[Toán] GTNN $p=\frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy} $

H

haicarrick97

[TEX]p=\frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy}[/TEX]

Cauchy cho 3 số dương [TEX]\frac{36x}{yz}, \frac{2y}{xz}, \frac{z}{xy}[/TEX]:
[TEX]\Rightarrow P \geq 3.\sqrt[3]{\frac{72xyz}{x^{2}y^{2}z^{2}}}=3.\sqrt[3]{\frac{72}{xyz}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Min P =3.\sqrt[3]{\frac{72}{xyz}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Để P min thì tích [TEX]A=xyz[/TEX] max
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Do x, y, z đều dương và nằm trong [TEX][1;3][/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Tích xyz có max là [TEX]3.3.3=27[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] GTNN của P là [TEX]3.\sqrt[3]{\frac{72}{27}}=\sqrt[3]{72}[/TEX]
 
H

huynhbachkhoa23

Xét hiệu:
$\dfrac{36x}{yz}+\dfrac{2y}{zx}+\dfrac{z}{xy}-\dfrac{36}{yz}-\dfrac{2y}{z}-\dfrac{z}{y}=\dfrac{(x-1)(36x-2y^2-z^2)}{xyz} \ge 0$ do $x\ge 1$, $36x\ge 36$ và $2y^2+z^2\le 27$

Tiếp tục xét hiệu:
$\dfrac{36}{yz}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{z}{y}-\dfrac{18}{z}-\dfrac{z}{3}=\dfrac{(3-y)(36-6y+z^2)}{3yz}\ge 0$ do $3\ge y$, $36-6y+z^2\ge 18+z^2>0$

Tương tự ta xét hiệu: $\dfrac{18}{z}+\dfrac{z}{3}-7=\dfrac{(z-3)(z-18)}{z}\ge 0$

Do đó ta có $P\ge\dfrac{36}{yz}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge \dfrac{18}{z}+\dfrac{z}{3}\ge 7$
 
M

moonlight1532

bài này có thể giải theo cách xét hàm của từng ẩn một.ban đầu coi là hàm của F(x) rồi đến F(y) xong rồi F(z)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom