[Toán 9] Ôn thi chuyển cấp Số - Lượng - BĐT

[1um1nhemtho1]

Bài toán 18: Giải các hệ phương trình sau:
\[(I):\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} - {y^2} = 1\\
xy + {x^2} = 2
\end{array} \right.\]
\[(II):\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 25 - 2xy\\
y(x + y) = 10
\end{array} \right.\]
\[(III):\left\{ \begin{array}{l}
2{(x + y)^2} + 2{(x - y)^2} = 5({x^2} - {y^2})\\
{x^2} + {y^2} = 20
\end{array} \right.\]

\[(III):\left\{ \begin{array}{l}
2{(x + y)^2} + 2{(x - y)^2} = 5({x^2} - {y^2})\\
{x^2} + {y^2} = 20
\end{array} \right.\]

$2(x + y)^2 + 2(x - y)^2 = 5(x^2 - y^2)$
\Leftrightarrow $2(x+y)^2 - 5(x+y)(x-y) + 2(x - y)^2=0$
\Leftrightarrow $2(x+y)^2 -4(x+y)(x-y) - (x+y)(x-y) +2(x - y)^2=0$
\Leftrightarrow $2(x+y)[(x+y)-2(x-y)] - (x - y)[(x+y)-2(x-y)] =0$
\Leftrightarrow $ [(x+y)-2(x-y)][2(x+y)- (x - y)]=0$
\Leftrightarrow $(3x-y)(3y+x)=0$
\Rightarrow $y=3x$ hoặc $x=-3y$
thay vào PT $x^2 + y^2 = 20$
\Rightarrow $x,y$

hehe, thế là xong bài $18$ òi )

 

[hoang_duythanh]

Bài toán 19: Giả sử $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $2x^2-11x+13=0$.
Hãy tính:
a) $x_1^3+x_2^3$
b) $x_1^4+x_2^4$
c) $x_1^4-x_2^4$
d) $\dfrac{x_1}{x_2}(1-x_2^2)+\dfrac{x_2}{x_1}(1-x_1^2)$

Bg:
a)$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]$
Sau đó áp dụng định lí vi-ét thay vào là được
b)$x_1^4+x_2^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=[(x+y)^2-2xy]-2(xy)^2$
c)$x_1^4-x_2^4=(x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]$
Vậy bây giờ chỉ cần tính $x_1-x_2$ là xong
Theo định lí vi-ét :$x_1+x_2=5,5$=> $(x_1-x_2)^2+4x_1x_2=(x_1+x_2)^2=30,25$(1)
$x_1x_2=6,5$=>$4x_1x_2=26$(2)
(1)(2)=>$(x_1-x_2)^2=30,25-26=4,25$
<=>$x_1-x_2=\frac{\sqrt[]{17}}{2}$
Thế là xong rồi,thay vào dùng định lí vi-ét là ra
d) \Leftrightarrow$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}-(x_1+x_2)$(nhân tung phá ngoặc ra)=$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}-(x_1+x_2)=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}-(x_1+x_2)$
Rồi chúng ta chỉ cần áp dụng định lí vi-ét thay kết quả vào là ra
Xong

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 20: Có 3 lớp học sinh 9A, 9B, 9C gồm 128 hs cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi hs lớp 9A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bằng lăng. Mỗi hs lớp 9B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi hs lớp 9C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trên trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu hs?

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 21: Giải các phương trình:
a) $$1 + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{10}}{{x + 3}} - \dfrac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}$$
b) $$\dfrac{{{x^2} - |x| - 12}}{{x - 3}} = 2x$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 22: Tìm $m$ để phương trình: $x^2+2mx+4=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$. Khi đó:
a) Tính theo m giá trị các biểu thức:
$$E = \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} $$
$$F = \root 4 \of {{x_1}} + \root 4 \of {{x_2}} $$
$$G = \root 6 \of {{x_1}} + \root 6 \of {{x_2}} $$
b) Tìm $m$ sao cho $x_1^4+x_2^4=32$.
c) Tìm $m$ sao cho:
$${\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 47$$

 

[nghgh97]

Bài toán 23: Cho phương trình: $x^2-2(m-1)x+m^2-3m+4=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào $m$.
b) Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=20$.

