Toán [Toán 9] Bất đẳng thức

[Lạp Hộ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z > 0 và x + y+ z = 1. Chứng minh rằng :
[tex]\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}[/tex]

 

[Hoàng Anh Minh]

x +y >=2.căn(xy)
y+z >=2.căn(yz)
z+x>= 2.căn(zx)
cộng vế theo vế ta được
x+y+ z >= căn(xy) +căn (yz) + căn( zx) = 1
vì là bất đẳng thức đối xứng nên nó đạt được giá trị nhỏ nhất <=> x = y = z = 1/3
nên phải áp dụng cauchy sao cho x = y = z = 1/3
áp dụng cauchy cho 2 số dương x^2/(x+y) và (x+y)/4 ta được
x^2/(x+y) + (x+y)/4 >= 2.căn(x^2 /4) = x
(phải áp dụng cô sy sao cho x = y = z = 1/3 tức là x^2/(x+y) = (x+y)/4 )
làm tương tự ta được
y^2/(y + z) + (y + z)/4 >= y
z^2/(z+x) + (z+x)/4 >= z
cộng vế theo vế ta được
x^2/(x+y) + y^2/(y+z) + z^2/(z+x) + (x+y+z)/2 >= x +y + z
<=> P >= (x+y+z)/2
mà x +y +z >=1
=> P >= 1/2
dấu = <=> x = y = z = 1/3

K BIẾT CÓ ĐÚNG HAY KHÔNG NHA BẠN

 

[Lạp Hộ]

x +y >=2.căn(xy)
y+z >=2.căn(yz)
z+x>= 2.căn(zx)
cộng vế theo vế ta được
x+y+ z >= căn(xy) +căn (yz) + căn( zx) = 1
vì là bất đẳng thức đối xứng nên nó đạt được giá trị nhỏ nhất <=> x = y = z = 1/3
nên phải áp dụng cauchy sao cho x = y = z = 1/3
áp dụng cauchy cho 2 số dương x^2/(x+y) và (x+y)/4 ta được
x^2/(x+y) + (x+y)/4 >= 2.căn(x^2 /4) = x
(phải áp dụng cô sy sao cho x = y = z = 1/3 tức là x^2/(x+y) = (x+y)/4 )
làm tương tự ta được
y^2/(y + z) + (y + z)/4 >= y
z^2/(z+x) + (z+x)/4 >= z
cộng vế theo vế ta được
x^2/(x+y) + y^2/(y+z) + z^2/(z+x) + (x+y+z)/2 >= x +y + z
<=> P >= (x+y+z)/2
mà x +y +z >=1
=> P >= 1/2
dấu = <=> x = y = z = 1/3

K BIẾT CÓ ĐÚNG HAY KHÔNG NHA BẠN

lộn rồi bạn =))

 

[Hoàng Anh Minh]

lộn rồi bạn =))

để mình giải lại cho

 

[Viet Hung 99]

Cho x,y,z > 0 và x + y+ z = 1. Chứng minh rằng :
[tex]\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}[/tex]

$P=\dfrac{x}{x+yz}+\dfrac{y}{y+xz}+\dfrac{z}{z+xy}$
$= \dfrac{x}{x(x+y+z)+yz}+\dfrac{y}{y(x+y+z)+xz}+\dfrac{z}{z(x+y+z)+xy}$
$=\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y}{(y+x)(y+z)}+\dfrac{z}{(z+x)(z+y)}=\dfrac{2\left ( xy+yz+zx \right )}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \ge \dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$
$\Longleftrightarrow 9(x+y)(y+z)(z+x) \ge 8(x+y)(y+z)(z+x)$
$\Longleftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$
Theo BĐT Cô-Si ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \ge 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz$
$\Longrightarrow P = \dfrac{2\left ( xy+yz+zx \right )}{(x+y)(y+z)(z+x)} \leq \dfrac{2\left ( xy+yz+zx \right )}{\dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)} =
\dfrac{2\left ( xy+yz+zx \right )}{\dfrac{8}{9}(xy+yz+zx)} = \dfrac{9}{4}$