Toán Toán 8 ôn thi HSG

[Shin Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm T. trên đoạn BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua T. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AD. Biết EF//AC và ba điểm E, F, T thẳng hàng.
Cho CT vuông góc với BD, [tex]\frac{TD}{TB}=\frac{9}{16}[/tex] và CT=2,4. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật.
2. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/tex]. Tìm GTLN của biểu thức
[tex]\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}[/tex]
3. Giải phương trình [tex](x+1)^{2}(1+\frac{2}{x})^2+(1+\frac{1}{x})^{2}=8(1+\frac{2}{x})^2[/tex]
4. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 8[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức
[tex]S=2016ac-ab-bc[/tex]

 

[Trafalgar D Law]

1. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm T. trên đoạn BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua T. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AD. Biết EF//AC và ba điểm E, F, T thẳng hàng.
Cho CT vuông góc với BD, [tex]\frac{TD}{TB}=\frac{9}{16}[/tex] và CT=2,4. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật.
2. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/tex]. Tìm GTLN của biểu thức
[tex]\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}[/tex]
3. Giải phương trình [tex](x+1)^{2}(1+\frac{2}{x})^2+(1+\frac{1}{x})^{2}=8(1+\frac{2}{x})^2[/tex]
4. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 8[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức
[tex]S=2016ac-ab-bc[/tex]

3,
ĐKXĐ: x khác 0
PT [tex]\Leftrightarrow (x+1)^{2}(\frac{x+1+1}{x+1-1})^{2}+(\frac{x+1+1}{x+1-1})^{2}=8(\frac{x+1+1}{x+1-1})^{2}[/tex]
Đặt x+1=a (a khác 1)
[tex]\Leftrightarrow a^{2}.\frac{(a+1)^{2}}{(a-1)^{2}}+\frac{(a+1)^{2}}{(a-1)^{2}}=\frac{8(a+1)^{2}}{(a-1)^{2}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^{2}(a+1)^{2}+(a+1)^{2}-8(a+1)^{2}=0\Leftrightarrow a^{4}+2a^{3}-6a^{2}-16a-8=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+2)(a-2)(a^{2}+2a-2)=0[/tex]
Từ đây dễ rồi

 

[iceghost]

1. Đặt $\dfrac{TD}9 = \dfrac{TB}{16} = k \implies TD = 9k$ và $TB = 16k$ (với $k > 0$
Sử dụng cặp tam giác đồng dạng, bạn đi CM $TD \cdot TB = CT^2 = 2,4^2 = 5,76$
Hay $9k \cdot 16k = 5,76 \implies k = 0,2$ (do $k > 0$)
Khi đó $TD = 1,8$ và $TB = 3,2$. Áp dụng định lý Pytago ...

3. Dễ thấy $x \ne 0$. Nhân $x^2 \ne 0$ vào hai vế pt ta được
$(x+1)^2(x + 2)^2 + (x+1)^2 = 8(x+2)^2$
$\iff x^4 + 6x^3 + 6x^2 + 18x + 27 = 0$
$\iff (x+3)^2(x^2 -3) = 0$
Giải bình thường

4. $S = (1008a^2 + 2016ac + 1008c^2) - b(a+c) - 1008(a^2+c^2)$
$= 1008(a+c)^2 - 1008 \cdot 2 \cdot (a+c) \cdot \dfrac{b}{2016} + 1008 \cdot \dfrac{b^2}{2016^2} - 1008(a^2+c^2) - 1008 \cdot \dfrac{b^2}{2016^2}$
$= 1008(a + c - \dfrac{b}{2016})^2 - 1008(a^2+c^2) - 1008 \cdot \dfrac{b^2}{2016^2}$
$\geqslant 0 - 1008(8-b^2) - 1008 \cdot \dfrac{b^2}{2016^2}$
$= - 8064 + (1008 - 1008 \cdot \dfrac1{2016^2})b^2$
$\geqslant -8064$
Vậy $S_\text{min} = -8064$ tại $a = - c =\pm 2$ và $b = 0$

 

[Shin Nguyễn]

