[Toán] GTNN $p=\frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy} $

Thảo luận trong 'Chuyên đề 10: Bất đẳng thức, tìm Min-Max' bắt đầu bởi nhomkit2, 11 Tháng một 2015.

Lượt xem: 1,453

  1. nhomkit2

    nhomkit2 Guest

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Cho ba số thực x,y,z thuộc [1;3]. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    $p=\frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy} $

    Các bạn giải hộ
     
  2. haicarrick97

    haicarrick97 Guest

    [TEX]p=\frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy}[/TEX]

    Cauchy cho 3 số dương [TEX]\frac{36x}{yz}, \frac{2y}{xz}, \frac{z}{xy}[/TEX]:
    [TEX]\Rightarrow P \geq 3.\sqrt[3]{\frac{72xyz}{x^{2}y^{2}z^{2}}}=3.\sqrt[3]{\frac{72}{xyz}}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow Min P =3.\sqrt[3]{\frac{72}{xyz}}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] Để P min thì tích [TEX]A=xyz[/TEX] max
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] Do x, y, z đều dương và nằm trong [TEX][1;3][/TEX]
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] Tích xyz có max là [TEX]3.3.3=27[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] GTNN của P là [TEX]3.\sqrt[3]{\frac{72}{27}}=\sqrt[3]{72}[/TEX]
     
  3. Xét hiệu:
    $\dfrac{36x}{yz}+\dfrac{2y}{zx}+\dfrac{z}{xy}-\dfrac{36}{yz}-\dfrac{2y}{z}-\dfrac{z}{y}=\dfrac{(x-1)(36x-2y^2-z^2)}{xyz} \ge 0$ do $x\ge 1$, $36x\ge 36$ và $2y^2+z^2\le 27$

    Tiếp tục xét hiệu:
    $\dfrac{36}{yz}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{z}{y}-\dfrac{18}{z}-\dfrac{z}{3}=\dfrac{(3-y)(36-6y+z^2)}{3yz}\ge 0$ do $3\ge y$, $36-6y+z^2\ge 18+z^2>0$

    Tương tự ta xét hiệu: $\dfrac{18}{z}+\dfrac{z}{3}-7=\dfrac{(z-3)(z-18)}{z}\ge 0$

    Do đó ta có $P\ge\dfrac{36}{yz}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge \dfrac{18}{z}+\dfrac{z}{3}\ge 7$
     
  4. bài này có thể giải theo cách xét hàm của từng ẩn một.ban đầu coi là hàm của F(x) rồi đến F(y) xong rồi F(z)
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY