[Toán 8] topic toán ôn thi HSG toán 8

[cry_with_me]

eye chém 1 bài rồi á
bài còn lại t thử làm coi

vì 0\leqa,b,c \leq 1

~> $(1-a)^2(1-b)^2(1-c)^2$ \geq 0

<-> $(1-a)^2(1 - b^2- c^2 + b^2c^2)$ \geq0

<-> $1 - b^2 - c^2 + b^2c^2 -a^2 + a^2b^2 + a^2c^2 - a^2b^2c^2$ \geq 0

<-> $a^2 + b^2 + c^2$ \leq $1 + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2b^2c^2$

mà ta có : $ 1 + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2b^2c^2$ \leq $1 + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 $

~> $a^2 + b^2 + c^2$ \leq $1 + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2$

theo đề bài 0\leqa,b,c \leq 1

~> $a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2$ \leq $a^2b + b^2c + c^2a$

~> $a^2 + b^2 + c^2$ \leq$ 1 + a^2b + b^2c + c^2a$

 

[cry_with_me]

mình thử post một bài coi sao

đây là đề thi toán 7 năm ngoái của mình

nó là dạng mới thôi chứ ko khó đâu, lúc đầu nhìn hơi choáng b-(

cho a,b,c,d,e là các số nguyên 1 \leq a \leqb\leqc\leqd \leqe

CMR:

$\dfrac{1}{ [a,b] } + \dfrac{1}{ [b,c] } + \dfrac{1}{ [c,d] } + \dfrac{1}{ [d,e] } < 1$

[] là kí hiệu bội chung nhỏ nhất

 

[c2nghiahoalgbg]

Mình vừa tìm được mấy bài nữa này:
Câu 11:
Cho abc=1 và $a^3>36$. CMR: $\frac{a^3}{3}$+$b^2+c^2$>ab+bc+ca
Câu 12:
Tìm nghiệm nguyên của PT:6x+15y+10z=3
Còn tồn câu 1;3;4;8 mong các bạn giải nốt, rồi mình sẽ post hình

(*)(*)(*)(*)(*)

 

[tiendat102]

Câu 11:
Bất đảng thức [TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{4}+(b+c)^2-a(b+c)+\frac{a^2}{12}-3bc>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^2+\frac{a^2}{12}-\frac{3}{a}>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^2+\frac{a^3-36}{12a}>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{2}-b-c>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3-36>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a>0[/TEX]

 

[tiendat102]

Câu 12:
[TEX]\Leftrightarrow x+10(y+z)+5(x+y)=3[/TEX]
Đặt t=y+z,K=x+y với [TEX](t,k \in \ z)[/TEX]
Ta có: [TEX]x+10t+5k=3[/TEX]
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình :
[TEX]\left{\begin{3-10t-5k\\y=-3+10t+6k\\z=3-9t-6k[/TEX]

 

[cry_with_me]

6x + 15y + 10z= 3

<-> $ x + 10(y + z) + 5(x +y) = 3$

đặt $\left\{\begin{matrix}t=y +z\\ u =x +y \end{matrix}\right.$ (t,u thuộc Z)
pt trở thành: $x + 10t + u = 3$

Vậy nghiệm tổng quát là:


$\left\{\begin{matrix}x = 3 - 10t - u\\ y = -3 + 10t + 6u\\ z=3-9t-6u \end{matrix}\right.$

 

[tiendat102]

Cho [TEX]\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0[/TEX].
CMR: [TEX](\frac{a}{b-c})^2+(\frac{b}{c-a})^2+(\frac{c}{a-b})^2=0[/TEX]

 

[duongtrang99]

Nữa này:
Câu 5:
CMR: nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì(p-1)(p+1)$\vdots$24
Câu 6:
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức: (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008 cho đa thức $x^2$+10x+21
(*)(*)(*)(*)(*)

Ta cóx+2)(x+4)x+6)(X+8)=(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)=(x^2+10x+16)(X^2+10x+24)
đặt X^2+10x+21=t
==>biểu thức đã cho=(t-5)(t+3)+2008=t^2-2t-15+2008=t^2-2t+1993=t(t+2)+1993
do t(t+2) chia hết cho t nên biểu thức đã cho chia t dư 1993hay (..)(..)(..)(..) chia hết cho x^2+10x+21

 

[c2nghiahoalgbg]

hỏi cái

Cho [TEX]\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0[/TEX].
CMR: [TEX](\frac{a}{b-c})^2+(\frac{b}{c-a})^2+(\frac{c}{a-b})^2=0[/TEX]

Hình như bạn chép sai đề rồi
Mình CM đc:[TEX](\frac{a}{b-c})^2+(\frac{b}{c-a})^2+(\frac{c}{a-b})^2=2[/TEX]
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[eye_smile]

Cho $\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$.
CMR: ($\dfrac{a}{b-c})^2+(\dfrac{b}{c-a})^2+(\dfrac{c}{a-b})^2=0$

Ta có; $\dfrac{a}{{b - c}} + \dfrac{b}{{c - a}} + \dfrac{c}{{a - b}} = 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{a}{{b - c}} = - \left( {\dfrac{b}{{c - a}} + \dfrac{c}{{a - b}}} \right) = - \dfrac{{b\left( {a - b} \right) + c\left( {c - a} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}}$
\Leftrightarrow $\dfrac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = - \dfrac{{b\left( {a - b} \right) + c\left( {c - a} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}$(1)
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = - \dfrac{{a\left( {a - b} \right) + c\left( {b - c} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)}}$(2)
$\dfrac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = - \dfrac{{a\left( {c - a} \right) + b\left( {b - c} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}$(3)
Từ (1),(2) và (3) \Rightarrow $\dfrac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \dfrac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \dfrac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = - \dfrac{{b\left( {a - b} \right) + c\left( {c - a} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} - \dfrac{{a\left( {a - b} \right) + c\left( {b - c} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)}} - \dfrac{{a\left( {c - a} \right) + b\left( {b - c} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}$
$ = - \dfrac{{b\left( {a - b} \right) + c\left( {c - a} \right) + a\left( {a - b} \right) + c\left( {b - c} \right) + a\left( {c - a} \right) + b\left( {b - c} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}$
$ = - \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) + \left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right) + \left( {c - a} \right)\left( {a + c} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}$
$ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} + {b^2} - {c^2} + {c^2} - {a^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}$
$ = 0$
Hơi dài, ai còn cách khác thì đưa lên nhé!

 

[eye_smile]

Câu 11:
Cho abc=1 và $a^3>36$. CMR: $\frac{a^3}{3}$+$b^2+c^2$>ab+bc+ca
(*)(*)(*)(*)(*)

Xét hiệu :$\dfrac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc$
$ = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {b^2} + {c^2} - ab - ac + 2bc} \right) - 3bc + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}$
$ = {\left( {\dfrac{a}{2} - b - c} \right)^2} + \dfrac{{{a^3} - 36abc}}{{12a}}$
$ = {\left( {\dfrac{a}{2} - b - c} \right)^2} + \dfrac{{{a^3} - 36}}{{12a}}$(1)
Lại có: ${a^3} > 36$ \Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^3} - 36 > 0} \\
{a > 0} \\
\end{array}} \right.$ \Rightarrow $\dfrac{{{a^3} - 36}}{{12a}} > 0$(2)
${\left( {\dfrac{a}{2} - b - c} \right)^2} \ge 0$(3)
Từ (1); (2); (3) \Rightarrow ${\left( {\dfrac{a}{2} - b - c} \right)^2} + \dfrac{{{a^3} - 36abc}}{{12a}} > 0$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ac$

 

[c2nghiahoalgbg]

Tiếp tục nha các bạn, lần này dễ hơn
Câu 13:
Tìm a để PT |4-3x|=5-a có nghiệm $\in$$ Z^+$
Câu 14:
Chứng minh rằng nếu x+y=1 và xy $\not =\ thì \frac{y}{x^3-1}$-$\frac{x}{y^3-1}$=$\frac{2(x-y)}{x^2y^2+3}$
Câu 15:
Tìm x nguyên để y nguyên: y=$\frac{2x+3}{x^2+1}$
Xin cái thank cái cho có cảm tình hì hì
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[c2nghiahoalgbg]

Nữa này
Câu 16:
Giả sử $2002^{2003}$ được phân tích thành tổng của n số tự nhiên $a_1;a_2;...;a_n.$ Xét số A=${a_1}^{2001}+{a_2}^{2001}+{a_3}^{2001}+...+{a_n}^{2001}$. Hỏi khi chia A cho 6 ta nhận được số dư là bao nhiêu?
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[eye_smile]

Nữa này
Câu 16:
Giả sử $2002^{2003}$ được phân tích thành tổng của n số tự nhiên $a_1;a_2;...;a_n.$ Xét số A=${a_1}^{2001}+{a_2}^{2001}+{a_3}^{2001}+...+{a_n}^{2001}$. Hỏi khi chia A cho 6 ta nhận được số dư là bao nhiêu?
(*)(*)(*)(*)(*)

${2002^{2003}} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$
$A = {a_1}^{2001} + {a_2}^{2001} + .... + {a_n}^{2001}$
$ = \left( {{a_1}^{2001} - {a_1}} \right) + \left( {{a_2}^{2001} - {a_2}} \right) + ... + \left( {{a_n}^{2001} - {a_n}} \right) + \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)$
$ = \left( {{a_1}^{2001} - {a_1}} \right) + \left( {{a_2}^{2001} - {a_2}} \right) + ... + \left( {{a_n}^{2001} - {a_n}} \right) + {2002^{2003}}$
Ta có: B=${a_1}^{2001} - {a_1}
= {a_1}\left( {{a_1}^{2000} - 1} \right)
= {a_1}\left( {{a_1}^{1000} - 1} \right)\left( {{a_1}^{1000} + 1} \right)
= {a_1}\left( {{a_1}^{500} - 1} \right)\left( {{a_1}^{500} + 1} \right)\left( {{a_1}^{1000} + 1} \right)
= {a_1}\left( {{a_1}^{250} - 1} \right)\left( {{a_1}^{250} + 1} \right)\left( {{a_1}^{500} + 1} \right)\left( {{a_1}^{1000} + 1} \right)
= {a_1}\left( {{a_1}^{125} - 1} \right)\left( {{a_1}^{125} + 1} \right)\left( {{a_1}^{250} + 1} \right)\left( {{a_1}^{500} + 1} \right)\left( {{a_1}^{1000} + 1} \right)$
+/${{a_1}^{125} - 1}$ chia hết cho ${{a_1} - 1}$
+/${{a_1}^{125} + 1}$ chia hết cho ${{a_1} + 1}$
\Rightarrow B chia hết cho ${a_1}\left( {{a_1} - 1} \right)\left( {{a_1} + 1} \right)$
hay B chia hết cho 6
Chứng minh tương tự, ta có $\left( {{a_1}^{2001} - {a_1}} \right) + \left( {{a_2}^{2001} - {a_2}} \right) + ... + \left( {{a_n}^{2001} - {a_n}} \right)$ chia hết cho 6
mà ${2002^{2003}}$ chia 6 dư 1
nên A chia 6 dư 1

 

[cry_with_me]

sao cái trang này đang hay mà bạn chủ ko đăng câu hỏi kìa

, khoan đã, t ngốc ko biết giải mấy cái này nhưng nhiều bạn đang chờ bạn ra đề

t ko chờ bạn ra đề đâu

đề khó lắm t ko chém đc

 

[c2nghiahoalgbg]

Tiếp nha các bạn
Câu 17:
Cho đa thức f(x)=$x^2+px+q$ với p$\in$Z,q$\in$Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k)=f(2008).f(2009)
Câu 18:
Cho số A=1$\begin{matrix} \underbrace{ 00\cdots0 } \\ 2000 \end{matrix}$1$\begin{matrix} \underbrace{ 00\cdots0 } \\ 1999 \end{matrix}$a5. Tìm a để A chia hết cho 37
Xin mấy bạn cái thank nha, à quên bạn nào có đề nào hay cứ cho lên nha mình sẽ cảm ơn, hì hì
À nếu ai là "Phạm Nguyên Hương Ly" cho mình làm quen nha, ko thì ai biết link của bạn ấy thì bảo mình nha
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[c2nghiahoalgbg]

Lần này dễ hơn các bạn ạ, à có ai thích giải toán tuổi thơ ko
Câu 19:
CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: $x^2+y^2+z^2$=1999
Các bạn cố gắng giải nha
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[c2nghiahoalgbg]

Câu 20:
Chứng minh rằng với mỗi số a>0 thì đa thức $f(x)=x^4+x^2+2$ viết được thành tổng các bình phương của hai đa thức bậc hai.
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[mua_sao_bang_98]

Bạn ơi mk nghĩ rằng bạn nên chữa các bt khó mà mn không giải được trước khi đưa ra bài mới!


&lt;&lt;&lt;&lt;&lt;&lt;&lt;&lt;&lt;&lt;&lt;

 

[cry_with_me]

hèm, hù, nào chúng ta cùng chém

bài

$x^2 + y^2 + z^2 = 1999$

* TH1: cả 3 số cùng lẻ vế trái chia 8 dư 3, vế phải chia 8 dư 7 (loại)

* TH2: có 1 số lẻ, 1 số chẵn .Vế trái chia 4 dư 1. Vế phải chia 4 dư 3 (loại)

$\rightarrow$ đpcm