\Rightarrow x_2=-2,5 cm[/imath] Và vật đang chuyển động theo chiều âm

Chú ý: Trường hợp đặc biệt nếu hai thời điểm vuông pha tức là: [imath]t_2-t_1=(2n+1)\dfrac{T}{2}[/imath] hay [imath]\varphi_2-\varphi_1=(2n+1)\dfrac{\pi}{2}[/imath]
Ta có những công thức đặc biệt sau: [imath]\begin{cases}x_1^2+x_2^2=A^2\\ v_1^2+v_2^2=v_{max}^2=(\omega A)^2\\ \omega=\dfrac{|v_1|}{|x_2|}\\ \omega =\dfrac{|v_2|}{|x_1|}\end{cases}[/imath]

 

[Rau muống xào]

Dạng [imath]5[/imath]: Quãng đường nhỏ nhất lớn nhất (P1)​

Cho phương trình dao động của một vật: [imath]x=A\cos(\omega t +\varphi_0)[/imath]
Bài toán: Với một khoảng thời gian cố định [imath]\Delta t[/imath], quãng đường tối đa và tối thiểu mà chất điểm vạch được là bao nhiêu?
Định hướng: tốc độ trung bình trong khoảng thời gian chuyển động được xác định: [imath]v_{tb}=\dfrac{\Delta S}{\Delta t}[/imath]
Với [imath]\Delta t[/imath] là một đại lượng cố định cho trước vậy, quãng đường lớn nhỏ hoàn toàn phụ thuộc vào tốc độ trung bình là lớn hay nhỏ tương ứng.
Như ta đã biết, tốc độ của chất điểm càng lớn khi chất điểm chuyển động càng gần [imath]VTCB[/imath] và càng nhỏ khi gần biên.
Bằng phương pháp đại số, người ta đã chứng minh được, trong khoảng thời gian [imath]\Delta t[/imath] cố định, tốc độ trung bình đạt max khi điểm xuất phát và điểm kết thúc đối xứng qua trục thẳng đưng, còn nhỏ nhất khi đối xứng qua trục nằm ngang.

Tổng quát phương pháp giải:​

Cách [imath]1:[/imath] Sử dụng công thức​

+ Nếu thời gian [imath]\Delta t <\dfrac{T}{2}[/imath]
Quãng đường lớn nhất là: [imath]S_{\max}=2A\sin\left(\dfrac{\omega \Delta t}{2}\right)=2A\sin\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)[/imath]
Quãng đường nhỏ nhất là: [imath]S_{\min}=2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\omega \Delta t}{2}\right)\right)=2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)\right)[/imath]
Bài tập áp dụng: Cho một vật dao động điều hòa với phương trình: [imath]x=5\cos\left(2\pi t +\dfrac{\pi}{3}\right)cm[/imath]. Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà chất điểm có thể đi được trong thời gian [imath]\Delta t = 0,25s[/imath]
Giải:
Trước hết ta tính, [imath]T=\dfrac{2\pi}{\omega} =1s\Rightarrow \Delta t =0,25 < \dfrac{T}{2}[/imath]
Áp dụng công thức: [imath]\begin{cases} S_{\max}=2A\sin\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)=2.5.\sin\left(\dfrac{\pi . 0,25}{1}\right)=5\sqrt{2} cm\\S_{\min}=2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)\right)=2.5.\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi . 0,25}{1}\right)\right)=10\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) cm\end{cases}[/imath]

+ Nếu thời gian [imath]\Delta t > \dfrac{\pi}{2}[/imath]
Tách thời gian cần tính trở thành: [imath]\Delta t = n.\dfrac{T}{2} + \Delta t'[/imath] với [imath]n\in \mathbb{N*}[/imath]
Ta có: Quãng đường vật đi được: [imath]S=2A.n+S'[/imath]
Vì [imath]2A.n=const[/imath], quãng đường min, max bay giờ phụ thuộc vào [imath]S'[/imath], tương ứng chuyển động trong thời gian [imath]\Delta t'<\dfrac{T}{2}[/imath]
Chuyển thành bài toán [imath]1[/imath], để tính [imath]S'[/imath] cần thiết.

Bài tập áp dụng: Cho một vật dao động điều hòa với phương trình: [imath]x=10\cos\left(2\pi t -\dfrac{\pi}{3}\right)cm[/imath]. Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà chất điểm có thể đi được trong thời gian [imath]\Delta t = \dfrac{11}{6}s[/imath]'

Giải:​

Ta có: [imath]T=1s\Rightarrow \Delta t = \dfrac{11}{6}=3\dfrac{T}{2}+\dfrac{1}{3}s[/imath]
Quãng đường đi được: [imath]S=3.2A+S'[/imath]
Vậy [imath]S_{\max}[/imath] khi [imath]S'_{max}[/imath], ngược lại với [imath]\min[/imath]
Áp dụng công thức: [imath]\begin{cases} S'_{\max}=2A\sin\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)=2.10.\sin\left(\dfrac{\pi . 1/3}{1}\right)=10\sqrt{3} cm\\S'_{\min}=2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)\right)=2.10.\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi . 1/3}{1}\right)\right)=10cm\end{cases}[/imath]

Vậy quãng đường lớn nhất sẽ là: [imath]S_{\max}=6.A+S'_{\max}=60+10\sqrt{3} cm[/imath]
Quãng đường nhỏ nhất là: [imath]S_{\min}=6.A+S'_{\min}=60+10cm=70cm[/imath]

*Nhận xét:
Ưu điểm cách áp dụng công thức: nhanh gọn, xúc tích.
Nhược điểm: cần phải nhớ được chính xác công thức.

Bài tập luyện tập:
Câu [imath]1:[/imath] Cho phương trình dao động [imath]x=A\cos(\omega t)[/imath], trong khoảng thời gian [imath]\Delta t=\dfrac{T}{3}[/imath], xác định tỷ số quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật có thể đạt được trong thời gian này.

Câu [imath]2:[/imath] Cho phương trình dao động [imath]x=A\cos(\omega t)[/imath], trong khoảng thời gian [imath]\Delta t<\dfrac{T}{2}[/imath], liệu có tồn tại khoảng thời gian [imath]\Delta t[/imath] nào mà tổng quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất bằng [imath]1,5A[/imath]. Tìm [imath]\Delta t[/imath] nếu có.

 

[Rau muống xào]

Dạng 5: Quãng đường nhỏ nhất, lớn nhất (P2)​

Đáp án BT luyện tập:
Câu [imath]1:[/imath]
Do [imath]\Delta t<\dfrac{T}{3}[/imath], sử dụng công thức tính quãng đường [imath]\min , \max[/imath]
Ta có: [imath]k=\dfrac{S_{\max}}{S_{\min}}=\dfrac{2A\sin\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)}{2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)\right)}=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{1-\cos\left(\dfrac{\pi }{3}\right)}=\sqrt{3}[/imath]
Câu [imath]2:[/imath]
Ycbt: [imath]S_{\max} +S_{\min}=1,5A\Rightarrow 2A\sin\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)+2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)\right)=1,5A[/imath]
Đặt [imath]\dfrac{\Delta t}{T}=x\Rightarrow 0<x<\dfrac{1}{2}[/imath]
Ta có phương trình: [imath]2\sin \pi x+2(1-\cos \pi x)=1,5[/imath]
[imath]\Rightarrow x=0,19343\Rightarrow \Delta t=0,19343T[/imath]

Phương pháp thứ hai: Sử dụng vòng tròn lượng giác​

I. Quãng đường lớn nhất.​

Chú ý: đang xét trong thời gian [imath]\Delta t<\dfrac{T}{2}[/imath]
Như đã chứng minh ở trên, quãng đường đi được sẽ là lớn nhất khi vị trí xuất phát và kết thúc đối xứng nhau qua [imath]VTCB[/imath]

Quãng đường mà vật đi được: [imath]S_{\max}=OM+ON=2OM=2A\sin\left(\dfrac{\omega \Delta t}{2}\right)[/imath]

