[TOÁN12]cần giúp đỡ

H

hoangtrungneo

Cho mình hỏi tí bạn nguyenminh44 ơi

Cho mình hỏi chút ĐK: x\geq2
Nếu mình chỉ đặt [TEX]f(x)=log_x(x+1)[/TEX] và tính đc [TEX]f'(x)=\frac{1}{(x+1).lnx}[/TEX]
\Rightarrow f'(x) <0 \forall x\geq2
\Rightarrow Ko chứng minh đc Bất đẳng thức đúng à ? :confused:
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenminh44

hoangtrungneo said:
Cho mình hỏi chút ĐK: x\geq2
Nếu mình chỉ đặt [TEX]f(x)=log_x(x+1)[/TEX] và tính đc [TEX]f'(x)=\frac{1}{(x+1).lnx}[/TEX]\Rightarrow f'(x) <0 \forall x\geq2
\Rightarrow Ko chứng minh đc Bất đẳng thức đúng à ? :confused:
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Chào bạn!
Vấn đề bạn vừa nêu ra cũng là vấn đề mà nhiều bạn mắc phải khi tính đạo hàm của các hàm dạng này

Ta chỉ có công thức [TEX](log_ax)'=\frac{1}{xlna}[/TEX] với a là tham số/hằng số.

Nếu trong biểu thức có biến x ở cả cơ số lẫn biểu thức dưới dấu log thì bạn không được phép dùng công thức này. Lưu ý nhé! :)

Mình có bài toán này, bạn làm thử xem nhé, cũng tương tự đấy!

tính đạo hàm [TEX]y=x^x[/TEX]
Bài này nếu sử dụng công thức đạo hàm hàm mũ là sai. :)
 
T

tester

Không sử dụng đạo hàm vẫn có thể chứng minh được bài này đấy, các bạn thử xem nhé. Mình hướng dẫn dùng biến đổi + BĐT CauChy.
 
N

nguyenminh44

tester said:
Không sử dụng đạo hàm vẫn có thể chứng minh được bài này đấy, các bạn thử xem nhé. Mình hướng dẫn dùng biến đổi + BĐT CauChy.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


BĐT [TEX]\Leftrightarrow \frac{ln(n+1)}{lnn} > \frac{ln(n+2)}{ln(n+1)}\Leftrightarrow ln^2(n+1) > lnn.ln(n+2)[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế phải ta có

[TEX]VP < (\frac{lnn+ln(n+2)}{2})^2=(\frac{ln(n^2+2n)}{2})^2 < (\frac{ln(n+1)^2}{2})^2= VT[/TEX]

Vậy bất đẳng thức được chứng minh! :)
 
C

ctsp_a1k40sp

nguyenminh44 said:
Chào bạn!
Vấn đề bạn vừa nêu ra cũng là vấn đề mà nhiều bạn mắc phải khi tính đạo hàm của các hàm dạng này

Ta chỉ có công thức [TEX](log_ax)'=\frac{1}{xlna}[/TEX] với a là tham số/hằng số.

Nếu trong biểu thức có biến x ở cả cơ số lẫn biểu thức dưới dấu log thì bạn không được phép dùng công thức này. Lưu ý nhé! :)

Mình có bài toán này, bạn làm thử xem nhé, cũng tương tự đấy!

tính đạo hàm [TEX]y=x^x[/TEX]
Bài này nếu sử dụng công thức đạo hàm hàm mũ là sai. :)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

spam phát :p
[TEX]x^x=e^{ln(x^x)}=e^{xlnx}[/TEX]
nên [TEX](x^x)'=e^{xlnx}.(lnx+1)[/TEX]
 
T

tester

Một bài toán hay

Giải như vậy mới hay chứ. Dùng đạo hàm bài này thì phức tạp lắm! Mình có bài này các bạn thử nghĩ xem nhé: so sánh 2 số sau [TEX]\[2008^{2008} \][/TEX] và [TEX]\[2007^{2009} \][/TEX]. Bài này giành cho tất các bạn từ lớp 7 nhé! Thanks you!:)&gt;-
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenminh44

tester said:
Giải như vậy mới hay chứ. Dùng đạo hàm bài này thì phức tạp lắm! Mình có bài này các bạn thử nghĩ xem nhé: so sánh 2 số sau [TEX]\[2008^{2008} \][/TEX] và [TEX]\[2007^{2009} \][/TEX]. Bài này giành cho tất các bạn từ lớp 7 nhé! Thanks you!:)&gt;-
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Tạm nêu ra 2 cách
C1:

Xét hàm [TEX]f(t)=\frac{lnt}{t+1} [/TEX]

[TEX]f'(t)=\frac{1+\frac{1}{t}-lnt}{(t+1)^2} <0 [/TEX] khi t đủ lớn (>4 là khi ok! )


Vậy khi t đủ lớn, hàm nghịch biến [TEX]\Rightarrow f(2007) > f(2008) \Leftrightarrow \frac{ln2007}{2008} > \frac{ln2008}{2009}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow ln2007^{2009} > ln2008^{2008} \Leftrightarrow 2007^{2009}>2008^{2008}[/TEX]

Đấy là cách giải của 1 học sinh lớp 12 .