 

[nghgh97]

Bài toán 24: Cho phương trình: $(m+1)x^2-2(m-1)x+m-2=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm.
b) Tìm $m$ để tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng $2$.
c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
d) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|=1$.

 

[hoang_duythanh]

Bài toán 20: Có 3 lớp học sinh 9A, 9B, 9C gồm 128 hs cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi hs lớp 9A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bằng lăng. Mỗi hs lớp 9B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi hs lớp 9C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trên trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu hs?

Gọi số học sinh lớp 9A,9B,9C lần lượt là a,b,c(a,b,c>0)
=> hệ pt [TEX]\left{\begin{a+b+c=128}\\{3a+2b+6c=476}\\{4a+5b=375} [/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{6a+6b+6c=768}(1)\\{3a+2b+6c=476}(2)\\{4a+5b=375} [/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{3a+4b=292}( (1)-(2))\\{4a+5b=375} [/TEX]
Giải hệ được a=40,b=43,c=45 (thỏa mãn)
Vậy...........
Mà sao lớp 9A nói là trồng cây bằng lăng ,phía dưới lại là cây bàng nhỉ,liệu có phải là đánh lừa học sinh hay là sai đề không nhỉ??????????
Đề bài không sai nhé và kết quả của em cũng đúng với đáp số rồi

 

[hoang_duythanh]

Bài toán 22: Tìm $m$ để phương trình: $x^2+2mx+4=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$. Khi đó:
a) Tính theo m giá trị các biểu thức:
$$E = \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} $$
$$F = \root 4 \of {{x_1}} + \root 4 \of {{x_2}} $$
$$G = \root 6 \of {{x_1}} + \root 6 \of {{x_2}} $$
b) Tìm $m$ sao cho $x_1^4+x_2^4=32$.
c) Tìm $m$ sao cho:
$${\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 47$$

a)**Có$ E^2=x_1+x_2+2\sqrt[]{x_1x_2}$
Sau đó sử dụng định lí vi-ét để tìm ra $E^2$ rồi tính được E
**$F^2=\sqrt[]{x_1}+\sqrt[]{x_2}+2\sqrt[4]{x_1.x_2}$
Theo tính toán trên E ở phía trên =>$F^2=\sqrt[]{x_1+x_2+2\sqrt[]{x_1x_2}}+2\sqrt[4]{x_1.x_2}$
Sau đó sử dụng định lí vi-ét thay số vào..........
**$G^2=\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+2\sqrt[6]{x_1.x_2}$
như vậy bây giờ chỉ cần tính$\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=A$ nhưng mình lại không biết tính thế nào,ai giải hộ tiếp với nhá
b)Có $x_1^4+x_2^4=32$
Ta có $x_1^4+x_2^4=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2](x_1-x_2)(x_1+x_2)$
mà theo định lí vi-ét thì $x_1+x_2=-2m$\Leftrightarrow$(x_1-x_2)^2+4x_1x_2=4m^2$
$x_1x_2=4=>4x_1x_2=16$
trừ 2 pt trên cho nhau tính dc $(x_1-x_2)^2$ từ đó tính được x_1-x_2
Như vậy giải quyết xong bài toán
c)\Leftrightarrow$\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}=47$
mà $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]$
Sử dụng đinh lí vi-ét ta sẽ tìm được m
Còn câu tính F theo m nữa mình không biết làm,ai giúp với nhé

 

[hoang_duythanh]

Bài toán 24: Cho phương trình: $(m+1)x^2-2(m-1)x+m-2=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm.
b) Tìm $m$ để tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng $2$.
c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
d) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|=1$.

a)Cái này thì tính [tex]\large\Delta'[/tex] là ra thôi
b)Để pt có 2 nghiệm thì .........(kết quả câu a)
...Nếu m=-1 thì pt có nghiệm duy nhất x=0,75 không thỏa mãn bình phương =2
.....Nếu $m\ne -1 =>x_1^2+x_2^2=2$\Leftrightarrow$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4$.tính ra m rồi so sánh với đk
c)Để pt có 2 nghiệm thì .........(kết quả câu a)
...Nếu m=-1 thì pt có nghiệm duy nhất x=0,75 thỏa mãn
...Nếu m $\ne -1$ Có $|x_1|-|x_2|=0$
\Leftrightarrow$x_1^2+x_2^2-2|x_1x_2|=0$(bình phương 2 vế)
\Leftrightarrow$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2|x_1x_2|=0$
theo định lí vi-ét tính ra rồt xét 2 trường hợp giá trị tuyệt đối kia để tính m so với điều kiện pt có 2 nghiệm
d)Bước đầu cũng làm tương tự đk rồi xét 2 trường hợp của m như trên nên mình ko nhắc lại$|x_1-x_2|=1$\Leftrightarrow$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$.(bình phương 2 vế không âm)
Rồi dùng định lí vi-ét là ra
Mà các bạn cho hỏi là với câu c) trong trường hợp m=-1 =>x=0,75 thì muốn xem có thỏa mãn hay không thì bình phương nó lên rồi cộng với chính nó xem có =2 không rồi kết luận à,hay nói không thỏa mãn luôn vì chỉ có nghiệm kép,nên ko có bình phương các nghiệm vậy.

 

[huongmot]

Bài toán 23: Cho phương trình: $x^2-2(m-1)x+m^2-3m+4=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào $m$.
b) Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=20$.

a) $x^2-2(m-1)x+m^2-3m+4=0$
$\triangle = 4m^2-8m+4-4m^2+12m-16=4m-12$
Để pt có 2 nghiệm phân biệt
$\rightarrow 4m-12>0$
$\rightarrow m>3$

Áp dụng hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix}x_1x_2=m^2-3m+4\\ x_1+x_2= 2(m-1) \end{matrix}\right.$
Ta có:
$4x_1x_2= 4m^2-12m+16$
$(x_1+x_2)^2= 4m^2-8m+4$
$\rightarrow 4x_1x_2-(x_1+x_2)^2= 4m^2-12m+16-4m^2+8m-4$
$\rightarrow 4x_1x_2-(x_1+x_2)^2= -4m+12= -4(m-1)+8$
$\rightarrow 4x_1x_2-(x_1+x_2)^2= -2(x_1+x_2)+8$
$\rightarrow 4x_1x_2-(x_1+x_2)^2+2(x_1+x_2)=8$

b)$x_1^2+x_2^2=20$
$\rightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2= 20$
$\rightarrow 4m^2-8m+4- 2m^2+6m-8-20=0$
$\rightarrow 2m^2 -2m -24=0$
Giải phương trình ta được:
_ m =-3(L)
_ m =4 (t/m)

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 21: Giải các phương trình:
a) $$1 + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{10}}{{x + 3}} - \dfrac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}$$

\[\begin{array}{l}
1 + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{10}}{{x + 3}} - \dfrac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\\
x \ne 2,x \ne - 3\\
\Rightarrow (x - 2)(x + 3) = 10(x - 2) + 50\\
\Leftrightarrow {x^2} - 9x - 36 = 0\\
\Leftrightarrow x = 12(TM),x = - 3(KTM)
\end{array}\]

 

[nguyengiahoa10]

như vậy bây giờ chỉ cần tính$\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=A$ nhưng mình lại không biết tính thế nào,ai giải hộ tiếp với nhá

\[\begin{array}{l}
{x^2} + 2mx + 4 = 0\\
{x_1} + {x_2} = - 2m\\
{x_1}{x_2} = 4\\
{\left( {\sqrt[3]{{{x_1}}} + \sqrt[3]{{{x_2}}}} \right)^3} = {x_1} + {x_2} + 3{\left( {\sqrt[3]{{{x_1}}}} \right)^2}\sqrt[3]{{{x_2}}} + 3\sqrt[3]{{{x_1}}}{\left( {\sqrt[3]{{{x_2}}}} \right)^2}\\
= {x_1} + {x_2} + 3\sqrt[3]{{x_1^2}}\sqrt[3]{{{x_2}}} + 3\sqrt[3]{{{x_1}}}\sqrt[3]{{x_2^2}}\\
= {x_1} + {x_2} + 3\sqrt[3]{{{x_1}{x_2}}}\sqrt[3]{{{x_1}}} + 3\sqrt[3]{{{x_1}{x_2}}}\sqrt[3]{{{x_2}}}\\
= {x_1} + {x_2} + 3\sqrt[3]{{{x_1}{x_2}}}\left( {\sqrt[3]{{{x_1}}} + \sqrt[3]{{{x_2}}}} \right)\\
\sqrt[3]{{{x_1}}} + \sqrt[3]{{{x_2}}} = t \Rightarrow {t^3} = - 2m + 3\sqrt[3]{4}t \Leftrightarrow {t^3} - 3\sqrt[3]{4}t + 2m = 0
\end{array}\]
hic, mấy bài phương trình bậc 2 này không có đáp án @@
càng làm càng rối rắm, anh cũng thua rồi, lâu lắm không làm mấy cái này.

 

[nguyengiahoa10]

a)**Có$ E^2=x_1^2+x_2^2+2\sqrt[]{x_1x_2}=(x_1+x_2)^2+4\sqrt[]{x_1x_2 }$
Sau đó sử dụng định lí vi-ét để tìm ra $E^2$ rồi tính được E

Xem lại $E^2$ nhé!
\[E = \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \]

 

[1um1nhemtho1]

Theo yêu cầu của sư đệ mình post thêm bài đây
Bài toán 16: Giải các hệ phương trình sau:
\[(I):\left\{ \begin{array}{l}
(x + y + 2)(2x + 2y - 1) = 0\\
3{x^2} - 32{y^2} + 5 = 0
\end{array} \right.\]
\[(II):\left\{ \begin{array}{l}
(x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0\\
xy + {y^2} + 3y + 1 = 0
\end{array} \right.\]

Làm bài 16b để lấy lửa cho topic nè (hơi chém chút) =)):

\[(II):\left\{ \begin{array}{l}
(x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0\\
xy + {y^2} + 3y + 1 = 0
\end{array} \right.\]

$(x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0$
\Rightarrow $x+2y=-1$ hoặc $x+2y=-2$

$+ x+2y=-1$. Thay vào PT thứ $2$ có:

$xy + y^2 + 3y + 1 = 0$
\Leftrightarrow $y(x+2y) - y^2 + 3y+1=0$
\Leftrightarrow $-y -y^2+3y+1=0$
\Leftrightarrow $y^2-2y-1=0$
\Rightarrow $y$ \Rightarrow $x$


$+ x+2y=-2$
$y(x+2y) - y^2 + 3y+1=0$
\Leftrightarrow $-2y -y^2+3y+1=0$
\Leftrightarrow $y^2-y-1=0$
\Rightarrow ...

 

[hoang_duythanh]

Bài toán 21: Giải các phương trình:
a) $$1 + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{10}}{{x + 3}} - \dfrac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}$$
b) $$\dfrac{{{x^2} - |x| - 12}}{{x - 3}} = 2x$$

a)(Làm rồi)
b) \Leftrightarrow$x^2-|x|-12=2x^2-6x$
\Leftrightarrow$x^2-6x+12=|x|$
=>[TEX]\left[\begin{x^2-6x+12=x(x\geq0)}\\{x^2-6x+12=-x(x<0)} [/TEX]
=>[TEX]\left[\begin{x^2-7x+12=0(x\geq0)}\\{x^2-5x+12=0(x<0)} [/TEX]
Đến đây rồi giải pt bậc 2 bằng cách dùng công thức nhiệm thu gọn rồi đem so với điều kiện là ra kết quả