+ Nếu thời gian [imath]\Delta t > \dfrac{\pi}{2}[/imath]
Tách thời gian cần tính trở thành: [imath]\Delta t = n.\dfrac{T}{2} + \Delta t'[/imath] với [imath]n\in \mathbb{N*}[/imath]
Ta có: Quãng đường vật đi được: [imath]S=2A.n+S'[/imath]
Vì [imath]2A.n=const[/imath], quãng đường [imath]\max[/imath] bây giờ phụ thuộc vào [imath]S'[/imath], tương ứng chuyển động trong thời gian [imath]\Delta t'<\dfrac{T}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow S'_{\max}=2A\sin\left(\dfrac{\omega \Delta t'}{2}\right)[/imath]
[imath]\Rightarrow S_{\max}=2A.n+S'[/imath]

II. Quãng đường nhỏ nhất​

Chú ý: đang xét trong thời gian [imath]\Delta t<\dfrac{T}{2}[/imath]
Như đã chứng minh ở trên, quãng đường đi được sẽ là lớn nhất khi vị trí xuất phát và kết thúc đối xứng nhau qua biên.

Quãng đường mà vật đi được: [imath]S_{\min}=2AN=2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\omega \Delta t}{2}\right)\right)[/imath]

+ Nếu thời gian [imath]\Delta t > \dfrac{\pi}{2}[/imath]
Tách thời gian cần tính trở thành: [imath]\Delta t = n.\dfrac{T}{2} + \Delta t'[/imath] với [imath]n\in \mathbb{N*}[/imath]
Ta có: Quãng đường vật đi được: [imath]S=2A.n+S'[/imath]
Vì [imath]2A.n=const[/imath], quãng đường [imath]\min[/imath] bây giờ phụ thuộc vào [imath]S'[/imath], tương ứng chuyển động trong thời gian [imath]\Delta t'<\dfrac{T}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow S'_{\min}=2A\left(1-\cos\left(\dfrac{\omega \Delta t}{2}\right)\right)[/imath]
[imath]\Rightarrow S_{\min}=2A.n+S'[/imath]

Thường ở phương pháp này, bạn cần liên hệ với trục thời gian ở nhưng bài số liệu đặc biệt để tăng tốc độ tính toán.
*Nhận xét:
- Ưu điểm: Không cần nhớ công thức, nhưng cần nhớ bản chất
- Nhược điểm chậm hơn so với cách [imath]1[/imath]

Bài tập vận dung:
Câu [imath]1:[/imath] Cho phương trình dao động [imath]x=4\cos(2\pi t)[/imath], trong khoảng thời gian [imath]\Delta t=\dfrac{1}{6}s[/imath], xác định quãng đường lớn nhất mà vật đi đươc:

Quãng đường mà vật đi được: [imath]S_{\max}=OM+ON=2OM=2A\sin\left(\dfrac{\omega \Delta t}{2}\right)[/imath] [imath]\Rightarrow S_{\max}=2.4.\sin\left(\dfrac{2\pi .1/6}{1}\right)=4\sqrt{3}cm[/imath]

Dạng biến tướng: Tìm tốc độ trung bình [imath]\max,min[/imath]​

Ta có: [imath]v_{tb}=\dfrac{S}{\Delta t}[/imath]
Vì vậy tốc độ trung bình phụ thuộc vào quãng đường chuyển động nếu [imath]\Delta t[/imath] là cố định
Vậy ta có: [imath]\begin{cases}v_{tb\max}=\dfrac{S_{\max}}{\Delta t}\\ v_{tb\min}=\dfrac{S_{\min}}{\Delta t}\end{cases}[/imath]
Với các công thức đã thiết lập từ trên, ta dễ dàng tìm được biểu thức tính tốc độ trung bình [imath]\max, \min[/imath]

Bài tập áp dụng: Cho phương trình dao động [imath]x=A\cos(\omega t)[/imath], trong khoảng thời gian [imath]\Delta t=\dfrac{T}{3}[/imath], xác định tốc độ trung bình lớn nhất mà vật có thể đạt được trong thời gian [imath]\Delta t[/imath]

Giải:​

Do [imath]\Delta t<\dfrac{T}{2}\Rightarrow S_{\max}=2A\sin\left(\dfrac{\pi \Delta t}{T}\right)=2A\sin\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}A[/imath]
Vậy tốc độ trung bình lớn nhất là: [imath]v_{tb\max}=\dfrac{S_{\max}}{\Delta t}=\dfrac{3\sqrt{3}A}{T}[/imath]