[Toán] GTNN $p=\frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy} $

H

haicarrick97

[TEX]p=\frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy}[/TEX]

Cauchy cho 3 số dương [TEX]\frac{36x}{yz}, \frac{2y}{xz}, \frac{z}{xy}[/TEX]:
[TEX]\Rightarrow P \geq 3.\sqrt[3]{\frac{72xyz}{x^{2}y^{2}z^{2}}}=3.\sqrt[3]{\frac{72}{xyz}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Min P =3.\sqrt[3]{\frac{72}{xyz}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Để P min thì tích [TEX]A=xyz[/TEX] max
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Do x, y, z đều dương và nằm trong [TEX][1;3][/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Tích xyz có max là [TEX]3.3.3=27[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] GTNN của P là [TEX]3.\sqrt[3]{\frac{72}{27}}=\sqrt[3]{72}[/TEX]
 
H

huynhbachkhoa23

Xét hiệu:
$\dfrac{36x}{yz}+\dfrac{2y}{zx}+\dfrac{z}{xy}-\dfrac{36}{yz}-\dfrac{2y}{z}-\dfrac{z}{y}=\dfrac{(x-1)(36x-2y^2-z^2)}{xyz} \ge 0$ do $x\ge 1$, $36x\ge 36$ và $2y^2+z^2\le 27$

Tiếp tục xét hiệu:
$\dfrac{36}{yz}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{z}{y}-\dfrac{18}{z}-\dfrac{z}{3}=\dfrac{(3-y)(36-6y+z^2)}{3yz}\ge 0$ do $3\ge y$, $36-6y+z^2\ge 18+z^2>0$

Tương tự ta xét hiệu: $\dfrac{18}{z}+\dfrac{z}{3}-7=\dfrac{(z-3)(z-18)}{z}\ge 0$

Do đó ta có $P\ge\dfrac{36}{yz}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge \dfrac{18}{z}+\dfrac{z}{3}\ge 7$
 
M

moonlight1532

bài này có thể giải theo cách xét hàm của từng ẩn một.ban đầu coi là hàm của F(x) rồi đến F(y) xong rồi F(z)
 
Top Bottom