Cho đa giác đều n cạnh. Dùng 3 màu xanh,đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một cách tùy ý (mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu). Cho phép thực hiện thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề nhau bất kì (nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại.
a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu.
b) Chứng minh rằng với n=4 và n=8, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu.
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức:
(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)
2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện: [TEX](\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\ge 4[/TEX].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}[/TEX]
Câu 4:
Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a≤b≤3≤c;c≥b+1;a+b≥c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}[/TEX]
1) Tìm 2 chữ số tận cùng của số:A=41^{106}+57^{2012}
Cho ΔABC nhọn (AB>AC) nội tiếp đường tròn (O). Giả sử M;N là 2 điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB. P là hình chiếu vuông góc C trên AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB.
1) Giả sử CP giao QM tại T. CMR: T nằm trên đường tròn tâm (O)
2) NQ giao (O) tai R khác N. Giả sử AM giao PQ tại S. CMR 4 điểm A,R,Q,S thuộc 1 đường tròn.
Câu 4: Chứng minh rằng trong 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9.
Câu 5: Cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB,BC,CA. M là giao của EF và BC, AD cắt (I) tại N (N không trùng D). Gọi K là giao của AI và EF.
a) Chứng minh I,D,N,K cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của (I).
Câu 2:
Cho các số thực a,b,x,y thoả a,b,a+b khác 0, x^2+y^2=1 và x^4/a+y^4/b=1/(a+b). Chứng minh rằng:
1) bx^2=ay^2
2)[TEX]\frac{x^2012}{a^1006}+\frac{y^2012}{b^1006}=\frac{2}{(a+b)^1006}[/TEX]
