Thử thách 7: Chứng minh [tex] \forall m \in Z [/tex] thì [tex] m^3 - m [/tex] luôn chia hết cho 6.
Thử thách 8 (Đây là bài toán tổng hợp!!):
Cho đa thức [tex] A = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2 b^2 [/tex]
a) Phân tích A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác thì A < 0.
Thử thách 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) [tex] x^3 - 4x^2 + 8x + 8 [/tex]
b) [tex] 49(y-4)^2 - 9y^2 - 36y - 36 [/tex]
c) [tex] x^4 + 3x^3 + x + 3 [/tex]
d) [tex] (5x + 4a)^2 - (4x + 5a)^2 [/tex]
Thử thách 10: Tìm [tex] M_{max} [/tex] của [tex] M = \frac{1}{x^2 - 6x + 11} [/tex] ?
Thử thách 11:
Chứng minh rằng: Hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.
Thử thách 12 (Nguồn: Vòng 2 ViOlympic):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex] 3x^2 - 2010x - 2009 [/tex] ?
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: [tex] M = (x-1)(x+5)(x^2+4x+5) [/tex] ?
Thử thách 13 (Nguồn: Vòng 2 ViOlympic):
Tính giá trị:
[tex] (20^2 + 18^2 + 16^2 + ... + 4^2 + 2^2) - (19^2 + 17^2 + 15^2 + ... + 3^2 + 1^2) [/tex] ?
Thử thách 14 (Nguồn: Vòng 2 ViOlympic):
Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp sao cho tích hai số sau lớn hơn bình phương số đầu là 26?
thử thách 7: [TEX]m^3-m=m(m^2-1)=m(m-1)(m+1).[/TEX] m(m-1)(m-2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên vưà chia hết cho 2 vưà chi hết cho 3 nên chia hết choi BCNN cuả (2,3)=6(kthức lớp 6) \Rightarrow đpcm
Thử thách 8: a/[tex] A = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2 b^2=(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a-b+c) [/tex]
b/theo bdt tam giác ta có a+b>c \Rightarrow a+b-c>0. cũng theo bdt tam giác ta có |a-c|<b \Rightarrow b-|a-c|>0 \Rightarrow (a-b-c)<0. tương tự: a-b+c>0 \Rightarrow A là tích 3 số dương 1 số âm nên A là 1 số âm.\Rightarrow đpcm
Thử thách 9: A= [TEX]x^3 - 4x^2 + 8x + 8[/TEX]. \Rightarrow
bí 
B=[TEX]49(y-4)^2-9(y+2)^2=[7(y-4)+3(y+2)](7y-28-3y-6)=(10y-22)(4y-34)=4(5y-11)(2y-17)[/TEX]
C=[TEX]x^3(x+3)+(x+3)=(x+1)(x^2-x+1)(x+3)[/TEX]
D=(5x+4a+4x+5a)(5x+4a-4x-5a)=9(x+a)(x-a)
Thử thách 10: M max\Leftrightarrow mẫu max do tử là hằng số. [TEX]A=x^2 - 6x + 11=x^2-2.3x+9+2=(x-3)^2+2 \geq 2 \Rightarrow minA=2 \Rightarrow maxM=\frac{1}{2}[/TEX] "=" khi x=3.
Thử thách 11: Goị 2 số đó là 2k+1 và 2k+3. ta có [TEX](2k+1)^2-(2k+3)^2=(2k+1+2k+3)(2k+1-2k-3)=4(k+1).(-2)=-8(k+1)\Rightarrow dpcm[/TEX]
thử thách 12: [TEX]A=3x^2 - 2010x - 2009 \Rightarrow 3A= 9x^2-2.3.1005+1010025-6027-1010025 \Rightarrow 3A=(3x-1005)^2-1016052 \geq 1016052 \Rightarrow A \geq 338684[/TEX]. "=" KHI x=335. Giải ra đáp số lớn hok bít đúng hok
nếu sai chắc do làm ẩu
M=[TEX](x^2+4x-5)(x^2+4x+5)=(x^2+4x)^2-25 \geq -25.\Rightarrow minM=-25[/TEX]."=" khi x=0 hoặc x=-4
Bài lộn rùi bài này đâu có max
Thử thách 13: A=[TEX](20^2-19^2)+(18^2-17^2)+....+(2^2-1)=39+35+....+3[/TEX]
\Rightarrow A=\frac{(39+3).50}{10}=210
Thử thách 14: 3 đó là 2n+1,2n+3,2n+5 \Rightarrow (2n+5)(2n+3)-(2n+1)^2=26 \Rightarrow 4n^2+16n+15-4n^2-4n-1=26 \Rightarrow 12n=12 \Rightarrow n=1 \Rightarrow 3 số đó là 3,5,7.
