Toán Toán olimpic 8!

[ngoclinh64@yahoo.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có [tex]\widehat{BAC}=120^{\circ}[/tex]. Các phân giác trong lần lượt là AD, BE và CF.
a) CMR:[tex]\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}[/tex]
b)Tính: [tex]\widehat{FDE}[/tex]

 

[Kent Kazaki]

a/ Qua A;B. Ta dựng các đường thẳng song song AC, AB lần lượt cắt AD tại E và F ( E ; F thuộc AD )
Vì : AC // BE ( cách dựng ) nên theo hệ quả của định lí Ta - lét. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{DE}{DA}[/tex]
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức :
[tex]\frac{DB+DC}{DC}=\frac{DE+DA}{DA}[/tex] hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AD}[/tex] ( ABE đều )
Hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{AD}[/tex] <=> [tex]\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AB}[/tex] (Nghịch đảo 2 vế) (1)
Tương tự : AB//CF. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{DF}[/tex]
=> [tex]\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AD}{AD+DF}[/tex] hay [tex]\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AF}=\frac{AD}{AC}[/tex] ( AFC đều )
Hay [tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{AC}[/tex] (2)
Ta cộng (1) và (2) lại theo từng vế. Ta có :
[tex]\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}[/tex]
<=> [tex]\frac{BC}{BC}=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]1=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} (DPCM)[/tex]

 

[Kent Kazaki]

a/ Qua A;B. Ta dựng các đường thẳng song song AC, AB lần lượt cắt AD tại E và F ( E ; F thuộc AD )
Vì : AC // BE ( cách dựng ) nên theo hệ quả của định lí Ta - lét. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{DE}{DA}[/tex]
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức :
[tex]\frac{DB+DC}{DC}=\frac{DE+DA}{DA}[/tex] hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AD}[/tex] ( ABE đều )
Hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{AD}[/tex] <=> [tex]\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AB}[/tex] (Nghịch đảo 2 vế) (1)
Tương tự : AB//CF. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{DF}[/tex]
=> [tex]\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AD}{AD+DF}[/tex] hay [tex]\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AF}=\frac{AD}{AC}[/tex] ( AFC đều )
Hay [tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{AC}[/tex] (2)
Ta cộng (1) và (2) lại theo từng vế. Ta có :
[tex]\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}[/tex]
<=> [tex]\frac{BC}{BC}=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]1=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} (DPCM)[/tex]

Chết. Sai r

 

[Ma Long]

a/ Qua B,C. Ta dựng các đường thẳng song song AC, AB lần lượt cắt AD tại M và N ( M ; N thuộc AD )
Vì : AC // BM ( cách dựng ) nên theo hệ quả của định lí Ta - lét. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{DM}{DA}[/tex]
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức :
[tex]\frac{DB+DC}{DC}=\frac{DM+DA}{DA}[/tex] hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AM}{AD}=\frac{AB}{AD}[/tex] ( ABM đều )
Hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{AD}[/tex] <=> [tex]\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AB}[/tex] (Nghịch đảo 2 vế) (1)
Tương tự : AB//CN. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{DN}[/tex]
=> [tex]\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AD}{AD+DN}[/tex] hay [tex]\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AN}=\frac{AD}{AC}[/tex] ( AFC đều )
Hay [tex]\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AC}[/tex] (2)
Ta cộng (1) và (2) lại theo từng vế. Ta có :
[tex]\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}[/tex]
<=> [tex]\frac{BC}{BC}=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]1=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} (DPCM)[/tex]

Cách của bạn hay đó chứ. chỉnh lại 1 chút là chuẩn rồi.
Ta ý a suy ra:
[tex]AD=\dfrac{AB.AC}{AB+AC}[/tex]
Lại có:
[tex]\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow \dfrac{BC-DB}{DB}= \dfrac{AC}{AB}\Rightarrow DB=\dfrac{AB.BC}{AB+AC}[/tex]
Suy ra:
[tex]\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BF}[/tex]
Suy ra DF là phân giác góc ADB
Tương tự DE là phân giác góc ADC suy ra góc FDE=90.