[Toán 9]Team contest

[minhtuyb]

4/CMR:Trong các tam giác có chu vi bằng nhau,tam giác đều là tam giác có diện tích lớn nhất

Bài này lạm dụng hêrông chút , về phần chứng minh thì mượn tạm của bạn khanhtoan_qb vậy:http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1726036&postcount=3
-Gọi độ bài ba cạnh của tam giác là [TEX]a,b,c>0.[/TEX]. Vì chu vi tam giác không đổi nên đặt: [TEX]a+b+c=k=const(k>0)[/TEX]
-Áp dụng hệ thức hê rông, ta có:
[TEX]S=\sqrt{\frac{k}{2}.(\frac{k}{2}-a).(\frac{k}{2}-b).(\frac{k}{2}-c)}=\sqrt{\frac{k}{2}}.\sqrt{\frac{b+c-a}{2}.\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}}[/TEX]
[TEX]=\sqrt{\frac{k}{2}}\sqrt{\frac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{8}}\leq \sqrt{\frac{k}{2}}.\sqrt{\frac{abc}{8}}[/TEX]
[TEX]\leq \sqrt{\frac{k}{2}}.\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{8.27}}=\sqrt{\frac{k}{2}}.\sqrt{\frac{k^3}{216}}=\frac{k^2}{12\sqrt{3}}=const[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c\Leftrightarrow[/TEX]tam giác đó là tam giác đều
-Vậy trong các tam giác có chu vi bằng nhau và bằng [TEX]k[/TEX],tam giác đều là tam giác có diện tích lớn nhất là [TEX]\frac{k^2}{12\sqrt{3}}[/TEX]

 

[harrypham]

Đề thi tuần thứ 2:
1/Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng:
[TEX]P=n^n+1[/TEX]
với n là 1 số nguyên dương và P có ít hơn 20 chữ số

Harrypham xin giải bài 1.

Bài toán tương đương với việc tìm n sao cho [TEX]n^n+1<10^{19}[/TEX].
Khi đó [TEX]n<19[/TEX]. Dễ thấy n phải chẵn vì nếu n lẻ thì [TEX]n^n+1[/TEX] chẵn nên P hợp số.

• Nếu [TEX]n=1[/TEX] thì [TEX]P=2<19[/TEX] thỏa mãn.
• Nếu n chẵn và có ước lẻ. Đặt [TEX]n=pq[/TEX] với q lẻ, p,q nguyên dương.
  Khi đó [TEX]n^{pq}=(n^p)^q+1 \ \vdots n^p+1[/TEX], [TEX]n^{pq}+1>n^p+1[/TEX] nên [TEX]P[/TEX] là hợp số.

Do vậy n là số chẵn và không có ước lẻ. Như vậy ta thử [TEX]n \in \{ 2,4,8,16 \}[/TEX].

Kết luận. Đáp án bài toán là [TEX]\fbox{ n \in \{ 1,2,4 \}}[/TEX].

 

[harrypham]

5/Tìm max của:
[TEX]A=\frac{1}{(a+2b+c)^2}+\frac{1}{(a+b+2c)^2}+\frac{1}{(2a+b+c)^2}[/TEX]
với [TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\leq \frac{1}{2011}[/TEX] và a;b;c >0

Bài này thì hướng dẫn là ta nên chứng minh 2 BĐT sau:

1) [TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)^2 \ge \frac{1}{2} \left(\frac{4}{x+y} \right)^2[/TEX]

2) [TEX]\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2} \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+ \frac{1}{y+z} \right)^2 \ge \frac{1}{2} \left(\frac{4}{x+2y+z} \right)^2[/TEX]

Dễ dàng chứng minh theo AM-GM.

 

[son9701]

Áp dụng BĐT Minkowsky ta có
[TEX]VT\geq \sqrt[3]{(1+1+1)^3+(a+b+c)^3}=\sqrt[3]{27+(a+b+c)^3}[/TEX] (đpcm)

Sai òi.Lm gì có Min-cốp-xki dạng đó.Nếu có thì cminh tổng quát đi

 

[daovuquang]

Đề bài 2 sai rồi kìa bạn ơi.
P/S: đề nghị chuyển tên Added Team thành VICTORY nhé. Ai trong team pm cho mình, chưa biết có ai cả.