Nếu bạn biết tận dụng máy tính bỏ túi thì có thể thu được kết quả nhanh hơn

[TEX]2007^{2009}=10^{2009lg2007}=10^{6634,81...}[/TEX] có 6635 chữ số

[TEX] 2008^{2008}=10^{2008lg2008}=10^{6631,94...}[/TEX] có 6632 chữ số

vậy thu được kết quả trên

Hoan nghênh các em lớp 7 vào giải :)
 
Last edited by a moderator:
T

tester

Ok thì minh bảo là dành cho các bạn từ lớp 7 mà. Bạn dùng đạo hàm như vậy là rất chuẩn, b có thể nghĩ cách giải nào mà học sinh lớp 7 thôi cũng xó thể hiểu ko? Nếu nghĩ ko ra rồi m sẽ có chỉ dẫn sau? OK. Chúc bạn thành công>:p:-*
 
N

nguyenminh44

tester said:
Ok thì minh bảo là dành cho các bạn từ lớp 7 mà. Bạn dùng đạo hàm như vậy là rất chuẩn, b có thể nghĩ cách giải nào mà học sinh lớp 7 thôi cũng xó thể hiểu ko? Nếu nghĩ ko ra rồi m sẽ có chỉ dẫn sau? OK. Chúc bạn thành công>:p:-*
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Có một bổ đề:

Với [TEX]k , n \in N [/TEX] và [TEX]k \leq n [/TEX] ta có

[TEX](1+\frac{1}{n})^k < 1+\frac{k}{n} + \frac{k^2}{n^2}[/TEX]

Chứng minh bằng quy nạp. Cái này các bạn lớp 7 có thể làm được

Áp dụng bổ đề với k=n=2007 ta có

[TEX](1+\frac{1}{2007})^{2007} < 1 + 1+1=3[/TEX]

[TEX] \Rightarrow (1+\frac{1}{2007})^{2008} < 3(1+\frac{1}{2007}) < 3.2=6 < 2007 [/TEX]


Quy đồng lên ta có điều đã chứng minh

:)
 
L

latata

uh bạn nghĩ ra được bổ đề đấy m phục thật. Sau đây m sẽ giải bằng cách khác nhé:
Ta có:
[TEX] \frac{{2007^{2009} }}{{2008^{2008} }} = (\frac{{2007}}{{2008}})^{2008} .2007 [/TEX]

[TEX] > (\frac{{2006}}{{2007}})^{2008} .2007 = (\frac{{2006}}{{2007}})^{2007} .2006 [/TEX]

[TEX]> ....... > (\frac{4}{5})^5 .4 > 1 [/TEX].

Từ đó suy ra [TEX] 2007^{2009} [/TEX] > [TEX]2008^{2008} [/TEX]
Ở đây sd BĐT:
[TEX]\frac{n}{{n + 1}}[/TEX] > [TEX]\frac{n-1}{{n}}[/TEX].


:D:D:D:D:D:D
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenminh44

latata said:
uh bạn nghĩ ra được bổ đề đấy m phục thật. Sau đây m sẽ giải bằng cách khác nhé:
Ta có:
[TEX] \frac{{2007^{2009} }}{{2008^{2008} }} = (\frac{{2007}}{{2008}})^{2008} .2007 [/TEX]

[TEX] > (\frac{{2006}}{{2007}})^{2008} .2007 = (\frac{{2006}}{{2007}})^{2007} .2006 [/TEX]

[TEX]> ....... > (\frac{4}{5})^5 .4 > 1 [/TEX].

Từ đó suy ra [TEX] 2007^{2009} [/TEX] > [TEX]2008^{2008} [/TEX]
Ở đây sd BĐT:
[TEX]\frac{n}{{n + 1}}[/TEX] > [TEX]\frac{n-1}{{n}}[/TEX].:D:D:D:D:D:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách này đúng là rất gọn :)

Chứng minh nốt cái bổ đề kia [TEX](1+\frac{1}{n})^k < 1+\frac{k}{n} +\frac{k^2}{n^2}[/TEX] với [TEX]k ,n \in N[/TEX] và [TEX]k \leq n[/TEX]

Với k=1 bất đẳng thức [TEX]1+\frac{1}{n} < 1+ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}[/TEX] đúng

Gỉa sử bất đẳng thức đúng với [TEX]k=K[/TEX] tức là [TEX](1+\frac{1}{n})^K < 1+\frac{K}{n} +\frac{K^2}{n^2}[/TEX]

Ta chứng minh cho nó đúng với k=K+1

[TEX](1+\frac{1}{n})^{K+1} =(1+\frac{1}{n})^K(1+\frac{1}{n}) < (1+\frac{K}{n}+\frac{K^2}{n^2})(1+\frac{1}{n})[/TEX]

[TEX]=1+\frac{K+1}{n} + \frac{K^2+K}{n^2}+\frac{K^2}{n^3}=1+\frac{K+1}{n}+\frac{nK^2+nK+K^2}{n^3} < 1+\frac{K+1}{n} + \frac{nK^2+2nK+n}{n^3}=1+\frac{K+1}{n}+\frac{(K+1)^2}{n^2}[/TEX]

Điều phải chứng minh.

@ latata có phải là anh tester không vậy :D :D
 
L

latata

Uh mà sao b đoán ra???????, thực ra thì điều mà b chứng minh thông qua bổ đề, có thể sd giới hạn hàm số :
[TEX]\ {\lim }\limits_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{n})^n = e\[/TEX]. Từ đây ta suy ra

[TEX]\(1 + \frac{1}{n})^n < 3\[/TEX].

:D:D
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenminh44

latata said:
Uh mà sao b đoán ra???????, thực ra thì điều mà b chứng minh thông qua bổ đề, có thể sd giới hạn hàm số :
[TEX]\ {\lim }\limits_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{n})^n = e\[/TEX].
Từ đây ta suy ra [TEX]\(1 + \frac{1}{n})^n < 3\[/TEX].

:D:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Chính cái giới hạn cơ bản này nó ám ảnh đấy, làm em bị rối. Nếu không có cái điều kiện "làm cách mà học sinh lớp 7 cũng hiểu được" thì em đã sử dụng nó ngay từ đầu rồi.
Hix, vừa làm vừa nghĩ tới nó, khó chịu vô cùng !

Còn nữa :D nếu dãy [TEX](1+\frac{1}{n})^n[/TEX] (ban nãy anh nhầm [tex] (n+\frac{1}{n})^n[/tex] ) không tăng thực sự thì chắc gì giá trị tại vô cùng đã lớn nhất ? Biết đâu tại n=2007 lại có sự đột biến, giá trị của nó không < 3 :D:D
@Chuyện tại sao em biết thì dễ thôi mà, không phải là đoán ra mà là kiểm tra :D :p ;)
 
Last edited by a moderator:
L

latata

uhhh, mình viết nhầm. Dãy đó lại tăng nữa nên mới có diều c/m. Vậy là do m noi là lớp 7 cũng hiểu là b lại nghĩ ra dc 1 bổ đề hay. Mà qua đó mình cũng bt được thêm 1 cách giải nữa. thanks very much!!!
:-SS:-SS:-SS
 
G

giangln.thanglong11a6

quang1234554321 said:
Xin đóng góp 1 bài :

Giải PT:

[TEX]log_2(x+1)=log_3x^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ĐK: [TEX]\left{x>-1\\x\neq 0[/TEX]

Xét 2TH:
-TH1: [TEX]x<0[/TEX]. PT [TEX]\Leftrightarrow log_2(x+1)=2log_3{(-x)}[/TEX]
Đặt [TEX]log_3{(-x)}=t \Leftrightarrow x=-3^t[/TEX]

[TEX]log_2(1-3^t)=2t \Leftrightarrow 1-3^t=2^{2t} \Leftrightarrow 1=4^t+3^t[/TEX]

VP đồng biến. PT có nghiệm duy nhất [TEX]t=t_0[/TEX]. Do đó PT có nghiệm [TEX]x=-3^{t_0}[/TEX]

-TH2: x>0. PT [TEX]\Leftrightarrow log_2(x+1)=2log_3{x}[/TEX]

Đặt[TEX] log_3x=t \Leftrightarrow x=3^t[/TEX]

[TEX]log_2(3^t+1)=2t \Leftrightarrow 3^t+1=2^{2t} \Leftrightarrow (\frac{1}{4})^t+(\frac{3}{4})^t=1[/TEX]

VT nghịch biến. PT có nghiệm duy nhất [TEX]t=1 \Leftrightarrow x=3[/TEX].
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom