[Toán 9] Ôn thi chuyển cấp Số - Lượng - BĐT

[nguyengiahoa10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ôn thi chuyển cấp Số - Lượng - BĐT

Cùng học ôn vào những trường chuyên cấp 3 ra đề khó nuốt nhất.

Sẵn sàng!

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ thì:
a) $${a^2}(1 + {b^2}) + {b^2}(1 + {c^2}) + {c^2}(1 + {a^2}) \geq 6abc$$
b) $$2(1 + abc) + \sqrt {2(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + {c^2})} \geq (1 + a)(1 + b)(1 + c)$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 2: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với $a$ là cạnh huyền ta luôn có $a^n \geq b^n + c^n$, với $n \in \mathbb{N}$ và $n \geq 2$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi số dương $a,b,c$ ta luôn có:
$$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{{c + a}} \leq \dfrac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{a + b + c}}$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 4: Cho $a,b > 0, m \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh rằng:
$${\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)^m} + {\left( {1 + \dfrac{b}{a}} \right)^m} \geq {2^{m + 1}}$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 5: Giả sử $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên $n>1$ thì:
$${a^n}b(a - b) + {b^n}c(b - c) + {c^n}a(c - a) \geq 0$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}$$
trong đó các số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 7: Cho 3 số thực $x,y,z \geq 0$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^2+y^2+z^2$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 8: Cho 3 số thực $a,b,c$ với $a \geq 2, b \geq 9, c \geq 1945$ và thỏa mãn $a+b+c=2000$. Tìm giá trị lớn nhất của tích $abc$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 9: Trong tất cả các nghiệm $(x,y)$ của phương trình $2x+3y=1$ hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3x^2+2y^2$ nhỏ nhất.

 

[quanghao98]

Bài toán 1: a) $a^2(1+b^2)$ + $b^2(1+c^2)$ + $c^2(1+a^2)$ \geq 3$\sqrt[3]{a^2b^2c^2(1+b^2)(1+c^2)(1+a^2)}$ \geq 3$\sqrt[3]{a^2b^2c^2.2b.2c.2a}$=6abc

em nhớ ghi tên bài mà em giải anh mới biết để kiểm tra chứ, bài nào làm đúng anh sẽ thay đổi màu câu hỏi từ xanh dương về xanh lá ^^

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 10: Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+10=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thoả: $|x_1-x_2| \geq 2$.

 

[hoang_duythanh]

Bài toán 10: Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+10=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thoả: $|x_1-x_2| \geq 2$.

Anh ơi em có đề nghị là anh ra từng bài một nhé,chứ ra một đống bài em chả biết làm bài nào trước mà trông mệt mỏi lắm,em cứ làm bài gần nhất
a)[tex]\large\Delta'[/tex]=$(m+1)^2-2m-10=m^2>9$ => pt có 2 nghiệm phân biệt khi m>3 hoặc m<-3
b)Em chả biết đúng không cứ làm bừa ,sai anh em cho ý kiến nhé
$|x_1-x_2|$\geq2\Leftrightarrow $x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$\geq4
\Leftrightarrow$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$\geq4
Theo định lí Vi-ét
=>$x_1+x_2=2(m+1)$
$x_1x_2=2m+10$
=> $4(m+1)^2-4(2m+10)$\geq4 \Leftrightarrow$4m^2-36$\geq0
\Leftrightarrow$m^2$\geq9\Leftrightarrow m\geq3 hoặc m\leq-3
Xong!!!!!

câu b em làm đúng rồi

 

[nghgh97]

Bài toán 9: Trong tất cả các nghiệm $(x,y)$ của phương trình $2x+3y=1$ hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3x^2+2y^2$ nhỏ nhất.

