[Toán 9] Đề thi hsg thành phố Hồ Chí Minh năm 2013-2014

T

transformers123

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:

Cho hai số dương a, ba,\ bc0c \ne 0 thoả mãn điều kiện 1a+1b+1c=0\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0.
Chứng minh: a+b=a+c+b+c\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}

Bài 2:

Giải các phương trình sau:
a/ (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=3x2(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=3x^2
b/ 22+xx2=1+1x2\sqrt{2+x-x^2}=1+\dfrac{1}{x}

Bài 3:

Giải hệ phương trình: {xyxy=9,6xyyx=7,5\begin{cases}xy-\dfrac{x}{y}=9,6\\xy-\dfrac{y}{x}=7,5\end{cases}

Bài 4:

Cho số thực xx thoả mãn điều kiện 0<x<120 < x < \dfrac{1}{2}
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A=2x12x+1+2x3xA=\dfrac{2-x}{1-2x}+\dfrac{1+2x}{3x}

Bài 5:

Từ một điểm MM nằm ngoài đường tròn (O)(O), kẻ hai tiếp tuyến MA, MBMA,\ MB với (O) (A,B(O)\ (A, B là các tiếp điểm). Gọi EE là trung điểm MBMB, CC là giao điểm AEAE với đường tròn (O)(O) (CC khác AA) và HH là giao điểm của ABABMOMO
a/ Chứng minh HCEBHCEB là tứ giác nội tiếp
b/ Gọi DD là giao điểm của MCMC và đường tròn (O)(O) (DD khác CC). Chứng minh ABDABD là tam giác cân
c/ Gọi JJ là giao điểm của BOBO và đường tròn (O)(O) (J khác B). K là giao điểm của ADADMJMJ. Tính tỉ số KAKD\dfrac{KA}{KD}

Bài 6:

Tìm số tự nhiên nn biết nn có hai chữ số và nn chia hết cho tích các chữ số của nó
 
Last edited by a moderator:
E

eye_smile

Bài 1: Từ GT \Rightarrow c<0c<0ab+bc+ac=0ab+bc+ac=0

ĐT \Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2(a+c)(b+c)a+b=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)}

\Leftrightarrow c+(a+c)(b+c)=0c+\sqrt{(a+c)(b+c)}=0

\Leftrightarrow (a+c)(b+c)=c\sqrt{(a+c)(b+c)}=-c

\Leftrightarrow (a+c)(b+c)=c2(a+c)(b+c)=c^2 (Do c<0 )

\Leftrightarrow ab+bc+ac=0ab+bc+ac=0 (đúng)

\Rightarrow đpcm.

 
E

eye_smile

2,

a, PT \Leftrightarrow (x2+7x+6)(x2+5x+6)=3x2(x^2+7x+6)(x^2+5x+6)=3x^2

+x=0x=0 không là nghiệm của pt

+xx khác 0

PT \Leftrightarrow (x+7+6x)(x+5+6x)=3(x+7+\dfrac{6}{x})(x+5+\dfrac{6}{x})=3

Đặt a=x+6xa=x+\dfrac{6}{x}

PT trở thành : (a+7)(a+5)=3(a+7)(a+5)=3

\Leftrightarrow ....

b, ĐKXĐ: 1x2-1 \le x \le 2; x khác 0

PT \Leftrightarrow 2(2x)(x+1)=x+1x2\sqrt{(2-x)(x+1)}=\dfrac{x+1}{x}

\Rightarrow 4(2x)(x+1)=(x+1)2x24(2-x)(x+1)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2}

\Leftrightarrow x=1x=-1 hoặc 4x2(2x)=x+14x^2(2-x)=x+1 (1)

PT(1) \Leftrightarrow 4x38x2+x+1=04x^3-8x^2+x+1=0

\Leftrightarrow (2x1)(2x23x1)=0(2x-1)(2x^2-3x-1)=0

\Leftrightarrow ...
 
E

eye_smile

3,ĐKXĐ: x;yx;y khác 0

Từ hệ \Rightarrow 9,6+xy=7,5+yx9,6+\dfrac{x}{y}=7,5+\dfrac{y}{x}

\Leftrightarrow x2+2,1xyy2=0x^2+2,1xy-y^2=0

\Leftrightarrow (x0,4y)(x+2,5y)=0(x-0,4y)(x+2,5y)=0

\Leftrightarrow x=0,4yx=0,4y hoặc x=2,5yx=-2,5y

Thay vào 1 trong 2 pt ban đầu.
 
E

eye_smile

4,A=1+x+112x+13+x+13xA=1+\dfrac{x+1}{1-2x}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{x+1}{3x}

=43+(x+1)(112x+13x)=\dfrac{4}{3}+(x+1)(\dfrac{1}{1-2x}+\dfrac{1}{3x})

43+(x+1).2(12x).3x \ge \dfrac{4}{3}+(x+1).\dfrac{2}{\sqrt{(1-2x).3x}}

43+(x+1).2x+12=163 \ge \dfrac{4}{3}+(x+1).\dfrac{2}{\dfrac{x+1}{2}}=\dfrac{16}{3}

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=0,2x=0,2
 
E

eye_smile

6,

Gọi số cần tìm là ab\overline {ab}(a,b≠0 ; a,b∈N ; a,b<10).

Ta có :

ab\overline {ab} ⋮ ab

\Leftrightarrow 10a+b ⋮ a

\Leftrightarrow b ⋮ a

Đặt b=aq với q∈N , 0<q≤9.

\Leftrightarrow a(10+q) ⋮ ab

\Leftrightarrow 10+q ⋮ b

\Leftrightarrow 10+q ⋮ q (b ⋮ q)

\Leftrightarrow 10 ⋮ q

\Leftrightarrow q∈{1;2;5}

Thử từng trường hợp.
 
Top Bottom