Toán Toán đại số nâng cao!

[trungrom3210]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/cho [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc[/tex] với a,b,c khác 0 và a+b+c khác 0
tính
[tex](2008+\frac{a}{b})(2008+\frac{b}{c})(2008+\frac{c}{a})[/tex]
2/tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= [tex]\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{x+z}[/tex]
với x,y,z > 0 và [tex]\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1[/tex]
3/ cho dãy số cùng chiều
[tex]a1\leq a2 \leq a3[/tex] và [tex]b1\leq b2 \leq b3[/tex]
chứng minh
[tex](a1+a2+a3)(b1+b2+b3)\leq 3(a1b1+a2b2+a3b3)[/tex]
4/cho [tex]x^{3}+y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x+y)+4=0[/tex] tìm max [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/tex]
5/ tìm nghiệm nguyên dương cho phương trình
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} =7[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1)[tex]a^3+b^3+c^3=3abc \\\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0 \\\Rightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0 \\\Rightarrow (a+b+c)(...)-3ab(a+b+c)=0 \\\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0 \\\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca(a+b+c \neq 0) \\\Rightarrow a=b=c(a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca)[/tex]
tới đây bạn thay vào biểu thức trên để tính nhé ^^
2)Áp dụng bất đẳng thức cauchy schwarz dạng engel(svac) ta có:
[tex]\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x} \\\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} \\=\frac{x+y+z}{2} \\\geq \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2} \\=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu '=' khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
3)Đây là bất đẳng thức Trebusep bạn phá tung cái ngoặc rút gọn rồi nhóm sẽ thành :
[tex](b_2-b_1)(a_1-a_2)+(b_1-b_3)(a_3-a_1)+(b_3-b_2)(a_2-a_3) \geq 0[/tex]
Điều này luôn đúng do $a_1 \geq a_2 \geq a_3 ,b_1 \leq b _2 \leq b_3$
4)Bạn phân tích cái gt thành nhân tử là sẽ ra :

[tex]... \\\Leftrightarrow (x+y+2)(x^2+y^2-xy+x+y+2)=0 \\\Leftrightarrow x+y=-2(x^2+y^2-xy+x+y+2 > 0) \\\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \\=\frac{a+b}{ab} \\=\frac{-2}{ab} \\\leq \frac{-2}{\frac{(a+b)^2}{4}}=-2[/tex]
5)[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=7 \\\Rightarrow y+x-7xy=0 \\\Rightarrow y(1-7x)=x \\\Rightarrow y=\frac{x}{1-7x} \\\Rightarrow 7y=\frac{-(1-7x)+1}{1-7x} \\\Rightarrow 7y=-1+\frac{1}{1-7x}[/tex]
Tới đây do x,y nguyên nên $1-7x$ thuộc $U(1)$.Tới đây bạn thay vào tìm x,y nhé!!

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

5/
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=7\\\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{7xy}{xy}\\\Rightarrow x+y=7xy\\\Leftrightarrow x-7xy-\frac{1}{7}+y-=\frac{-1}{7}\\\Leftrightarrow x(1-7y)-\frac{1}{7}(1-7y)=\frac{-1}{7}\\\Leftrightarrow (1-7y)\left ( x-\frac{1}{7} \right )=0\\\Leftrightarrow \begin{cases} x-\frac{1}{7}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}\\1-7y=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{7}\end{cases}[/tex]
=>pt vô nghiệm nguyên dương

 

[lengoctutb]

 

[lengoctutb]

5/
[tex]x(1-7y)-\frac{1}{7}(1-7y)=\frac{-1}{7}\\\Leftrightarrow (1-7y)\left ( x-\frac{1}{7} \right )=0[/tex]

Ủa ở trên là $\frac{-1}{7}$ sao ở dưới là $0$ được !

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Ủa ở trên là $\frac{-1}{7}$ sao ở dưới là $0$ được !

sorry mk nhầm

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

5)[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=7 [/tex]
[tex]\Rightarrow y+x-7xy=0 \\\Rightarrow y(1-7x)=x [/tex]
[tex]\Rightarrow y=\frac{x}{1-7x} \\\Rightarrow 7y=\frac{-(1-7x)+1}{1-7x} \\\Rightarrow 7y=-1+\frac{1}{1-7x}[/tex]
Tới đây do x,y nguyên nên $1-7x$ thuộc $U(1)$.Tới đây bạn thay vào tìm x,y nhé!!

[tex]\Rightarrow y+x-7xy=0 \\\Rightarrow y(1-7x)=-x [/tex]