[toán 9] bất đẳng thức

[asroma11235]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] dương.
Chứng minh: [TEX](\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1) > 25[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Trả biết đúng sai hay ko nhưng tớ làm thử xem!

Đặt[TEX] \frac{1}{x}=\frac{4a}{b+c}[/TEX]

[TEX] \frac{1}{y}=\frac{4b}{a+c} [/TEX]

[TEX]\frac{1}{z}=\frac{4c}{b+a}[/TEX]

Vì a,b,c dương \Rightarrow [TEX]x,y,z >0. [/TEX]

[TEX]\Rightarrow x+y+z=\frac{b}{4a}+\frac{c}{4a}+\frac{a}{4b}+\frac{c}{4b}+\frac{b}{4c}+\frac{a}{4c} \geq 3/2>1.[/TEX]


Vì [TEX]x+y+z>1[/TEX] \Rightarrow Ta có BDT quen thuộc cũng chính là BDT cần Cm

[TEX] (1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y}(1+\frac{1}{z}) > 64 >25.[/TEX]

Cách CM:
Ta có:[TEX] VT=\frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{xyz}[/TEX]

Vì [TEX]x+1>x+x+y+z \geq 4\sqrt[4]{x^2yz}[/TEX]

CMTT ta có:

[TEX] VT > \frac{64xyz}{xyz}=64>25.[/TEX]

\Rightarrow dpcm.

Dạng mở rộng:
Cho [TEX]x,y,z>0, x+y+z=a[/TEX].Ta có:
[TEX](1+\frac{a}{x})(1+\frac{a}{y})(1+\frac{a}{z})\geq 64[/TEX]
Hoặc:
[TEX] (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) \geq (1+3/a)^3[/TEX] (

 

[linhhuyenvuong]

Cách khác (có vẻ dài hơn)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Nguyên văn bởi n_l
Giả sử 0 < a\leqb\leqc
Đặt: [TEX]T_1=a+b+c; T_2=ab+bc+ac; T_3=abc[/TEX]
BĐT \Leftrightarrow[TEX]\frac{(T_1+3a)(T_1+3b)(T_1+3c)}{(a+b)(b+c)(a+c)} >25[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]T_1^3+3T_1^2(a+b+c)+9T_1(ab+bc+ac)+27abc >25 (T_1-a)(T_1-b)(T_1-c)}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]4T_1^3+9T_1T_2+27T_3 > 25(T_1T_2-T_3)[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]T_1^3-4T_1T_2+13T_3 >0[/TEX]

Điều này luôn đúng