chuẩn hóa abc = 1 (thuần nhất đúng ko?)
tương tự với mathstarofvn ta biểu diễn [tex]({\frac{a}{b+c})}^2 + ({\frac{b}{c+a})}^2+({\frac{c}{a+b})}^2+\frac{10abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}[/tex]
thành [tex]({\frac{1}{1+m})}^2 + ({\frac{1}{1+n})}^2+({\frac{1}{1+p})}^2+\frac{10}{(1+m)(1+n)(1+p)}[/tex]
đặt [TEX]\frac{m-1}{m+1} = x, \frac{n-1}{n+1} = y, \frac{p-1}{p+1} = z[/TEX], khi đó
[TEX](x+1)(y+1)(z+1) = (1-x)(1-y)(1-z) \Rightarrow xyz+xy+yz+zx= 0[/TEX]
BDT cần CM
[TEX]\Leftrightarrow (1-x)^2 + (1-y)^2 + (1-z)^2 + 5(1-x)(1-y)(1-z) \geq 8[/TEX]
kết hợp với xyz+xy+yz+zx= 0
[TEX](1-x)^2 + (1-y)^2 + (1-z)^2 + 5(1-x)(1-y)(1-z) \geq 8[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+ y^2+z^2 + 10(xy+yz+xz) - 7(x+y+z) \geq 0[/TEX]
Cái này bạn chuẩn hóa ko chuẩn xác rồi! Bạn chỉ cần đặt[tex] m=\frac{a}{b}, n=\frac{b}{c}, p=\frac{c}{a} \Rightarrow mnp=1[/tex] như thế bạn mới biến đổi đc như phía dưới! Còn đoạn cuối bạn chứng minh thế nào?
Đây là 1 lời giải bằng S.O.S của mình:
đặt [tex] x=\frac{a}{a+b},y=\frac{b}{b+c},z=\frac{c}{c+a} \Rightarrow xyz=(1-x)(1-y)(1-z) \Rightarrow 10xyz=5(xy+xz+yz)-5(x+y+z)+5[/tex]
Để ý là [tex] x+y+z-xy-xz-yz=\frac{ab}{(b+c)(c+a)}+\frac{bc}{(c+a)(a+b)}+ \frac{ca}{(a+b)(b+c)} [/tex]
Thay vào bđt cần cm, và thực hiện 1 ít thao tác biến đổi ta đưa bđt cần cm về:
[tex] \sum (\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a})^2 \geq \frac{2c(a-b)^2+2a(b-c)^2+2b(c-a)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}
\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(a+b+c)^2}{(b+c)^2(c+a)^2}- \frac{\sum 2c(a-b)^2}{(a+b)(c+a)(b+c)} \geq 0[/tex]
Đặt [tex] S_c= (a+b+c)^2(a+b)-2c(b+c)(c+a), S_b=(a+b+c)^2(a+c)-2b(b+c)(b+a),S_a=(a+b+c)^2(b+c)-2a(b+a)(c+a)[/tex]
Không mất tính tổng quát ta giả sử [tex] a \geq b \geq c \Rightarrow S_c \geq S_b \geq 0 [/tex] Vậy ta chỉ cần cm [tex] b^2S_a+a^2S_b \geq 0[/tex] là xong!
ta có [tex] a^2S_b+b^2S_a \geq a^2(a+b)^2(a+c)+b^2(a+b)^2(b+c)-2a^2b(b+c)(b+a)-2b^2a(b+a)(c+a)[/tex]
Giờ cần chứng minh: [tex] a^2(a+b)(a+c)+b^2(a+b)(b+c) \geq 2a^2b(b+c)+2b^2a(c+a)[/tex]
Ta lại có [tex] 2VT \geq (a+b)^2[a^2+b^2+(a-b)^2+c(a+b)] \geq 4ab(2ab+ac+bc)=2VP[/tex]
Bài toán được cm!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn