Toán toán 9

[nguyenlong2612003]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh bất đẳng thức sau :
(x^2/a ) + (y^2/b) >= ((x+y)^2)/(a+b) biết a,b,x,y >0

 

[Otaku8874]

chứng minh bất đẳng thức sau :
(x^2/a ) + (y^2/b) >= ((x+y)^2)/(a+b) biết a,b,x,y >0

 

[Tưi Tưi]

$$\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}b+y^{2}a}{ab}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow (x^{2}b+y^{2}a)(a+b)\geq ab(x^{2}+2xy+y^{2})$$
$$\Leftrightarrow x^{2}ab+x^2b^2+y^2a^2+y^2ab\geq x^2ab+2xyab+y^2ab$$
$$\Leftrightarrow (xb)^2-2.xb.ya+(ya)^2\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (xb-ya)^2\geq 0$$ (luôn đúng)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=>
$$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$$

 

[maloimi456]

Áp dụng BĐT Bunhia cho 4 số $$\frac{x}{\sqrt{a}},\frac{y}{\sqrt{b}},\sqrt{a},\sqrt{b}$$, Ta có:
$$(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b})(a+b)\geq (x+y)^2$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\geq \frac{(x+y)^2}{a+b}$$ (đpcm)
dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}$$