 

[bboy114crew]

Áp dụng BĐT Minkowsky ta có
[TEX]VT\geq \sqrt[3]{(1+1+1)^3+(a+b+c)^3}=\sqrt[3]{27+(a+b+c)^3}[/TEX] (đpcm)

Đừng có copy kiểu này!
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=66878&st=120
Không hiểu gì thì đừng viết không biết thì đừng làm...

 

[daovuquang]

Bài BĐT đó mình thấy kiểu gì ấy. VT không có a, VP lại có a.:-?

 

[asroma11235]

Sai òi.Lm gì có Min-cốp-xki dạng đó.Nếu có thì cminh tổng quát đi

[TEX][\sum_{i=1}^n (a_{i}+b_{i})^r]^{\frac{1}{r}} \leq (\sum_{i=1}^n a_{i}^r)+(\sum_{i=1}^n b_{i}^r)[/TEX]
Bài trên là dùng với trường hợp [TEX]r=3[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Haizz giải được 8.1 :
Giả sử 3 giác ABC nội tiếp (O,R) ngoại tiếp (I,r). kẻ đường kính MION (theo thứ tự đó)
Ta có:Tam giác MID đồng dạng tam giác AIN(g.g)
nên ID.IA=IM.IN=(R-OI)(R+OI)
Mặt khác: Dễ dàng chứng minh tam giác BID cân D nên:BD.IA=(R-OI)(R+OI)
Kẻ đường kính DOK,IH vuông góc AB suy ra IH=r
Tam giác IHA đồng dạng tam giác BDK (g.g) => BD.IA={R}^{2}-{OI}^{2}=2Rr>0
\Rightarrow R(R-2r)=[TEX]{OI}^{2}[/TEX]>0 \Rightarrow R>2r

 

[son9701]

Cố lên nhá các nhóm
Còn mấy bài nữa đấy.
Do điều kiện online có hạn nên mình đăng đề sớm( các bạn có thể gửi bài làm cho cả đề tuần trc và tuần này,riêng tuần trc thì hạn gửi là hết thứ 2 sẽ có điểm)
Đề :
1/Tồn tại hay k 2011 điểm sao cho 3 điểm bất kì đều tạo thành 1 tam giác có góc tù (khá mềm)
2/Cho a;b;c >0 thoả mãn : a+b+c=3.Tìm Min : A= a^2+ b^3+ c^3 ( vs mình thì mềm nhg k bjk thế nào)
3/Cho A là 1 tập con của tập số tự nhiên N .A có phần tử nhỏ nhất là 1;lớn nhất là 2000) sao cho mọi phần tử x của A (x khác 1) đều đc viết dưới dạng x = a+b+c với a;b;c cũng là phần tử của A.Tìm tập hợp A có số phần tử nhỏ nhất (thấy quen k a bboy)
4/Cho số [TEX]S_n=2002200220022002...2002[/TEX](n số 2002)
Tìm n min t/m [TEX]S_n \vdots 2003[/TEX]
5/Tìm số tự nhiên a đề [TEX]\frac{a}{2}[/TEX]là 1 số chính phg và [TEX]\frac{a}{3}[/TEX]
là lập phương của 1 số nguyên
6/Cho tứ giác ABCD.Kẻ 4 đtròn có đg kính là 4 cạnh tứ giác.CMR: 4 đường tròn này phủ kín tứ giác đã cho
7/Cho tam giác ABC có chu vi 2011 cm và 3 đường cao độ dài [TEX]h_a;h_b;h_c[/TEX]
CMR: [TEX]h_c< \frac{h_a.h_b}{h_a-h_b}[/TEX]vs [TEX]h_a > h_b[/TEX]
8/2 người A và B chơi 1 trò chơi như sau: A chia 2012 đồng xu thành 2 đống; Sau đó,B chia 2 đống đã cho thành 2 đống và nhận về đống nhiều đồng xu nhất và đống ít đồng xu nhất.Tìm số đồng xu lớn nhất mà A có thể nhận đc mặc cho các cách sắp xếp của B.Tổng quát hoá bài toán vs n đồng xu
9/CMR: Trong các tứ giác có chu vi k đổi, hình vuông là tứ giác có diện tích lớn nhất (mở rộng của tam giác)
Bài 10 :tìm x để [tex]x^2-x+6[/tex] là scp

 

[minhtuyb]

Cố lên nhá các nhóm
Còn mấy bài nữa đấy.
Do điều kiện online có hạn nên mình đăng đề sớm( các bạn có thể gửi bài làm cho cả đề tuần trc và tuần này,riêng tuần trc thì hạn gửi là hết thứ 2 sẽ có điểm)
Đề :
1/Tồn tại hay k 2011 điểm sao cho 3 điểm bất kì đều tạo thành 1 tam giác có góc tù (khá mềm)

He he đề mềm hơn thật )
-Vẽ nửa đường tròn đường kính AB.
-Trên nửa đường tròn đó lấy 2011 điểm [TEX]A_1,A_2,A_3,...,A_2011[/TEX]. Rõ ràng trong 2011 điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, nên với bất kì 3 điểm [TEX]A_i;A_j;A_k(i,j,k\in N*;i,j,k\leq 2011;i,j,k[/TEX]đôi một khác nhau) đều tạo thành một tam giác
-Trong tam giác [TEX]A_iA_jA_k[/TEX] chắc chắn có một góc tù (góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn)
-Vậy luôn luôn tồn tại 2011 điểm trên mặt phẳng thỏa mãn đề bài <DPCM> >->->-

 

[thienlong_cuong]

Cố lên nhá các nhóm
Còn mấy bài nữa đấy.
Do điều kiện online có hạn nên mình đăng đề sớm( các bạn có thể gửi bài làm cho cả đề tuần trc và tuần này,riêng tuần trc thì hạn gửi là hết thứ 2 sẽ có điểm)
Đề :
1/Tồn tại hay k 2011 điểm sao cho 3 điểm bất kì đều tạo thành 1 tam giác có góc tù (khá mềm)
2/Cho a;b;c >0 thoả mãn : a+b+c=3.Tìm Min : A= a^2+ b^3+ c^3 ( vs mình thì mềm nhg k bjk thế nào)
3/Cho A là 1 tập con của tập số tự nhiên N .A có phần tử nhỏ nhất là 1;lớn nhất là 2000) sao cho mọi phần tử x của A (x khác 1) đều đc viết dưới dạng x = a+b+c với a;b;c cũng là phần tử của A.Tìm tập hợp A có số phần tử nhỏ nhất (thấy quen k a bboy)
4/Cho số [TEX]S_n=2002200220022002...2002[/TEX](n số 2002)
Tìm n min t/m [TEX]S_n \vdots 2003[/TEX]
5/Tìm số tự nhiên a đề [TEX]\frac{a}{2}[/TEX]là 1 số chính phg và [TEX]\frac{a}{3}[/TEX]
là lập phương của 1 số nguyên
6/Cho tứ giác ABCD.Kẻ 4 đtròn có đg kính là 4 cạnh tứ giác.CMR: 4 đường tròn này phủ kín tứ giác đã cho
7/Cho tam giác ABC có chu vi 2011 cm và 3 đường cao độ dài [TEX]h_a;h_b;h_c[/TEX]
CMR: [TEX]h_c< \frac{h_a.h_b}{h_a-h_b}[/TEX]vs [TEX]h_a > h_b[/TEX]
8/2 người A và B chơi 1 trò chơi như sau: A chia 2012 đồng xu thành 2 đống; Sau đó,B chia 2 đống đã cho thành 2 đống và nhận về đống nhiều đồng xu nhất và đống ít đồng xu nhất.Tìm số đồng xu lớn nhất mà A có thể nhận đc mặc cho các cách sắp xếp của B.Tổng quát hoá bài toán vs n đồng xu
9/CMR: Trong các tứ giác có chu vi k đổi, hình vuông là tứ giác có diện tích lớn nhất (mở rộng của tam giác)
10/Tìm x hữu tỉ để [TEX]x^2-x+6[/TEX] là số chính phương

!
war

Câu 10: Với x = -2 hoặc x = 3 thì t/m

[TEX]x^2 - x + 6 = (x - 3)(x + 2) = k^2[/TEX]
Đặt

[TEX]x - 3 = \frac{a}{b}[/TEX] (b #0) với [TEX](a;b) = 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b} . \frac{a + 5b}{b} = k^2[/TEX]


[TEX]\Rightarrow \frac{a(a + 5b)}{b^2} = k^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a(a + 5b) = b^2k^2[/TEX]

TH 1: [TEX](a;b) =1 \Rightarrow (a ; a + 5b) = 1 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a = a + 5b[/TEX]

\Rightarrow b = 0 (Vô lí) \Rightarrow loại !

