Toán Toán cực trị

[lengoctutb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y>0$ và $x+y=4$. Tìm $GTNN$ của $A=x^{3}+y^{3}$ và $B=y^{4}+y^{4}$

 

[batman1907]

Cho $x,y>0$ và $x+y=4$. Tìm $GTNN$ của $A=x^{3}+y^{3}$ và $B=y^{4}+y^{4}$

$A=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=4(x+y)^{2}-12xy\geq 4(x+y)^{2}-12.\dfrac{(x+y)^{2}}{4}=16$
$B=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=\left [ (x+y)^{2}-2xy \right ]^{2}-2(xy)^{2}\geq \left [ (x+y)^{2}-2.\dfrac{(x+y)^{2}}{4} \right ]^{2}-2.\left [ \dfrac{(x+y)^{2}}{4} \right ]^{2}=32$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=2$

 

[lengoctutb]

$A=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=4(x+y)^{2}-12xy\geq 4(x+y)^{2}-12.\dfrac{(x+y)^{2}}{4}=16$
$B=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=\left [ (x+y)^{2}-2xy \right ]^{2}-2(xy)^{2}\geq \left [ (x+y)^{2}-2.\dfrac{(x+y)^{2}}{4} \right ]^{2}-2.\left [ \dfrac{(x+y)^{2}}{4} \right ]^{2}=32$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=2$

 

[batman1907]

View attachment 4738

Đó đơn giản chỉ là phép biến đổi biểu thức cơ bản mà em.
$A=x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=4x^{2}-4xy+4y^{2}=4(x^{2}+2xy+y^{2})-12xy=4(x+y)^{2}-12xy$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cho $x,y>0$ và $x+y=4$. Tìm $GTNN$ của $A=x^{3}+y^{3}$ và $B=y^{4}+y^{4}$

Một cách khác cách của anh An
[tex]x^3+8+8 \geq 12x \\y^3+8+8 \geq 12y \\\Rightarrow x^3+y^3 \geq 12(x+y)-32=16[/tex]
Dấu '=' giống như trên.
tương tự với $x^4+y^4$(AM-GM 4 số )

 

[lengoctutb]

Đó đơn giản chỉ là phép biến đổi biểu thức cơ bản mà em.
$A=x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=4x^{2}-4xy+4y^{2}=4(x^{2}+2xy+y^{2})-12xy=4(x+y)^{2}-12xy$

Cảm ơn anh, em hiểu rồi !