[toán11 ]số bài lượng giác khó

[vipteenboypro]

pa con oi! lam` giup minh bai` ne zo?i: CMR:$$tan^2(x)+tan^2(60^{o}+x)+tan^2(60{^o}-x)=9tan^2(3x)+6$$
bạn chsu ý đánh tex và dánh có dấu

 

[botvit]

pa con oi! lam` giup minh bai` ne zo?i: CMR:$$tan^2(x)+tan^2(60^{o}+x)+tan^2(60{^o}-x)=9tan^2(3x)+6$$
bạn chsu ý đánh tex và dánh có dấu

cậu thay$$tan3x=tanxtan(60^{o}+x)tan(60{^o}-x)$$
......................

 

[kindaichi184]

1/giải PT: [TEX]\frac{sin^3x.sin3x+cos^3x.cos3x}{tan(x-\frac{pi}{6}).tan(x+\frac{pi}{3})}=-\frac{1}{8}[/TEX]
2/ CMR trong mọi tam giác ta đều có:
[TEX]sin(\frac{pi-A}{4}).sin(\frac{pi-B}{4}).sin(\frac{pi-C}{4})[/TEX]\geq [TEX] sin.A/2.sin.B/2. sin.C/2[/TEX]

 

[doremon.]

giải PT: [TEX]\frac{sin^3x.sin3x+cos^3x.cos3x}{tan(x-\frac{pi}{6}).tan(x+\frac{pi}{3}}=-\frac{1}{8}[/TEX]

ta có $$sin^3xsin3x+cos^3xcos3x$$
=[TEX]\frac{(3inx-sin3x)sin3x}{4}+\frac{(cos3x+3cosx)cos3x}{4}[/TEX]
=[TEX]\frac{3(sinxsin3x+cosxcos3x)+cos^23x-sin^23x}{4}[/TEX]
=[TEX]\frac{3cos2x+cos6x}{4}[/TEX](1)

lại có [TEX]tan(x-\frac{\pi}{6})tan(x+\frac{\pi}{3})[/TEX]
=[TEX]\frac{sin(x-\frac{\pi}{6})sin(x+\frac{\pi}{3})}{cos(x-\frac{\pi}{6})cos(x+\frac{\pi}{3})}[/TEX]=-1(2)
từ (1),(2)
ta có

[TEX]\frac{sin^3x.sin3x+cos^3x.cos3x}{tan(x-\frac{pi}{6}).tan(x+\frac{pi}{3})}=-\frac{1}{8}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{3cos2x+cos6x}{4}[/TEX]=$$\frac{1}{8}$$
\Leftrightarrow[TEX]6cos2x+2cos6x=1[/TEX]
\Leftrightarrow$$6cos2x+8cos^32x-6cos2x=1$$

 

[bupbexulanxang]

1/giải PT: [TEX]\frac{sin^3x.sin3x+cos^3x.cos3x}{tan(x-\frac{pi}{6}).tan(x+\frac{pi}{3})}=-\frac{1}{8}[/TEX]
2/ CMR trong mọi tam giác ta đều có:
[TEX]sin(\frac{pi-A}{4}).sin(\frac{pi-B}{4}).sin(\frac{pi-C}{4})[/TEX]\geq [TEX]sin\frac{A}{2} sin\frac{B}{2} sin\frac{C}{2}[/TEX]

Vế phải là thế nào đây U ơi!
sin([TEX]A/2).[/TEX]sin([TEX]B/2[/TEX]).sin([TEX]C/2[/TEX])???


Hay sin(2A).sin(2B).sin(2C)???

Hay..............rõ hơn tí !


Bạn xem lại đề rồi thử dùng BĐT Cô-si cho vế phải xem!!!

 

[doremon.]

2/ CMR trong mọi tam giác ta đều có:
[TEX]sin(\frac{\pi-A}{4}).sin(\frac{\pi-B}{4}).sin(\frac{\pi-C}{4})[/TEX]\geq [TEX] sin(\frac{A}{2}).sin(\frac{B}{2}). sin(\frac{C}{2}[/TEX]

[TEX]sin(\frac{\pi-A}{4}).sin(\frac{\pi-B}{4}).sin(\frac{\pi-C}{4})[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{2}sin(\frac{\pi-C}{4})[cos(\frac{B-A}{4})-\frac{1}{2}sin(\frac{\pi-C}{4})sin(\frac{A+B}{4})[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{4}[sin(\frac{A}{2})+sin(\frac{B}{2})+sin(\frac{C}{2})[/TEX]

mà 4[TEX]sin(\frac{A}{2})sin(\frac{B}{2})sin(\frac{C}{2}[/tex] =cosA+cosB+cosC-1

vậy ta cần chứng chứng minh
[TEX]sin(\frac{A}{2})+sin(\frac{B}{2})+sin(\frac{C}{2})[/TEX][TEX]\geq cosA+cosB+cosC-1[/TEX]

ta có [TEX]cosA+cosB\leq 2sin(\frac{C}{2})[/TEX]
\Leftrightarrow2$$cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$$\leq2[tex]sin(\frac{C}{2})[/TEX]
\Leftrightarrow2$$sin(\frac{C}{2})[cos(\frac{A-B}{2})-1]\leq0$$(*)
BĐT (*) luôn đúng vì: [TEX]\left{\begin{cos(\frac{A-B}{2})\leq1}\\{sin(\frac{C}{2})>0} [/TEX]
tương tự ta có
$$cosB+cosC\leq2sin(\frac{A}{2})$$
$$cosA+cosC\leq2sin(\frac{B}{2})$$
cộng vế với vế của 3 bđt trên ta được
[tex] sin(\frac{A}{2})+sin(\frac{B}{2})+sin(\frac{C}{2})[/TEX]\geq cosA+cosB+cosC \geq cosA+cosB+cosC-1
hay
[TEX]sin(\frac{\pi-A}{4}).sin(\frac{\pi-B}{4}).sin(\frac{\pi-C}{4})[/TEX]\geq [TEX] sin(\frac{A}{2}).sin(\frac{B}{2}). sin(\frac{C}{2}[/TEX]
\Rightarrowđpcm