Giúp mình thêm mấy bài hình này nữa ạ.
1. Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 4cm. Hai điểm D và E lần lượt nằm trên các cạnh AC và AB sao cho AD=2DC, AE=2EB và BD, CE vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Cho hình vuông ABCD. Điểm P thay đổi trên đường chéo BD (P khác B và D). Gọi Q, R lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB và AD.
a) Chứng minh ba đường thẳng BR, DQ, CP đồng quy.
b) Xác định vị trí điểm P để diện tích AQPR lớn nhất
3. Cho tứ giác ABCD. Qua trung điểm M của đường chéo BD dựng đường thẳng song song với AC, cắt AD tại E. Chứng minh CE chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

 

[Shin Nguyễn]

Giúp mình bài số này với ạ
1. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng số đó chia cho 51 dư 17 và chia cho 101 dư 22

 

[Shin Nguyễn]

Giúp mình 2 phần này ạ, mai mình nộp rồi.
1.
a) Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+2}{a+b})^{2}=4[/tex].
Chứng minh ab+2 viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức hữu tỉ.
b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn xz=y^2 và [tex]x^{2}+z^{2}+99=7y^{2}[/tex]
@Viet Hung 99 @Ma Long

 

[Ma Long]

Giúp mình 2 phần này ạ, mai mình nộp rồi.
1.
a) Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+2}{a+b})^{2}=4[/tex].
Chứng minh ab+2 viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức hữu tỉ.
b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn xz=y^2 và [tex]x^{2}+z^{2}+99=7y^{2}[/tex]
@Viet Hung 99 @Ma Long

Giải:
a,
[tex]a^{2}+b^{2}+(\dfrac{ab+2}{a+b})^{2}=4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+b)^2-2ab-4+(\dfrac{ab+2}{a+b})^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+b)^2-2(a+b)(\dfrac{ab+2}{a+b})+(\dfrac{ab+2}{a+b})^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow ((a+b)-\dfrac{ab+2}{a+b})^2=0\Leftrightarrow ab+2=(a+b)^2dpcm[/tex]
b,
[tex]x^{2}+z^{2}+99=7y^{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+z)^2-2xz+99=7y^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 9y^2-(x+z)^2=99[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (3y-x-z)(3y+x+z)=99[/tex]
Ta có:
[tex]3y+x+z-(3y-x-z)=6y\geq 6[/tex]
99=1.99=3.33
[tex]\left\{\begin{matrix} 3y-x-z=3\\3y+x+z=33 \\xz=y^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x,y,z)=(3,6,12);(12,6,3)[/tex]

 

[Lạp Hộ]

1. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm T. trên đoạn BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua T. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AD. Biết EF//AC và ba điểm E, F, T thẳng hàng.
Cho CT vuông góc với BD, [tex]\frac{TD}{TB}=\frac{9}{16}[/tex] và CT=2,4. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật.
2. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/tex]. Tìm GTLN của biểu thức
[tex]\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}[/tex]
3. Giải phương trình [tex](x+1)^{2}(1+\frac{2}{x})^2+(1+\frac{1}{x})^{2}=8(1+\frac{2}{x})^2[/tex]
4. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 8[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức
[tex]S=2016ac-ab-bc[/tex]

cái bài 2 hình như giống với câu 9 đề thi đại học năm 2014.... bạn xem lại có gõ nhầm chỗ nào không nhé http://luyenthidaminh.vn/news/de-thi-dai-hoc-mon-toan/De-va-Dap-an-thi-Dai-hoc-mon-Toan-khoi-A-A1-nam-2014-657.html

 

[Shin Nguyễn]

cái bài 2 hình như giống với câu 9 đề thi đại học năm 2014.... bạn xem lại có gõ nhầm chỗ nào không nhé http://luyenthidaminh.vn/news/de-thi-dai-hoc-mon-toan/De-va-Dap-an-thi-Dai-hoc-mon-Toan-khoi-A-A1-nam-2014-657.html

Mình xem lại đề và thấy không gõ nhầm ạ. Thầy giáo mình cũng phát đáp án rồi ạ :">
Mọi người xem hướng dẫn dùm mình mấy bài này nốt ạ
1. Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu [tex]x^{2}-yz=a; y^{2}-zx=b; z^{2}-xy=c[/tex] thì tổng ax+by+cz chia hết cho a+b+c
2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N sao cho [tex]\widehat{MAN}=45^{\circ}[/tex]. Chứng minh chu vi tam giác MCN không đổi.