Ta có:
$$2x + 3y = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}(\sqrt 3 x) + \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}(\sqrt 2 y) = 1$$
Theo BĐT Bunhiacopsky:
$${[\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}(\sqrt 3 x) + \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}(\sqrt 2 y)]^2} \leq[{(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }})^2} + {(\dfrac{3}{{\sqrt 2 }})^2}].[{(\sqrt 3 x)^2} + {(\sqrt 2 y)^2}]$$
$$ \Leftrightarrow 1 \leq [\dfrac{4}{3} + \dfrac{9}{2}].[3{x^2} + 2{y^2}]$$
$$ \Leftrightarrow 3{x^2} + 2{y^2} \geq \dfrac{6}{{35}}$$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 2 y = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 x$
Kết hợp lại ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 2 y = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 x\\
2x + 3y = 1
\end{array} \right.\]
Giải ra tìm được $(x,y)$

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 4: Cho $a,b > 0, m \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh rằng:
[TEX]{\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^m} + {\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^m} \geq {2^{m + 1}}[/TEX]

Thấy bài 4 này dễ nhất nên chiến trước =)):

[TEX](1+\frac{a}{b})^m + (1+\frac{b}{a})^m \ge (2\sqrt{\frac{a}{b}})^m + (2\sqrt{\frac{b}{a}})^m = 2^m(\sqrt{\frac{a}{b}}^m+\sqrt{\frac{b}{a}}^m) \ge 2^m.2.(\sqrt{\frac{a}{b}}^m.\sqrt{\frac{b}{a}}^m) = 2^{m+1}[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

zzzzz

Bài toán 7: Cho 3 số thực $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^2+y^2+z^2$.

Áp dụng BĐT Cauchy có:


$x^{1997}+x + 997 \ge 999\sqrt[999]{x^{1998}}=999x^2$

lại có $\frac{x^2+1}{2} \ge x$
\Rightarrow $x^{1997}+\frac{x^2+1}{2} + 997 \ge x^{1997}+x + 997 \ge 999x^2$
\Leftrightarrow $2x^{1997}+1995 \ge 1997x^2$

tương tự $2y^{1997}+1995 \ge 1997y^2$ và $2z^{1997}+1995 \ge 1997z^2$

\Rightarrow $2(x^{1997}+y^{1997}+z^{1997})+3.1995 \ge 1997(x^2+y^2+z^2)$
\Leftrightarrow $3.1997 \ge 1997(x^2+y^2+z^2)$
\Rightarrow $x^2+y^2+z^2 \le 3$
dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 2: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với $a$ là cạnh huyền ta luôn có $a^n \ge b^n + c^n$, với $n \in \mathbb{N}$ và $n \ge 2$.

Bài này chứng minh bằng quy nạp toán học àh ):

-$n=2$. BĐT đúng: $a^2=b^2+c^2$

-giả sử BĐT đúng với $n=k$ tức là $a^k \ge b^k+c^k$
-ta chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$
tức là $a^{k+1} \ge b^{k+1} + c^{k+1}$

có:
$a^k \ge b^k+c^k$
\Leftrightarrow $a^{k+1} \ge ab^k+ac^k > b^{k+1} + c^{k+1}$ (vì $a$ là cạnh huyền nên $a>b$, $a>c$)
tức là BĐT đúng \Rightarrow ...

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}$$
trong đó các số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3$.

có $\frac{a}{\sqrt{b}} + a\sqrt{b} \ge 2a$ (Cauchy)
tương tự với $2$ cái kia rồi cộng lại có:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} + a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \ge 2(a+b+c)=6$

có $(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2$ (Bunhiacopxki)
lại có $ab+bc+ac \le \frac{(a+b+c)^2}{3}$
\Rightarrow $\frac{(a+b+c)^3}{3} \ge (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2 $
\Leftrightarrow $a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \le 3$
\Rightarrow $\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 6- (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}) \ge 3$
\Rightarrow....

 

[nguyengiahoa10]

Mình vừa mới xóa phần thảo luận của bài 10 chỉ để lại bài giải đúng của duythanh thôi nhé, để cho pic mình nhìn gọn hơn, và kiến thức trong phần thảo luận cũng không quan trọng lắm, chắc tại mình học lâu quá trả thầy hết roài
@to duythanh: anh nghĩ kĩ rồi nếu chia ra từng bài như em nói thì gặp trúng bài khoai quá thì pic mình phải chững lại rất lâu, mà ngày lên dĩa của các em 98 cũng không còn xa mấy, nên thúc pic đi nhanh cho đúng tiến độ.
mn xem lại tí phần hàm bậc nhất để chuyển sang tam thức bậc 2 nào

 

[nguyengiahoa10]

1. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của $k$ sao cho đồ thị của hàm số $y=-2x+k(x+1)$:
a) Đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$;
b) Đi qua điểm $M(-2;3)$;
c) Song song với đường thẳng $y=\sqrt{2} x$.