a/ Qua A;B. Ta dựng các đường thẳng song song AC, AB lần lượt cắt AD tại E và F ( E ; F thuộc AD )
Vì : AC // BE ( cách dựng ) nên theo hệ quả của định lí Ta - lét. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{DE}{DA}[/tex]
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức :
[tex]\frac{DB+DC}{DC}=\frac{DE+DA}{DA}[/tex] hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AD}[/tex] ( ABE đều )
Hay [tex]\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{AD}[/tex] <=> [tex]\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AB}[/tex] (Nghịch đảo 2 vế) (1)
Tương tự : AB//CF. Ta có được :
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{DF}[/tex]
=> [tex]\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AD}{AD+DF}[/tex] hay [tex]\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AF}=\frac{AD}{AC}[/tex] ( AFC đều )
Hay [tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{AC}[/tex] (2)
Ta cộng (1) và (2) lại theo từng vế. Ta có :
[tex]\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}[/tex]
<=> [tex]\frac{BC}{BC}=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]1=AD(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})[/tex]
<=> [tex]\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} (DPCM)[/tex]