 

[Ma Long]

1. Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu [tex]x^{2}-yz=a; y^{2}-zx=b; z^{2}-xy=c[/tex] thì tổng ax+by+cz chia hết cho a+b+c

Giải:
Ta có:
$ax+by+cz=x^3+y^3+z^3-3xyz$
$a+b+c=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$
Lại có đẳng thức:
[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]
Suy ra dpcm.

2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N sao cho [tex]\widehat{MAN}=45^{\circ}[/tex]. Chứng minh chu vi tam giác MCN không đổi.

Giải:
Bài này cũng hay ra phết nhỉ.
Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt CD tại F
Tam giác ABM=ADF(g.c.g)
Suy ra BM=DF
- Tam giác AMF cân tại A có AN là phân giác
Suy ra AB là đường trung trực của MF
NM=NF
[tex]P_{CMN}=CM+CN+NM=CM+CN+NF=CM+CN+ND+DF=CM+BM+CN+DN=BC+CD[/tex]
dpcm.

 

[Lạp Hộ]

Mình xem lại đề và thấy không gõ nhầm ạ. Thầy giáo mình cũng phát đáp án rồi ạ :">
Mọi người xem hướng dẫn dùm mình mấy bài này nốt ạ
1. Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu [tex]x^{2}-yz=a; y^{2}-zx=b; z^{2}-xy=c[/tex] thì tổng ax+by+cz chia hết cho a+b+c
2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N sao cho [tex]\widehat{MAN}=45^{\circ}[/tex]. Chứng minh chu vi tam giác MCN không đổi.

vậy cách giải như thế nào cậu

 

[Shin Nguyễn]

vậy cách giải như thế nào cậu

Gợi ý sơ lược nhé cậu
+) Chứng minh
[tex]\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\leq \frac{x}{z+y+x+1}[/tex]
Thật vậy:
+ x= 0 đúng
+ x>0, ta cần chứng minh
[tex]x(z+y+x+1)\leq x^{2}+yz+x+1 \Leftrightarrow xz+xy\leq yz+1 \Leftrightarrow 2xz+2xy\leq 2yz+2 \Leftrightarrow 2xz+2xy-2yz-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 0 \Leftrightarrow -(x-y-z)^{2}\leq 0 \Rightarrow M\leq \frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}= 1- \frac{1}{x+y+z+z}+\frac{1}{xyz+3}=1-\frac{xyz+2-(x+y+z)}{(x+y+z+1)(xyz+3)}[/tex]
+ Chứng minh [tex]xyz+2\geq x+y+z[/tex]
Ta có [tex]2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2}\geq 2yz \Rightarrow yz\leq 1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi yz=1, x=0
Mặt khác [tex](x+y+z-xyz)^{2}=[x(1-yz)+y+z]^{2}\leq [x^2+(y+z)^{2}][(1-yz)^{2}+1]=(2+2yz)(y^{2}z^{2}-2yz+2)=4+2y^{2}z^{2}(yz-1)\leq 4 \Rightarrow -2\leq x+y+z-xyz\leq 2 \Rightarrow x+y+z\leq xyz+2[/tex]
Do đó [tex]M\leq 1[/tex] => max M=1 khi x=0, y=z=1

Bài này cũng hay ra phết nhỉ.
Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt CD tại F
Tam giác ABM=ADF(g.c.g)
Suy ra BM=DF
- Tam giác AMF cân tại A có AN là phân giác
Suy ra AB là đường trung trực của MF
NM=NF
[tex]P_{CMN}=CM+CN+NM=CM+CN+NF=CM+CN+ND+DF=CM+BM+CN+DN=BC+CD[/tex]
dpcm.

Nếu kẻ NE vuông góc với AM, MK vuông góc với AN. Chứng minh B, E, K, D thẳng hàng.
Mình làm được B, K, D thẳng hàng nhờ trung trực nhưng không biết chứng minh điểm E kiểu gì

 

[Ma Long]

Nếu kẻ NE vuông góc với AM, MK vuông góc với AN. Chứng minh B, E, K, D thẳng hàng.
Mình làm được B, K, D thẳng hàng nhờ trung trực nhưng không biết chứng minh điểm E kiểu gì

2 điểm K,E có vai trò giống nhau mà, bạn chứng minh E tương tự K là được.