[Toán 8] topic toán ôn thi HSG toán 8

[c2nghiahoalgbg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Sắp đến kì thi HSG toán 8 cấp tỉnh, mình có một số đề thi đây mong mọi người đóng ghóp thêm nhiều đề, và tích cực giải nha.Mỗi hôm mình post mấy đề.
Chú ý:

+Không viết những bài ko cần thiết
+Không spam
Bắt đầu:
Câu 1:
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn
$a^2$+ab+$\frac{b^2}{2}$=25
$\frac{b^2}{3}$+$c^2$=9
$c^2$+ac+$a^2$=16
Tính giá trị của biểu thức: P=ab+2bc+3ac.
Câu 2:
Biết rằng với n là số tự nhiên thì n-10;n+10;n+60 là số nguyên tố . Chứng minh n+90 cũng là số nguyên tố
Mong mọi người giúp đỡ nhiều
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[eye_smile]

2)Biết rằng với n là số tự nhiên thì n-10;n+10;n+60 là số nguyên tố . Chứng minh n+90 cũng là số nguyên tố
Mong mọi người giúp đỡ nhiều
(*)(*)(*)(*)(*)

Mình ko biết suy nghĩ như vậy có đúng ko nhưng mình tìm được cả số n :-/
+/n=3k
=>n+60=3k+60 chia hết cho 3
mà n là số tự nhiên nên n+60>60>3
=>n+60 là hợp số (ko tm n+60 nguyên tố)
+/n=3k+1
=>n-10=3k+1-10=3k-9 chia hết cho 3
=>Để n-10 nguyên tố thì n-10=3 tức n=13
=>n+10=23 và n+60=73 cũng nguyên tố (thoả mãn)
=>n+90=13+90=103 là số nguyên tố
+/n=3k+2
=>n+10=3k+2+10=3k+12 chia hết cho 3
mà n là số tự nhiên
=>n+10>3
=>n+10 là hợp số (ko tm n+10 nguyên tố)

 

[c2nghiahoalgbg]

Tiếp tục:
Câu 3:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :
$2x^2$-4y=10
Câu 4:
Cho x=$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$;y=$\frac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}$
Tính giá trị P=x+y+xy
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[cry_with_me]

t thấy nó có nghiệm mà
x=3
y=2

 

[c2nghiahoalgbg]

Nữa này:
Câu 5:
CMR: nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì(p-1)(p+1)$\vdots$24
Câu 6:
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức: (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008 cho đa thức $x^2$+10x+21
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[eye_smile]

Nữa này:
Câu 6:
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức: (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008 cho đa thức $x^2$+10x+21
(*)(*)(*)(*)(*)

Đặt f(x)=(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008
Gọi thương của phép chia f(x) cho $x^2$+10x+21 là Q(x)
Vì là đa thức bậc 2 nên số dư của phép chia trên là đa thức bậc 1 có dạng ax+b
Theo bài ra, ta có:
$f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 10x + 21} \right).Q\left( x \right) + ax + b = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 7} \right).Q\left( x \right) + ax + b$
\Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( { - 3} \right) = - 3a + b = 1993} \\
{f\left( { - 7} \right) = - 7a + b = 1993} \\
\end{array}} \right.$
\Rightarrow $\left( { - 3a + b} \right) - \left( { - 7a + b} \right) = 1993 - 1993 = 0$
\Rightarrow $4a = 0$
\Rightarrow $a = 0$
\Rightarrow b = 1993 + 3.0 = 1993
Vậy Dư của phép chia là 1993

 

[eye_smile]

Nữa này:
Câu 5:
CMR: nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì(p-1)(p+1)$\vdots$24
(*)(*)(*)(*)(*)

Ta có ;
(p-1)(p+1)=${p^2} - 1$
+/p là số nguyên tố, p>3 nên p ko chia hết cho 3 và p lẻ
*Với p =4k+1( k thuộc N)
\Rightarrow ${p^2} = {\left( {4k + 1} \right)^2} = 16{k^2} + 8k + 1$ chia 8 dư 1
*Với p=4k+3(đk k)
\Rightarrow ${p^2} = {\left( {4k + 3} \right)^2} = 16{k^2} + 24k + 1$ chia 8 dư 1
Tóm lại, do ${p^2}$ là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1
+/${p^2}$ là số chính phương ko chia hết cho 3 nên chia 3 dư 1
\Rightarrow ${p^2} - 1$ vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 8 nên chia hết cho 24

 

[tiendat102]

Thêm vài bài nữa này :Bài 1: Hai thùng dầu có dung tích 144l và 1001 đều có chứa 1 lượng dầu không biết là bao nhiêu. Nếu trút dầu ở thung nhỏ vào đầy thùng lớn thì lượng dầu còn lại ở thùng nhỏ = [TEX]\frac{1}{5}[/TEX] lượng dầu có lúc đầu. Nếu trút dầu ở thùng lớn sang đầy thùng nhỏ thì lượng dầu còn lại ở thùng lớn bằng [TEX]\frac{7}{12}[/TEX] lượng dầu có lúc đầu. Hỏi lượng dầu có lúc đầu ở mỗi thùng là bao nhiêu ?

Bài 2: cho tứ giác ABCD(AB//CD). Hai đường chéo cắt nhau tại O.Từ A và B kẻ 2 đường thẳng // với 2 cạnh bên, cắt 2 đường chéo tại E;F.
CMR: a,EF//AB
[TEX] b,AB^2=EF.CD[/TEX]

Bài 3 cho [TEX]f(x)[/TEX] là 1 đa thức với hệ số dương. Biết [TEX]f(0);f(x)[/TEX] là các số lẻ. CMR: [TEX]f(x)[/TEX] không thể có nghiệm nguyên.

 

[eye_smile]

Thêm vài bài nữa này :Bài 1: Hai thùng dầu có dung tích 144l và 100l đều có chứa 1 lượng dầu không biết là bao nhiêu. Nếu trút dầu ở thung nhỏ vào đầy thùng lớn thì lượng dầu còn lại ở thùng nhỏ = [TEX]\frac{1}{5}[/TEX] lượng dầu có lúc đầu. Nếu trút dầu ở thùng lớn sang đầy thùng nhỏ thì lượng dầu còn lại ở thùng lớn bằng [TEX]\frac{7}{12}[/TEX] lượng dầu có lúc đầu. Hỏi lượng dầu có lúc đầu ở mỗi thùng là bao nhiêu ?

Gọi lượng dầu lúc đầu ở thùng lớn và thùng nhỏ lần lượt là a, b (l) (đk)
Theo bài ra ta có +/ a+$\dfrac{4}{5}b$=144 ( *)
+/ b+$\dfrac{5}{{12}}a$=100(1)
Từ (1) \Rightarrow $\dfrac{4}{5}b + \dfrac{1}{3}a = 100.\dfrac{4}{5} = 80$(**)
Từ ( *) và (**) \Rightarrow $\dfrac{2}{3}a = 64$
\Rightarrow a = 96
\Rightarrow $b = \left( {144 - 96} \right):\dfrac{4}{5} = 60$

 

[c2nghiahoalgbg]

hỏi cái


Bạn chép sai đề rồi sao ý, phải f(1) lẻ hoặc gì đó chứ sao lại f(x) lẻ

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này

Bài 2: cho tứ giác ABCD(AB//CD). Hai đường chéo cắt nhau tại O.Từ A và B kẻ 2 đường thẳng // với 2 cạnh bên, cắt 2 đường chéo tại E;F.
CMR: a,EF//AB
[TEX] b,AB^2=EF.CD[/TEX]

Bài 2:
a)
Gọi giao điểm của AE và CD là N
giao điểm của BF và CD là M
Ta CM đc:ABMD,ABCN là hbh
\RightarrowAD=BM;AN=BC;(*)AM=AB;CN=AB\RightarrowDN=CM
\Rightarrow[TEX]\large\Delta[/TEX]ADN=[TEX]\large\Delta[/TEX]BMC(c.c.c)
CM:
$\frac{BF}{MF}=\frac{AB}{MC}=\frac{AB}{DN}=\frac{EB}{ED}$
Ta có [TEX]\large\Delta[/TEX]BDM có:$\frac{BF}{MF}=\frac{EB}{ED}$
\RightarrowEF//AB
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[c2nghiahoalgbg]

Tiếp tục nha
Câu 7:
Cho a,b,c là các cạnh của một tam giác, ha;hb;hc là các đường cao tương ứng. Biết a+ha=b+hb=c+hc. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
Câu 8:
CMR: $\frac{a-d}{d+b}$+$\frac{d-b}{b+c}$+$\frac{b-c}{c+a}$+$\frac{c-a}{a+d}$\geq0
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[cry_with_me]

, 1 cách chứng minh của tớ
đưa bài về 1 vấn đề:

lập 2 biểu thức, 1 cái thông qua đề bài

$a.h_a = b.h_b = c.h_c = 2.S_{ABC}$

$a + h_a = b + h_b = c + h_c$

Xét đẳng thức $a + h_a = b + h_b$

Vì $h_b = \dfrac{a.h_a}{b}$

~> $a + h_a = b + \dfrac{a.h_a}{b}$

hay $h_a(b-a) = (b-a).b$

Nếu b khác a ~> $h_a = b$ tức là đường cao bằng một cạnh của tam giác . vì các cạnh của tam giác có vai trò như nhau nên điều này có thể xảy ra với bất kì cạnh nào. Nhưng lại không tồn tại 1 tam giác như vậy. Nên b=a
tương tự ta cm đc b=c

~> $\Delta{ABC}$ đều

 

[c2nghiahoalgbg]

Vì $h_b = \dfrac{a.h_a}{b}$

~> $a + h_a = b + \dfrac{a.h_a}{b}$

hay $h_a(b-a) = (b-a).b$

Bạn giải thích lại chỗ này hộ mình cái
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[tiendat102]

Chuyển sang phần đại số:
Bài 1: Cho [TEX]x,y,z \not= \ 0[/TEX] thỏa mãn x+y+z=xyz và [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt[2]{3}[/TEX]
Tính giá trị biểu thức : P=[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}[/TEX]

Bài 2: cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 ; [TEX]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0[/TEX]
CMR: [TEX]ax^2+by^2+cz^2=0[/TEX]

 

[cry_with_me]

từ biểu thức $a.h_a = b.h_b$

~> $h_b = \dfrac{a.h_a}{b}$

trở lại với đề bài ta có : $a + h_a = b + h_b$

thay $h_b=\dfrac{a.h_a}{b}$ ta được $a + h_a = b + \dfrac{a.h_a}{b}$

 

[eye_smile]

Bài 3 cho [TEX]f(x)[/TEX] là 1 đa thức với hệ số nguyên . Biết f(0); f(1) là các số lẻ. CMR: [TEX]f(x)[/TEX] không thể có nghiệm nguyên.

Mình sửa lại đề như trên
BL: Giả sử f(x) có nghiệm nguyên
-->Gọi nghiệm nguyên đó là y
-->f(x)=(x-y).g(x) ( g(x) là đa thức có các hệ số nguyên)
+/f(0)=-y.g(x) mà f(0) lẻ nên y lẻ
+/f(1)=(1-y).g(x) mà f(1) lẻ nên 1-y lẻ =>y-1 lẻ
-->Mâu thuẫn vì y và y-1 là 2 số nguyên liên tiếp nên ko thể cùng lẻ
-->Điều giả sử là vô lý
-->đpcm

 

[eye_smile]

Bài 2: cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 ; [TEX]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0[/TEX]
CMR: [TEX]ax^2+by^2+cz^2=0[/TEX]

Ta có: +/x+y+z=0
\Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - \left( {y + z} \right)} \\
{y = - \left( {x + z} \right)} \\
{z = - \left( {x + y} \right)} \\
\end{array}} \right.$
\Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} = {{\left( {y + z} \right)}^2}} \\
{{y^2} = {{\left( {x + z} \right)}^2}} \\
{{z^2} = {{\left( {x + y} \right)}^2}} \\
\end{array}} \right.$
+/a+b+c=0
\Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b + c = - a} \\
{a + b = - c} \\
{a + c = - b} \\
\end{array}} \right.$
+/$\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{ayz + bxz + cxy}}{{xyz}} = 0$
\Leftrightarrow $ayz + bxz + cxy = 0$
**Có :$a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}$
$ = a{\left( {y + z} \right)^2} + b{\left( {x + z} \right)^2} + c{\left( {x + y} \right)^2}$
$ = {x^2}\left( {b + c} \right) + {y^2}\left( {a + c} \right) + {z^2}\left( {a + b} \right) + 2\left( {ayz + bxz + cxy} \right)$
$ = - a{x^2} - b{y^2} - c{z^2}$
$ = - \left( {a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}} \right)$
\Rightarrow $a{x^2} + b{y^2} + c{z^2} = 0$

Bài 1: Cho [TEX]x,y,z \not= \ 0[/TEX] thỏa mãn x+y+z=xyz và [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt[2]{3}[/TEX]
Tính giá trị biểu thức : P=[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}[/TEX]

Ta có: ${\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} = \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + 2.\dfrac{{x + y + z}}{{xyz}}$
$ = \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + 2.1$
(do x+y+x=xyz)
$ = \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + 2$
$ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3$
\Rightarrow $\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = 3 - 2 = 1$

 

[c2nghiahoalgbg]

Nữa này
Câu 9:
Cho x,y>0 và x+y=0, Tìm GTNN của N=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
Câu 10:
Cho 0\leqa,b,c\leq1
CMR: $a^2+b^2+c^2$\leq$1+a^2b+b^2c+c^2a$
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[eye_smile]

Nữa này
Câu 9:
Cho x,y>0 và x+y=0, Tìm GTNN của N=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Đề bài sai hay sao ý?
N=$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{{x + y}}{{xy}} = \dfrac{0}{{xy}} = 0$