 

[nghgh97]

Bài toán 25: Thu gọn các biểu thức sau:
$$A = \dfrac{1}{{x + \sqrt x }} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }},x > 0,x \ne 1$$
$$B = (2 - \sqrt 3 )\sqrt {26 + 15\sqrt 3 } - (2 + \sqrt 3 )\sqrt {26 - 15\sqrt 3 } $$
$$C = (\sqrt {10} - \sqrt 2 )\sqrt {3 + \sqrt 5 } $$

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 25: Thu gọn các biểu thức sau:
$$A = \dfrac{1}{{x + \sqrt x }} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }},x > 0,x \ne 1$$
$$B = (2 - \sqrt 3 )\sqrt {26 + 15\sqrt 3 } - (2 + \sqrt 3 )\sqrt {26 - 15\sqrt 3 } $$
$$C = (\sqrt {10} - \sqrt 2 )\sqrt {3 + \sqrt 5 } $$

$C = (\sqrt {10} - \sqrt {2} )\sqrt {3 + \sqrt 5 }$
$= \sqrt {2}(\sqrt {5}-1)\sqrt {3 + \sqrt 5 }$
$= \sqrt {2}\sqrt {3 + \sqrt 5 }(\sqrt {5}-1)$
$= \sqrt {6 + 2\sqrt 5 }(\sqrt {5}-1)$
$=\sqrt {5 + 2\sqrt 5+1 }(\sqrt {5}-1)$
$=\sqrt{(\sqrt {5}+1)^2}(\sqrt {5}-1)= (\sqrt {5}+1)(\sqrt {5}-1)=5-1=4$

P/s: dạo này topic yên ắng thế nhỉ?

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 25: Thu gọn các biểu thức sau:
$$A = \dfrac{1}{{x + \sqrt x }} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }},x > 0,x \ne 1$$
$$B = (2 - \sqrt 3 )\sqrt {26 + 15\sqrt 3 } - (2 + \sqrt 3 )\sqrt {26 - 15\sqrt 3 } $$
$$C = (\sqrt {10} - \sqrt 2 )\sqrt {3 + \sqrt 5 } $$

$B = (2 - \sqrt 3 )\sqrt {26 + 15\sqrt 3 } - (2 + \sqrt 3 )\sqrt {26 - 15\sqrt 3 }$

xét $\sqrt {26 + 15\sqrt 3 } = \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}\sqrt {26 + 15\sqrt 3 }$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt {52 + 30\sqrt 3 }$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{25+30\sqrt 3+27}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(5+3\sqrt 3)^2}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}(5+3\sqrt 3)$

Tương tự:$ \sqrt {26 - 15\sqrt 3 }= \frac{1}{\sqrt{2}}(3\sqrt 3-5)$

\Rightarrow $B = \frac{1}{\sqrt{2}}[(2 - \sqrt 3 )(5+3\sqrt 3)-(2 + \sqrt 3 )(3\sqrt 3-5)]$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}(10-5\sqrt 3 +6\sqrt 3 -9 -6\sqrt 3 -9+10+5\sqrt 3)$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}.2=\sqrt{2}$
Vậy$ B=\sqrt{2}$

 

[hoang_duythanh]

Bài toán 25: Thu gọn các biểu thức sau:
$$A = \dfrac{1}{{x + \sqrt x }} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }},x > 0,x \ne 1$$
$$B = (2 - \sqrt 3 )\sqrt {26 + 15\sqrt 3 } - (2 + \sqrt 3 )\sqrt {26 - 15\sqrt 3 } $$
$$C = (\sqrt {10} - \sqrt 2 )\sqrt {3 + \sqrt 5 } $$

$A=\frac{1}{\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}+1)}+\frac{2\sqrt[]{x}}{x-1}+\frac{1}{\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}-1)}=\frac{\sqrt[]{x}-1+2x+\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)}=\frac{2}{\sqrt[]{x}-1}$(x>0,x khác 1)