[Toán] GTLN GTNN

[yct_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b, c là các số thực thoả mãn a+b+c=0. chứng minh rằng:

[TEX] \frac{1}{8^{\frac{a}{2}} +8^{\frac{b}{2}} + 1} +\frac{1}{8^{\frac{b}{2}} +8^{\frac{c}{2}} + 1} + \frac{1}{8^{\frac{c}{2}} +8^{\frac{a}{2}} + 1} \leq 1[/TEX]

Add giải giúp ạ.

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $(8^{a/2}, 8^{b/2}, 8^{c/2})=(x,y,z)$
Khi đó $xyz=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{1}{x+y+1}+\dfrac{1}{y+z+1}+\dfrac{1}{z+x+1}\le 1$
Khi đó đặt $x=m^3, y=n^3, x=p^3$ thì bất đẳng thức trở thành:
$\dfrac{1}{m^3+n^3+mnp}+\dfrac{1}{n^3+p^3+mnp}+ \dfrac{1}{p^3+m^3+mnp}\le 1$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $m^3+n^3+mnp\ge mn(m+n+p) \leftrightarrow \dfrac{1}{m^3+n^3+mnp}\le \dfrac{m}{m+n+p}$
Tương tự rồi cộng lại.