Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[01263812493]

Câu 5 đề thi thử THPT chuyên ngoại ngữ
cho [TEX] \left{x,y,z>0\\{x^2+y^2+z^2=1}.\text{ Tim min } A=\sum\frac{x^2y^2}{z^2}[/TEX]

[TEX]\blue A=\frac{x^2y^2}{z^2}+ \frac{y^2z^2}{x^2} + \frac{z^2x^2}{y^2}=(\frac{xy}{z})^2+ (\frac{yz}{x})^2+ (\frac{zx}{y})^2 \geq x^2+y^2+z^2=1[/TEX]

[TEX]Q=\sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{2x^2-4x+4}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]Q=\sqrt{(x+1)^2+x^2}+\sqrt{(x-2)^2+x^2}[/TEX]
[TEX]Q \geq |x+1| +|2-x| \geq3[/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=0

Cách khác:
[TEX]\blue Q\sqrt{2}=\sqrt{(2x+1)^2+1}+\sqrt{(2-2x)^2+4} \geq \sqrt{(2x+1+2-2x)^2+(1+2)^2}=3\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow Q \geq 3 \leftrightarrow x=0[/TEX]

 

[asroma11235]

1 : Cho 1\leq x \leq y \leq z \leq 2 .CMR:
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \leq 10[/TEX]
2: Cho a,b,c [TEX]\in [\frac{1}{2};2][/TEX] .CMR:
[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq \frac{225}{16}[/TEX]
(st)

 

[viet_tranmaininh]

1 : Cho 1\leq x \leq y \leq z \leq 2 .CMR:
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \leq 10[/TEX]

C/m
Quy đồng, xét hiệu, ta có:
[TEX]T=(x+ y+ z)(xy+ yz+ xz)- 10xyz[/TEX]
[TEX]T=(x+ y+ z)[y(x+ z)+ xz]- 10xyz[/TEX]
....
[TEX]T=y(x +z)^2+xz(x+z)+y^2(x+z)- 9xyz[/TEX]
[TEX]T=xz(x+z) +y^2(z+x) -y(z+x)^2 +2y(x+z)^2 -9xyz[/TEX]
[TEX]T=(x+z) (y-x)(y-z) +y(2x- z)(x-2z)[/TEX]
Sau đó sử dụng [TEX]1\leq x \leq y \leq z \leq 2[/TEX]\Rightarrow [TEX]T\leq10[/TEX]
( phân tích nhân tử dã man lun )

 

[asroma11235]

C/m
Quy đồng, xét hiệu, ta có:
[TEX]T=(x+ y+ z)(xy+ yz+ xz)- 10xyz[/TEX]
[TEX]T=(x+ y+ z)[y(x+ z)+ xz]- 10xyz[/TEX]
....
[TEX]T=y(x +z)^2+xz(x+z)+y^2(x+z)- 9xyz[/TEX]
[TEX]T=xz(x+z) +y^2(z+x) -y(z+x)^2 +2y(x+z)^2 -9xyz[/TEX]
[TEX]T=(x+z) (y-x)(y-z) +y(2x- z)(x-2z)[/TEX]
Sau đó sử dụng [TEX]1\leq x \leq y \leq z \leq 2[/TEX]\Rightarrow [TEX]T\leq10[/TEX]
( phân tích nhân tử dã man lun )

CÁch này ngắn hơn:
Ta có: [TEX]\left ( 1- \frac{x}{y} \right ) \left ( 1-\frac{y}{z} \right ) \geq 0[/TEX]
and [TEX]\left ( 1-\frac{y}{x} \right ) \left ( 1-\frac{z}{y} \right ) \geq 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \leq 2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]VT=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z} \leq 5+2\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )[/TEX]
\leq [TEX]10+\left ( \frac{x}{z}-2 \right )\left ( 2-\frac{z}{x} \right ) \geq 10[/TEX]

1 : Cho 1\leq x \leq y \leq z \leq 2 .CMR:
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \leq 10[/TEX]
2: Cho a,b,c [TEX]\in [\frac{1}{2};2][/TEX] .CMR:
[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq \frac{225}{16}[/TEX]
(st) =>> típ bài 2

 

[ohmymath]

[TEX]\blue x,y \in R \ and \ x^3+y^3=-2. \ Prove: \ -2 \leq x+y< 0[/TEX]

Hi hi ra rùi =)) Sau 1 hồi vận nội khí ; phối đồ trâu~> đã ra
[TEX]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=-2[/TEX]
~> x+y<0 (được 1 cái!!)
Vì x+y<0 ~> [TEX](x+y)(x-y)^2\leq0[/TEX]~>[TEX](x+y)(x^2-xy+y^2 - xy)\leq0[/TEX]~> [TEX]x^3+y^3\leq xy(x+y)[/TEX]
Mà [TEX]x^3+y^3=-2[/TEX]~>[TEX]xy(x+y)\geq-2\Rightarrow 3xy(x+y)\geq-6[/TEX]
Cộng cả 2 vế với -2 hay chính là [TEX]x^3+y^3[/TEX] ta được:
[TEX](x+y)^3\geq-8[/TEX]
~>[TEX]x+y\geq-2[/TEX]
Vậy ta có điều phải chứng minh \\/
Đề Lam Sơn năm nào vậy bạn???

 

[bananamiss]

1, a,b,c > 0, a+b+c=3

cm

[TEX](a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3 \geq \frac{-3}{4}[/TEX]

 

[quan8d]

[TEX]\blue 1) \ x,y,z>1 \ and \ \sum x=xyz. Min: \ P= \frac{y-2}{x^2}+ \frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}[/TEX]
[TEX]\blue 2) \ Min \ Q=\sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{2x^2-4x+4}=?[/TEX]

[TEX]x+y+z = xyz \rightarrow \sum \frac{1}{xy} = 1[/TEX]
[TEX]P = \sum \frac{(x-1)+(y-1)}{x^2} - \sum \frac{1}{x} = \sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}) - \sum \frac{1}{x} \geq \sum \frac{2(x-1)}{xz} - \sum \frac{1}{x} = \sum \frac{1}{x} - 2 \geq \sqrt{3\sum \frac{1}{xy}}-2 \geq \sqrt{3} - 2[/TEX]
[TEX]"=" \leftrightarrow x = y = z = \sqrt{3}[/TEX]

 

[conami]

hơi đơn giản tí để giải trí

Cho x;y không âm thoả mãn [TEX]2x^{2} + 3y^{2} = 1[/TEX]
Tìm Min (nếu có) và Max (nếu có) của P=[TEX]\sqrt{x+1} + \sqrt{y+1}[/TEX]

 

[asroma11235]

Kiếm dc mỗi câu thi chuyên ĐHTH HN "T_T"/easy
Cho xy \geq 0
and x+y \leq 6. CMR:
[TEX]x^2y(4-x-y) \leq 4[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Kiếm dc mỗi câu thi chuyên ĐHTH HN "T_T"/easy
Cho xy \geq 0
and x+y \leq 6. CMR:
[TEX]S=x^2y(4-x-y) \leq 4[/TEX]

[tex]S=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.(4-x-y) \le 4.\frac{4^4}{4^4}=4 [/tex]

 

[ohmymath]

[tex]S=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.(4-x-y) \le 4.\frac{4^4}{4^4}=4 [/tex]

Nhưng đây mới chỉ cho xy>0 thôi chứ đâu phải x;y>0 đâu!!
Với lại nếu làm như vậy thì x+y[TEX]\leq 6[/TEX] để làm gì??

 

[overlife]

Giúp mình với

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{9}{a+b+c}-\frac{1}{abc}\leq 2[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{9}{a+b+c}-\frac{1}{abc}\leq 2[/TEX]

có BĐT<=>[tex]\frac{9}{a+b+c} \leq 2 +\frac{1}{abc}[/tex]
có VT[tex]\leq \frac{3}{ \sqrt[3]{abc}}[/tex](AM-GM)
Ta sẽ CM :[tex]\frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \leq 2 +\frac{1}{abc}[/tex](1)
(1) luôn đúng bởi [tex]\frac{1}{abc} +1+1 \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}[/tex](AM-GM)
=>đpcm

 

[khanh_ndd]

[TEX] \ x,y,z>0 \ and \ \sum x=xyz. Min: \ P= \frac{y-2}{x^2}+ \frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

[tex] \ x,y,z>0 \ and \ \sum x=xyz. Min: \ p= \frac{y-2}{x^2}+ \frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}[/tex]

[tex]x+y+z = xyz \rightarrow \sum \frac{1}{xy} = 1[/tex]
[tex]p = \sum \frac{(x-1)+(y-1)}{x^2} - \sum \frac{1}{x} = \sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}) - \sum \frac{1}{x} \geq \sum \frac{2(x-1)}{xz} - \sum \frac{1}{x} = \sum \frac{1}{x} - 2 \geq \sqrt{3\sum \frac{1}{xy}}-2 \geq \sqrt{3} - 2[/tex]
[tex]"=" \leftrightarrow x = y = z = \sqrt{3}[/tex]

 

[bboy114crew]

[tex]\sqrt {{a^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}} + \sqrt {{b^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} + \sqrt {{c^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}} \ge \frac{{3\sqrt 2 }}{2}[/tex]
Komal

 

[asroma11235]

Nhưng đây mới chỉ cho xy>0 thôi chứ đâu phải x;y>0 đâu!!
Với lại nếu làm như vậy thì x+y[TEX]\leq 6[/TEX] để làm gì??

*Nếu 4 \leq x+y \leq 6 \Rightarrow [TEX]A=x^2y(4-x-y) \leq 0 \leq 4[/TEX]
*nếu : x+y \leq 4. Thì theo cauchy:
[TEX]A=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.(4-x-y) \leq 4.\left ( \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+4-x-y}{4} \right )^4 = 4[/TEX]
ĐT xảy ra \Leftrightarrow x=2; y=1

 

[nhockthongay_girlkute]

[tex]\sqrt {{a^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}} + \sqrt {{b^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} + \sqrt {{c^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}} \ge \frac{{3\sqrt 2 }}{2}[/tex]
Komal

[TEX]\sum \sqrt{a^2+(1-b)^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(3-a-b-c)^2}\geq \sqrt{\frac{(a+b+c+3-a-b-c)^2}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho các số thực không âm thoả mãn [tex]ab+bc+ac=1[/tex].CMR:
[tex]\sum\sqrt{a^3+a} \geq 2\sqrt{a+b+c}[/tex]
Iran 1998

 

[khanh_ndd]

Cho các số thực không âm thoả mãn [tex]ab+bc+ac=1[/tex].CMR:
[tex]\sum\sqrt{a^3+a} \geq 2\sqrt{a+b+c}[/tex]
Iran 1998

Iran 1998 có bài này sao!!!
Dùng Mincowski
[tex]\sum{\sqrt{{{a}^{3}}+a}=\sum{\sqrt{{{a}^{3}}+a(ab+bc+ca)}\ge \sqrt{{{\left( \sum{a\sqrt{a+b+c}} \right)}^{2}}+{{\left( 3\sqrt{abc} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{(a+b+c)}^{3}}+9abc}[/tex]
bdt đúng nếu [tex]\sqrt{{{(a+b+c)}^{3}}+9abc}\ge 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\Leftrightarrow \sum{{{a}^{3}}+3abc\ge \sum{{{a}^{2}}(b+c)}}[/tex]
mà cái này là Schur.