TH2 :
a và a + 5b có ƯCLN > 1
\Rightarrow a = 5k (k và b nguyên tố cùng nhau) (*)

Khi đó
[TEX]a(a + 5b) = 5k.5(k + b) = 25k(k + b) = p^2[/TEX]

Theo phán đoán của tớ thì [TEX](k ; k + b) = 1[/TEX] (do (*) )

Nên như TH1 , dễ chứng minh b = 0 \Rightarrow loại !

Vậy chỉ có 2 gt của x thõa mãn x = 2 hoặc x = 3

ẹc ! Cái bệnh nghề nghiệp sai ba cái đồ ngớ ngẩn !

 

[thienlong_cuong]

2/Cho a;b;c >0 thoả mãn : a+b+c=3.Tìm Min : A= a^2+ b^3+ c^3 ( vs mình thì mềm nhg k bjk thế nào)

Cân bằng hệ số đây !

[TEX]a^2 + x^2 \geq 2ax[/TEX]

[TEX]b^3 + y^3 + y^3 \geq 3by^2[/TEX]

[TEX]c^3 + y^3 + y^3 \geq 3cy^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A + x^2 + 4y^2 \geq 2ax + 3by^2 + 2cy^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A \geq 2ax + 3y^2(b + c) - x^2 - 4y^2[/TEX]

Cần chọn x , y sao cho
[TEX]\left{\begin{2x = 3y^2}\\{a = x > 0}\\{b = c = y > 0}\\{a + b + c = 3} [/TEX]
Tới đây giải hệ này ra ta sẽ đc MIN !

p/s : Nhác giải hệ ra lắm !

 

[minhtuyb]

6/Cho tứ giác ABCD.Kẻ 4 đtròn có đg kính là 4 cạnh tứ giác.CMR: 4 đường tròn này phủ kín tứ giác đã cho

-Gọi M là một điểm bất kì của tứ giác lồi ABCD. Nối M với các đỉnh. Xét 2 trường hợp:
TH1:Nếu M nằm trên cạnh tứ giác thì dĩ nhiên ta thấy M nằm trong đường tròn với đường kính là cạnh đó
TH2:
-Nếu M nằm trong tứ giác lồi ABCD . Khi đó ta có
[tex]\widehat{AMB}+\widehat{BMC}+\widehat{CMD}+\widehat{DMA}=360^o [/tex]
-Theo nguyên lí cực hạn tồn tại góc lớn nhất trong 4 góc trên , giả sử đó là [TEX]\widehat{AMB}\Rightarrow \widehat{AMB}\geq 90^o[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] M nằm trong(hoặc trên) đường tròn đường kính AB. Vậy dĩ nhiên M bị phủ bởi đường tròn này.
Như thế do M là một điểm tùy ý trong tứ giác lồi ABCD , ta suy ra bốn hình tròn trên phủ kín tứ giác lồi đã cho. Vậy ta có dpcm

 

[thienlong_cuong]

!
war

Câu 10: Với x = -2 hoặc x = 3 thì t/m

[TEX]x^2 - x + 6 = (x - 3)(x + 2) = k^2[/TEX]
Đặt

[TEX]x - 3 = \frac{a}{b}[/TEX] (b #0) với [TEX](a;b) = 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b} . \frac{a + 5b}{b} = k^2[/TEX]


[TEX]\Rightarrow \frac{a(a + 5b)}{b^2} = k^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a(a + 5b) = b^2k^2[/TEX]

TH 1: [TEX](a;b) =1 \Rightarrow (a ; a + 5b) = 1 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a = a + 5b[/TEX]

\Rightarrow b = 0 (Vô lí) \Rightarrow loại !

TH2 :
a và a + 5b có ƯCLN > 1
\Rightarrow a = 5k (k và b nguyên tố cùng nhau) (*)

Khi đó
[TEX]a(a + 5b) = 5k.5(k + b) = 25k(k + b) = p^2[/TEX]

Theo phán đoán của tớ thì [TEX](k ; k + b) = 1[/TEX] (do (*) )

Nên như TH1 , dễ chứng minh b = 0 \Rightarrow loại !

Vậy chỉ có 2 gt của x thõa mãn x = 2 hoặc x = 3

ẹc ! Cái bệnh nghề nghiệp sai ba cái đồ ngớ ngẩn !

/ ! Làm sai đề nên trách chi thấy đề trở nên dễ hơn ! ẹc !

[TEX]4(x^2 - 4x + 6 ) = (2x - 1)^2 + 23 = 4k^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (2k - 2x +1)(2k + 2x -1) = 23[/TEX] (*)

Do k nguyên
\Rightarrow (2x -1) cũng buộc là 1 số nguyên

\Rightarrow 2x là 1 số nguyên \Rightarrow Từ (*) => Tìm đc nghiệm !

 

[thienlong_cuong]

9/CMR: Trong các tứ giác có chu vi k đổi, hình vuông là tứ giác có diện tích lớn nhất

___________________________

Dòm đúng cái bài ngon ăn nhỉ !?
:-SS
Gọi các cạnh của tứ giác ABCD là x, y , z , t
Cạnh hình vuông MNPQ là a
Thấy rằng :

[TEX]4a = x + y + z + t [/TEX]
Ta có

[TEX]16a^2 = 16S_{MNPQ} = (x + y + z + t)^2 \geq 4(x + z)(y + t) = 4[(xy + zt) + (xt + zy)] \geq 16S_{ABCD}[/TEX]

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow ABCD là hình vuông ! đpcm !

 

[thienlong_cuong]

Cố lên nhá các nhóm
Còn mấy bài nữa đấy.

5/Tìm số tự nhiên a đề [TEX]\frac{a}{2}[/TEX]là 1 số chính phg và [TEX]\frac{a}{3}[/TEX]
là lập phương của 1 số nguyên

Từ gt ta suy ra

[TEX]a = 2k^2 = 3p^3[/TEX]

Do [TEX]p^3 \vdots{2} \Rightarrow p^3 \vdots{8} \Rightarrow a = 8y[/TEX]

[TEX]k^2 \vdots{3} \Rightarrow k^2 \vdots{9} \Rightarrow a = 9x[/TEX]

[TEX]Because ... (8 ; 9) = 1 \Rightarrow a = 3^2.2^3.r[/TEX]

Do [TEX]\frac{a}{3} l= p^3 \Rightarrow 3.2^3.r = p^3 \Rightarrow r = 9n^3[/TEX] (*)

Tương tự [TEX]\frac{a}{2} = k^2 \Rightarrow 3^2.2^2.r = k^2 \Rightarrow r = m^2[/TEX] (*)

Dễ thấy từ [TEX]\Rightarrow 9n^3 = m^2 \Rightarrow 9n = t^2 \Rightarrow n = 9 ; m = 81[/TEX] (cái ni là số bé rồi đó - định lấy n = 1 cho khỏe luôn)
[TEX] \Rightarrow a = 3^2.2^3.r = 9.8.9^4 = 472392[/TEX] /

Nếu n = 1 thì a = 9.8.9 = 684
Còn nhiều nhưng đành bó tay !
Chắc a là dạng tổng quát đây mà !

 

[minhtuyb]

3/Cho A là 1 tập con của tập số tự nhiên N .A có phần tử nhỏ nhất là 1;lớn nhất là 2000) sao cho mọi phần tử x của A (x khác 1) đều đc viết dưới dạng x = a+b+c với a;b;c cũng là phần tử của A.Tìm tập hợp A có số phần tử nhỏ nhất (thấy quen k a bboy)

Cái đề này giống cái đề KHTN năm ngoái thì phải, lâu òi ko nhớ :-?:-?:-?.
-Giả sử tập A cần tìm có [TEX]n[/TEX] phần tử [TEX]n\in N*[/TEX], đc sắp xếp theo thứ tự [TEX]1=a_1<a_2<...<a_n=2000[/TEX]. Với mỗi [TEX]k\in \left \{ 1,2,3,...,n-1 \right \}[/TEX], ta có: [TEX]a_{k+1}\leq a_k+a_k+a_k=3a_k[/TEX]. Áp dụng kết quả trên ta có:
[TEX]3a_1=3\geq a_2[/TEX]
[TEX]3a_2\geq a_3[/TEX]
[TEX]3a_3\geq a_4[/TEX]
...
[TEX]3a_{k-1}\geq a_k=2000[/TEX]
-Nhân vế với vế của các BĐT trên rồi khử các phần tử giống nhau ta có:
[TEX]3^{k-1}\geq 2000>3^{6}=\Rightarrow k-1>6\Rightarrow k>7[/TEX]
Vậy [TEX]mink=8[/TEX]

 

[son9701]

Do có chút thay đổi nên vòng 1 sẽ chấm dứt ở đây.
4 đội lọt qua vòng 1 là :
1.Bạo lực học đường
2.H-C-not T
3. Added team
4.S-P-C

Yêu cầu 4 nhóm gửi đề bài qua pic mới : Team contest round 2

@minhtuyb-Xin khóa pic này lại.