Toán Toán nâng cao đại số

[ngoclinh64@yahoo.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x>0; y>0 và x+y=3. Tìm max của [tex]M=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}[/tex]

 

[robinxitrum1]

M=[tex]\frac{x}{x+1}+\frac{3-x}{4-x}=\frac{-2x^{2}+6x+3}{-x^{2}+3x+4}[/tex]
Giả sử a là giá trị của M
=>[tex]-a^{2}+3ax+4a=-2x^{2}+6x+3[/tex]
<=>(a-2)[tex]x^{2}[/tex]-3(a-2)x-4a+3=0
[tex]\Delta[/tex]=25[tex]a^{2}[/tex]-80a+60
hệ có nghiệm khi [tex]\Delta[/tex] không âm hay a>=2 hoặc a<=6/5
Các giá trị x bạn tự tìm nha

 

[Ma Long]

Cho x>0; y>0 và x+y=3. Tìm max của [tex]M=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}[/tex]

Giải:
1 cách khác:
[tex]M=\dfrac{xy+x+xy+y}{xy+x+y+1}=\dfrac{2xy+3}{xy+4}=2-\dfrac{5}{xy+4}[/tex]
Có:
[tex]xy\leq \dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow M\leq 2-\dfrac{5}{\dfrac{9}{4}+4}=\frac{6}{5}[/tex]
[tex]MaxM=\frac{6}{5}\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2}[/tex].

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho x>0; y>0 và x+y=3. Tìm max của [tex]M=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}[/tex]

Ta có:
$\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1};\dfrac{y}{y+1}=1-\dfrac{1}{y+1}$
$M=2-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1})$
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có
$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1} \geq \dfrac{4}{x+y+2}=\dfrac{4}{5}$
$\Rightarrow M \geq 2-\dfrac{4}{5} =\dfrac{6}{5}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\dfrac{3}{2}$
Vậy...