Toán Toán 9 HSG

[hoangqueen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>dương :
Chứng minh: (1/a +1/b+1/c)>= 9/(a+b+c)

 

[maloimi456]

Ta có: [tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+1)[/tex]
[tex]=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+3[/tex]
Mà a,b,c dương nên [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2[/tex]
[tex]\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2[/tex]
[tex]\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2[/tex]
Suy ra: [tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+3 \geq 2+2+2+3 = 9 [/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex] (đpcm)

 

[nhi1112]

Cho a,b,c>dương :
Chứng minh: (1/a +1/b+1/c)>= 9/(a+b+c)

Áp dụng BĐT Svac ta có: $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac 9{a+b+c}$ (đpcm)
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

 

[Ann Lee]

Áp dụng BĐT Svac ta có: $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac 9{a+b+c}$ (đpcm)
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

Theo mình bài này dùng BĐT Bunyakovsky sẽ gọn hơn nhiều bởi:
-BĐT Svacxo hay và gọn nhưng phải chứng minh vì không được dùng trực tiếp
-Hơn nữa thông thường hay dùng BĐT Bunyakovsky để chứng minh BĐT Svacxo
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}+\frac{1}{c})^{2}=(1+1+1)^{2}=9[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c