[Toán 9] Đề thi hsg thành phố Hồ Chí Minh năm 2013-2014

[transformers123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:

Cho hai số dương $a,\ b$ và $c \ne 0$ thoả mãn điều kiện $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0$.
Chứng minh: $\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}$

Bài 2:

Giải các phương trình sau:
a/ $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=3x^2$
b/ $2\sqrt{2+x-x^2}=1+\dfrac{1}{x}$

Bài 3:

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}xy-\dfrac{x}{y}=9,6\\xy-\dfrac{y}{x}=7,5\end{cases}$

Bài 4:

Cho số thực $x$ thoả mãn điều kiện $0 < x < \dfrac{1}{2}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $A=\dfrac{2-x}{1-2x}+\dfrac{1+2x}{3x}$

Bài 5:

Từ một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $MA,\ MB$ với $(O)\ (A, B$ là các tiếp điểm). Gọi $E$ là trung điểm $MB$, $C$ là giao điểm $AE$ với đường tròn $(O)$ ($C$ khác $A$) và $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$
a/ Chứng minh $HCEB$ là tứ giác nội tiếp
b/ Gọi $D$ là giao điểm của $MC$ và đường tròn $(O)$ ($D$ khác $C$). Chứng minh $ABD$ là tam giác cân
c/ Gọi $J$ là giao điểm của $BO$ và đường tròn $(O)$ (J khác B). K là giao điểm của $AD$ và $MJ$. Tính tỉ số $\dfrac{KA}{KD}$

Bài 6:

Tìm số tự nhiên $n$ biết $n$ có hai chữ số và $n$ chia hết cho tích các chữ số của nó

 

[eye_smile]

Bài 1: Từ GT \Rightarrow $c<0$ và $ab+bc+ac=0$

ĐT \Leftrightarrow $a+b=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)}$

\Leftrightarrow $c+\sqrt{(a+c)(b+c)}=0$

\Leftrightarrow $\sqrt{(a+c)(b+c)}=-c$

\Leftrightarrow $(a+c)(b+c)=c^2$ (Do c<0 )

\Leftrightarrow $ab+bc+ac=0$ (đúng)

\Rightarrow đpcm.

 

[eye_smile]

2,

a, PT \Leftrightarrow $(x^2+7x+6)(x^2+5x+6)=3x^2$

+$x=0$ không là nghiệm của pt

+$x$ khác 0

PT \Leftrightarrow $(x+7+\dfrac{6}{x})(x+5+\dfrac{6}{x})=3$

Đặt $a=x+\dfrac{6}{x}$

PT trở thành : $(a+7)(a+5)=3$

\Leftrightarrow ....

b, ĐKXĐ: $-1 \le x \le 2$; x khác 0

PT \Leftrightarrow $2\sqrt{(2-x)(x+1)}=\dfrac{x+1}{x}$

\Rightarrow $4(2-x)(x+1)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2}$

\Leftrightarrow $x=-1$ hoặc $4x^2(2-x)=x+1$ (1)

PT(1) \Leftrightarrow $4x^3-8x^2+x+1=0$

\Leftrightarrow $(2x-1)(2x^2-3x-1)=0$

\Leftrightarrow ...

 

[eye_smile]

3,ĐKXĐ: $x;y$ khác 0

Từ hệ \Rightarrow $9,6+\dfrac{x}{y}=7,5+\dfrac{y}{x}$

\Leftrightarrow $x^2+2,1xy-y^2=0$

\Leftrightarrow $(x-0,4y)(x+2,5y)=0$

\Leftrightarrow $x=0,4y$ hoặc $x=-2,5y$

Thay vào 1 trong 2 pt ban đầu.

 

[eye_smile]

4,$A=1+\dfrac{x+1}{1-2x}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{x+1}{3x}$

$=\dfrac{4}{3}+(x+1)(\dfrac{1}{1-2x}+\dfrac{1}{3x})$

$ \ge \dfrac{4}{3}+(x+1).\dfrac{2}{\sqrt{(1-2x).3x}}$

$ \ge \dfrac{4}{3}+(x+1).\dfrac{2}{\dfrac{x+1}{2}}=\dfrac{16}{3}$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=0,2$

 

[eye_smile]

6,

Gọi số cần tìm là $\overline {ab}$(a,b≠0 ; a,b∈N ; a,b<10).

Ta có :

$\overline {ab}$ ⋮ ab

\Leftrightarrow 10a+b ⋮ a

\Leftrightarrow b ⋮ a

Đặt b=aq với q∈N , 0<q≤9.

\Leftrightarrow a(10+q) ⋮ ab

\Leftrightarrow 10+q ⋮ b

\Leftrightarrow 10+q ⋮ q (b ⋮ q)

\Leftrightarrow 10 ⋮ q

\Leftrightarrow q∈{1;2;5}

Thử từng trường hợp.