Câu 1/
Gọi cạnh hình vuông có độ dài là a khi đó ta có
$\cos \left( {\widehat {CDM}} \right) = \dfrac{{DC}}{{DM}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\\
\cos \left( {\widehat {DMC}} \right) = \dfrac{{CM}}{{DM}} = \dfrac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}$
Toạ độ điểm D là giao điểm của đường thẳng qua C hợp với DM 1 góc $\cos \left( {\widehat {CDM}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
Gọi toạ độ D ( t; t - 2) có
$\overrightarrow {{u_{DM}}} = \left( {1;1} \right)\\
\overrightarrow {DC} = \left( {3 - t; - 1 - t} \right)\\
= > \cos \left( {\widehat {CDM}} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_{DM}}} \overrightarrow {DC} } \right|}}{{|\overrightarrow {{u_{DM}}} ||\overrightarrow {DC} |}} = \dfrac{{\left| {3 - t - 1 - t} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {3 - t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - t} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {2 - 2t} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {10 - 4t + 2{t^2}} }}\\
= > \cos \left( {\widehat {CDM}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 - 2t} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {10 - 4t + 2{t^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\\
\leftrightarrow \sqrt 5 \left| {1 - t} \right| = \sqrt 2 \sqrt {10 - 4t + 2{t^2}} \leftrightarrow 5 - 10t + 5{t^2} = 20 - 8t + 4{t^2}
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 3 = > D\left( { - 3; - 5} \right)\\
t = 5 = > D\left( {5;3} \right)
\end{array} \right.$
Toạ độ điểm M là giao điểm của đường thẳng qua C hợp với DM 1 góc
Gọi toạ độ M ( t1; t1 - 2) có
$\overrightarrow {{u_{DM}}} = \left( {1;1} \right)\\
\overrightarrow {MC} = \left( {3 - {t_1}; - 1 - {t_1}} \right)\\
= > \cos \left( {\widehat {CMD}} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_{DM}}} \overrightarrow {MC} } \right|}}{{|\overrightarrow {{u_{Dm}}} ||\overrightarrow {MC} |}} = \dfrac{{\left| {3 - {t_1} - 1 - {t_1}} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {3 - {t_1}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - {t_1}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{|2 - 2t|}}{{\sqrt 2 \sqrt {10 - 4{t_1} + 2{t_1}^2} }}\\
= > \cos \left( {\widehat {CMD}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \leftrightarrow \dfrac{{|2 - 2t|}}{{\sqrt 2 \sqrt {10 - 4{t_1} + 2{t_1}^2} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\
\leftrightarrow 2\sqrt 5 |1 - t| = \sqrt 2 \sqrt {10 - 4{t_1} + 2{t_1}^2} \leftrightarrow 20 - 40t + 20{t^2} = 20 - 8{t_1} + 4{t_1}^2 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{t_1} = 0 = > M\left( {0; - 2} \right)\\
{t_1} = 2 = > M\left( {2;0} \right)
\end{array} \right.$
Như vậy có 2 cặp điểm M, D thoả mãn là: D(5; 3), M(0; -2) và D(-3; -5), M(2; 0) thoả mãn DC vuông góc với CM tại C.
+Với D(5; 3), M(0; -2)
Vì M là trung điểm BC nên toạ độ B $\left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 2{x_M} - {x_C} = 2.\left( 0 \right) - 3 = - 3\\
{y_B} = 2{y_M} - {y_C} = 2.\left( { - 2} \right) + 3 = - 1
\end{array} \right.$
Gọi toạ độ điểm A (a; 2 - 3a), ta có AB vuông góc với AD nên
$\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \leftrightarrow \left( { - 2; - 6} \right) = \left( { - 3 - a; - 3 + 3a} \right) \leftrightarrow a = - 1\\
= > A\left( { - 1;5} \right)$
+Với D(-3; -5), M(2; 0) => không tồn tại A thoả mãn.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn