[Toán 9] CM bất đẳng thức

[yumi_26]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a, b, c >0. Chứng minh:
[TEX] (\frac{4a}{b+c} +1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1) > 25[/TEX]

Bài 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b \geq 0. CMR:
[TEX] (a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5) \leq 4(a^9+b^9)[/TEX]

 

[bboy114crew]

1)
Cứ quy đồng ta được BDT cần chứng minh tương đương với:
[TEX]\sum a^3 + 7abc \geq \sum ab(a+b)[/TEX]
Mà theo BDT Schur thì [TEX]\sum a^3 + 3abc \geq \sum ab(a+b)[/TEX]
Kết hợp với [TEX]4abc > 0[/TEX](Do a,b,c > 0)
\Rightarrow Q.E.D
2)
Cũng vậy thui!

 

[braga]

Bài 1:

Hướng làm:
Đặt

thì theo Schur:

và chú ý hằng đẳng thức:

Ta cần chứng minh:

Khai triển ra và sử dụng 2 bổ đề trên sẽ có ngay đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi

;

 

[locxoaymgk]

đặt[tex] \frac{1}{x}=\frac{4a}{b+c}[/tex]

[tex] \frac{1}{y}=\frac{4b}{a+c} [/tex]

[tex]\frac{1}{z}=\frac{4c}{b+a}[/tex]

vì a,b,c dương \rightarrow [tex]x,y,z >0. [/tex]

[tex]\rightarrow x+y+z=\frac{b}{4a}+\frac{c}{4a}+\frac{a}{4b}+\frac{c}{4b}+\frac{b}{4c}+\frac{a}{4c} \geq 3/2>1.[/tex]


vì [tex]x+y+z>1[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] ta có bdt quen thuộc cũng chính là bdt cần cm

[tex] (1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y}(1+\frac{1}{z}) > 64 >25.[/tex]

cách cm:
Ta có:[tex] vt=\frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{xyz}[/tex]

vì [tex]x+1>x+x+y+z \geq 4\sqrt[4]{x^2yz}[/tex]

cmtt ta có:

[tex] vt > \frac{64xyz}{xyz}=64>25.[/tex]

[tex]\rightarrow dpcm[/tex].

----------------------------------------------------
----------------------------------------------