Toán 8 [Toán 8] Một số bài toán về đường trung bình

[babyghetanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho tam giác ABC(AB<AC)có đường cao AH.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB.
a)C/m NP là đường trung trực của đoạn AH
b)C/m tứ giác MNPH là hình thang cân.
2)Cho tam giác ABC có chu vi 20cm.Gọi O là một điểm nằm trong tam giác;D,E,F lần lượt là trung điểm của OA;OB;OC.Tính chu vi tam giác DEF.
3)Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến.Gọi I là trung điểm của AM,gọi D là giao điểm của BI à AC.
a)C/m AD=1/2.DC
b)So sánh độ dài BD và ID.
Các bạn làm đi,xong mình sẽ lên vài bài nữa cho.Cố lên!

 

[ngocanh_181]

1)Cho tam giác ABC(AB<AC)có đường cao AH.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB.
a)C/m NP là đường trung trực của đoạn AH
b)C/m tứ giác MNPH là hình thang cân.
2)Cho tam giác ABC có chu vi 20cm.Gọi O là một điểm nằm trong tam giác;D,E,F lần lượt là trung điểm của OA;OB;OC.Tính chu vi tam giác DEF.
3)Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến.Gọi I là trung điểm của AM,gọi D là giao điểm của BI à AC.
a)C/m AD=1/2.DC
b)So sánh độ dài BD và ID.
Các bạn làm đi,xong mình sẽ lên vài bài nữa cho.Cố lên!

Ta có : AP = PB ; AN =NC \Rightarrow Pn là đường trung bình tg ABC
\Rightarrow PN song song BC
Mà Bc Vuông góc với AH
\Rightarrow PN vuông góc AH.(1)
Mặt # : Gọi I là giao điểm của AH và PN
Tg AHC có : NI song song HC (I thuộc PN ) ; AN = CN
\Rightarrow AI = IH (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow NP là đường trung trực của đoạn AH

 

[ngocanh_181]

1)Cho tam giác ABC(AB<AC)có đường cao AH.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB.
a)C/m NP là đường trung trực của đoạn AH
b)C/m tứ giác MNPH là hình thang cân.
2)Cho tam giác ABC có chu vi 20cm.Gọi O là một điểm nằm trong tam giác;D,E,F lần lượt là trung điểm của OA;OB;OC.Tính chu vi tam giác DEF.
3)Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến.Gọi I là trung điểm của AM,gọi D là giao điểm của BI à AC.
a)C/m AD=1/2.DC
b)So sánh độ dài BD và ID.
Các bạn làm đi,xong mình sẽ lên vài bài nữa cho.Cố lên!

Bài 2
Gọi E là Trung điểm của DC.Nối M với E
Ta có :
Tg BDC có: BM = MC ; DE = CE \Rightarrow ME song song BD
Vì I thuộc BD \Rightarrow ID song song ME.
Tg AEM có : AI = IM ; ID song song ME
\Rightarrow AD = DE
MÀ DE = EC \Rightarrow AD = 1/2DC :-SS

 

[babyghetanh]

Còn nữa nè!

4)Cho tam giác ABC,điểm D thuộc tia đối BA sao cho BD=BA,điểm M là trung điểm của BC.Gôi K là giao điểm của DM và AC.C/m :AK=2KC.
5)Cho tam giác ABC.Trên tia đối của tia BC lấy diieerm D sao cho BD=BA.Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CA.Kẻ BH vuông góc AD,CK vuông góc AE.
C/m:HK//BC

 

[linhhuyenvuong]

Tớ làm bài 4 nha
Từ B kẻ đường thẳng song song vs DK cắt AC tại N
Có MK là đường trung bình của tam giác NBC (BN song song vs MK và M là trung điểm BC)suy ra K là trung điểm NC hayNK=KC(**1)
Có BN là đường trung bình của tam giác AKD (Bn song song vs DK và B là trung điểm AD) suy ra N là trung điểm AK hay AN=KC (**2)
Từ (**1)(**2) suy ra AK=2KC

 

[linhhuyenvuong]

Bài 5 khá dễ
Do AB=AD suy ra tam giác ABD cân suy ra BH là đường trung tuyến của tam giác ABD hay DH=AH
Do AC=AE suy ra tam giác ACE cân suy ra CK là đường trung tuyến của tam giác ACE hay AK=KE
Suy ra KH là đường trung bình của tam giác ADE suy ra HK song song vs DE
Vậy Hk song song vs BC(đpcm)

 

[linhhuyenvuong]

Tiếp tục bài 2 nha
Có DE là đường trung bình của tam giác AOB suy ra DE=1/2 AB(1)
DF là đường trung bình của tam giác AOC suy ra DF=1/2 AC(2)
EF là đường trung bình của tam giác BOC suy ra EF=1/2 BC(3)
Cộng theo vế (1)(2)(3) được DE+DF+EF=1/2(AB+AC+BC)=10 cm
Vậy chu vi tam giác DEF =10 cm

 

[linhhuyenvuong]

Làm tiếp bài 3
a, Gọi K là trung điểm của DC hay DK=KC(1)
MK là đường trung bình của tam giác BDC suy ra MK song song vs BD hay MK song song vs ID
ID là đường trung bình của tam giác AMK do I là trung điểm AM và ID song song vs MK suy ra D là trung điểm AK hay AD=DK(2)
Từ(1)(2) suy ra 2AD=DC

 

[babyghetanh]

Bạn làm đúng rùi đó!còn nữa nè,làm tiếp nha!
6)Cho tam giác ABC.Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD=DE=EB..Trên cạnh AC lấy một điiểm M và N sao cho AM=MN=NC.
a)C/m DM//EN
b)C/m BC//EN
c)Cho pik DM=6cm.Tính các độ dài EN,BC.

 

[linhhuyenvuong]

Tiếp câu b bài 3 nha:
Từ ID là đường trung bình của tgAMK suy ra ID=MK/2
Từ MK là đường trung bình của tg BDC suy ra MK=BD/2
Vậy ID=BD/4
Tớ mệt lắm rùi

 

[linhhuyenvuong]

bài 6
a,DM là đường trung bình của tg AEN suy ra DM song song vs EN
b, EN là đường trung bình của hình thang DMCB suy ra EN song song vs BC
c,Từ DM=6cm suy ra EN= 12cm
BC+DM/2=EN=12 suy ra BC+DM=24cm
BC=24-6=18cm

 

[ngocanh_181]

Bạn làm đúng rùi đó!còn nữa nè,làm tiếp nha!
6)Cho tam giác ABC.Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD=DE=EB..Trên cạnh AC lấy một điiểm M và N sao cho AM=MN=NC.
a)C/m DM//EN
b)C/m BC//EN
c)Cho pik DM=6cm.Tính các độ dài EN,BC.

6a, Tg AEM có : AD = DE; AM = MN \Rightarrow DM là đường trung bình tg AEN
\Rightarrow DM // EN
b, Hình thang DMCB có DE = EB; MN = NC \Rightarrow EN là đường trung hình thang DMCB
\Rightarrow EN // BC
c, - Vì DM là dtb tg AEN \Rightarrow DM = 1/2EN \Leftrightarrow 2DM = En =12cm
- VÌ EN là dtb hình thang DMCB \Rightarrow EN =1/2(BC + DM) \Leftrightarrow 2EN = BC + DM =>EN = 36/2 = 18cm :-SS

 

[barbie_girl_1996]

Bạn làm đúng rùi đó!còn nữa nè,làm tiếp nha!
6)Cho tam giác ABC.Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD=DE=EB..Trên cạnh AC lấy một điiểm M và N sao cho AM=MN=NC.
a)C/m DM//EN
b)C/m BC//EN
c)Cho pik DM=6cm.Tính các độ dài EN,BC.

a) Xét tam giác AEN có: D là trung điểm của AE
M là trung điểm của AN
\RightarrowDM là đường trung bình của tam gjác AEN \Rightarrow DM//EN

b) Ta sẽ chứng minh được [TEX]{\frac{AE}{AB}[/TEX] = [TEX]{\frac{AN}{AC}[/TEX] = [TEX]{\frac{2}{3}[/TEX]
\Rightarrow EN//BC
c) Vì DM là đường trung bình của tam gjác AEN \Rightarrow DM//EN và DM = [TEX]{\frac{1}{2}[/TEX]. EN
Thay DM = 6cm \Rightarrow EN = 12 cm
Vì EN//BC và ta có các tỉ lệ [TEX]{\frac{AE}{AB}[/TEX] = [TEX]{\frac{AN}{AC}[/TEX] = [TEX]{\frac{2}{3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]{\frac{EN}{BC}[/TEX] = [TEX]{\frac{2}{3}[/TEX]
Thay EN = 12 \Rightarrow BC = [TEX]{\frac{12.3}{2}[/TEX] = 18cm

 

[linhhuyenvuong]

Tiếp tục
Cho tam giác ABC trọng tâm G
a,Vẽ đường thẳng d qua G cắt AB,AC .Gọi D,E,F là hình chiếu của A,B,C trên d.tìm liên hệ giữa độ dài AD,BE,CF.
b,Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G` là hình chiếu của G trên d thì độ dài AD,BE,Cf có liên hệ gì?

 

[thienlong_cuong]

Tiếp tục
Cho tam giác ABC trọng tâm G
a,Vẽ đường thẳng d qua G cắt AB,AC .Gọi D,E,F là hình chiếu của A,B,C trên d.tìm liên hệ giữa độ dài AD,BE,CF.
b,Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G` là hình chiếu của G trên d thì độ dài AD,BE,Cf có liên hệ gì?

________________________________________________________________
dễ quá !
Ta có : AG \bigcap_{}^{} BC tại M
Vẽ MN vuông góc với EF
Dễ dàng c/m NM là đường trung bình của hình thang BEFC
=> NM = ( EB+FC) /2
Tam giác ADG ~ tam giác MNG
=> AD/NM = DG/GN = AG/GM = 2
=> NM = AD/2
Từ hai hàng chữ đỏ
=> AD = EB + FC
b)
Gọi giao điểm của BG với AC là I .Vẽ IH vuông với d (H thuộc d)
Gọi trung điểm của BG là P , vẽ PK vuông với d ( K thuộc d )

Có :
GG' là đường trung bình của hình thang PKHI
=> GG' = (PK+ HI )/2 ______(*1)
Mặt khác PK là đường trung bình của hình thang BEG'G
=> PK = (BE + GG')/2 ______(*2)
Tương tự HI là đường trung bình của hình thang ADFC
=> HI = ( AD + CF )/2 ______(*3)
Từ (*1)(*2)(*3)
=> GG' = (BE + GG' + AD + CF) /4
Hay 4.GG' = BE + GG' + AD + CF
=> 3.GG' = BE + AD + CF
_________________________________________________________
có bài nào nữa không ???!post lên đi !

 

[linhhuyenvuong]

Dễ rùi đến khó nha
1,trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N sao cho M nằm giữa A và N.Vẽ các tam giac đều AMD,MNE,BNF, về 1 phía của AB.Gọi G là trọng tâm của tam giác DÈ.c/m khoảng cách từ G đến AB ko phụ thuộc vào vị trí điểm M,N trên AB

 

[thienlong_cuong]

Dễ rùi đến khó nha

1,trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N sao cho M nằm giữa A và N.Vẽ các tam giac đều AMD,MNE,BNF, về 1 phía của AB.Gọi G là trọng tâm của tam giác DÈ.c/m khoảng cách từ G đến AB ko phụ thuộc vào vị trí điểm M,N trên AB

___________________________________________________________
Bài này cũng chẳng khó ! Chỉ là 1 bài biến thể nhỏ của bài 1 mà bà post lên !
Ta có :
Xem như tam giác EDF như là tam giác ABC
Vẽ DH ; EK ; FI ; GG' vuông góc với AB ( H ; K ; I ; G' thuộc AB)
Theo như bài c/m trước đó thì ta có
3GG' = DH + EK + FI

Trong tam giác vuông DH^2 + MH^2 = DM^2
Hay DH^2 + (1/2.AM)^2 = DM^2 mà DM = AM
=> DH^2 + 1/4.AM^2 = AM^2
=> DH^2 = 3/4 .AM^2
=> DH = (căn 3)/2 .AM_________(*1)
C/m tương tự có :
EK = (căn 3)/2 .MN ___________(*2)
FI = (căn 3)/2 .NB ____________(*3)
Từ (*1)(*2)(*3)
=> DH + EK + FI = ( căn 3)/2 . AB
=> GG' = AB / [(căn 3) .2]

Hình như là như thế thì phải ! Cũng không biết đúng hay sai nữa ! Ai biết sai chỗ nào thì chỉ ra giùm nha !
Hoặc Gọi giao của AD và BF là Q
c/m 3GG' = đường cao của tam giác đều ABQ !

 

[haithocbq]

Bạn làm đúng rùi đó!còn nữa nè,làm tiếp nha!
6)Cho tam giác ABC.Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD=DE=EB..Trên cạnh AC lấy một điiểm M và N sao cho AM=MN=NC.
a)C/m DM//EN
b)C/m BC//EN
c)Cho pik DM=6cm.Tính các độ dài EN,BC.

a) có: AD = DE; AM = MN
\Rightarrow DM là trung bình của tam giác ANE
\Rightarrow DM song song với EN.
DM = 1/2EN(t/c)
b) Trên tia đối của tia AE lấy điểm H sao cho AE = EH.
Trên tia đối của tia AN lấy điểm K sao cho AN = KN.
\Rightarrow EN là trung bình của tam giác AHK.
\Rightarrow EN song song với HK (t/c)
EN = 1/2 HK
\Rightarrow ENHK là hình thang.
Có AE = EK; ED = EA = EB
\Rightarrow ED = AD = EB = BH. Hay B là trung điểm của EH.
tương tự như trên, ta chứng minh được C là trung điểm của AK.
\Rightarrow BC là trung bình của hình thang ENHK.
\Rightarrow BC song song với EN (t/c). BC = (EN + HK)/2
c) DM = 6cm\Rightarrow EN = 12cm (DM = 1/2EN cmt)
\Rightarrow HK = 24cm( EN = 1/2HK cmt)
\Rightarrow BC = (EN + HK)/2 = (12 + 24)/2 = 18cm
Vậy EN = 12cm. BC = 18cm.



Thanks mình nha.

 

[linhhuyenvuong]

1,Ở miền ngoài của tgABC,dựng tg đều ABD,BCE.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AC, BD ,BE.c/m tg MNP đều
2, Cho tg ABC.Dựng tg vuông cân ABD(vuông ở A,D cùng thuộc 1 nửa mặt phẳng có bờ là AB),dựng tg vuông cân AEC(vuông ở A, E và B cùng thuộc 1 nửa mặt phẳng có bờ là AC).K,I,M lần lượt là trung điểm của EC,BD,BC.c/m tg KMI vuông cân

 

[thienlong_cuong]

Xử bài 1 trước !
Bài `1 :
Lấy I là trung điểm AB ; E là trung điểm của BC
Có IN là đường trung bình của tam giác đều DAB
=> IN = 1/2.AD = 1/2.AB (*1)
Tuong tự có PE là đường trung bình của tam giác đều BCE
=> PE = 1/2.CE = 1/2.BC (*2)
Mặt khác ta lại có :
IM là đường trung bình cuả tam giác ABC
=> IM // BC và IM = 1/2.BC (*3)
ME là đường trung bình của tam giác ABC
=> ME // AB và ME = 1/2.AB (*4)
Từ (*1)(*4)
=> IN = ME
Từ (*2)(*3)
=> IM = PE
Tứ giác BIME có BI // ME ; IM // BE
=> góc BIM = góc BEM ________ (**1)
Mặt khác dễ dàng c/m :
NIB = 60* ( đồng vị với góc DAB = 60* ) ____(**2)
BEP = 60* ( đồng vị với góc BCE = 60* )_______(**3)
Từ (**1)(**2)(**3)
=> góc NIB + góc BIM = Góc BEP + góc BEM
hay 60* + BIM = 60* + BEM__________(***1)
Hay góc NIM = góc MEP
Từ những chữ màu xanh
=> Tam giác NIM = tam giác MEP ( c.g.c )
=> NM = MP
Quên ! Còn cái tam giác NBP nữa chứ !
NB = NI = ME ( c/m quá dế )
BP = IM = EP ( ko c/m được chớ học toán nữa )
Góc NBP = 360* - 60* - 60* - ABC
góc NBP = 240* - ( 180* - BAC - ACB )
Góc NBP = 60* + BAC + ACB
Mà góc AMI = ACB ( đồng vị )
=> góc NBP = 60* + ( BAC + AMI ) = 60* + BIM ______(***2)
Từ (***1)(***2)
=> góc NBP = góc NIM = góc MEP
Đến đây thì có 3 tam giác NIM = tam giác MEP = tam giác NBP (c.g.c)
=> NM = MP = NP => Tam giác NMP đều ( đpcm)
Sao làm đúng không thanks thế hả chị dậu !