[Toán 8] Hằng đẳng thức thú vị.

[hocmai_toanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với mọi số thực a, b, c, ta có :
(a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca)
= a(a + b + c) + bc (*).
Với mình, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta có ngay :
Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì
a2 + 1 = (a + b)(a + c).
Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì
a + bc = (a + b)(a + c).
Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên.


Bài1:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức .

Bài2:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1. Chứng minh rằng :

Bài3:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :

Bài4:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :

Từng đó đã nhé:

 

[pekuku]

bài 1
ta có[TEX] 1+a^2=ab+bc+ca+a^2=(a+b)(a+c)[/TEX]
[TEX]1+b^2=ac+bc+ca+b^2=(b+a)(b+c)[/TEX]
[TEX]1+c^2=ab+bc+ca+c^2=(c+a)(c+b)[/TEX]
thay vào
ok

 

[pekuku]

Bài2:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1. Chứng minh rằng :

sử dụng cosi cho a(a+b+c) và bc
[TEX]1=(a+b)(a+c)=a(a+b+c)+bc\geq2\sqrt{a(a+b+c)bc}=2 \sqrt{abc(a+b+c)}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\sqrt{abc(a+b+c)}\leq\frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]abc(a+b+c)\leq\frac{1}{4}[/TEX]
b)cosi tiếp !!
[TEX]1=(a+b)(a+c)=a^2+(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]=a^2+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\geq3 \sqrt[3]{\frac{a^2(ac+bc+ca)^2}{4}}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{a^2(ac+bc+ca)^2}{4}\leq\frac{1}{27}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a(ab+bc+ca)\leq\sqrt{\frac{4}{27}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}[/TEX]
thanks nhá

 

[pekuku]

Bài3:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :

[TEX]\sqrt{a^4+a^2}=\sqrt{a^2(a^2+1)}=\sqrt{a^2(a+b)(a+c)}=\sqrt{(a^2+ab)(a^2+ac)}[/TEX]
dùng co si
[TEX]\sqrt{(a^2+ab)(a^2+ac)}\leq\frac{2a^2+ab+ac}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\sqrt{a^4+a^2}\leq\frac{2a^2+ab+ac}{2}[/TEX]
làm tươn tự rùi cộng lại là ra cái kếy quả liền

 

[pekuku]

Bài4:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :

cái nì dùng bunhiakopsky có vẻ được
[TEX]a+bc=(a+b)(a+c)\geq(a+\sqrt{bc})^2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\sqrt{a+bc}\geq a+\sqrt{bc}[/TEX]
làm tương tự
cộng lại tiếp ^^
thanks đó nha

 

[hocmai_toanhoc]

Bài 3:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :

Bài này để mình

Theo hệ quả 1 ta có :

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương [TEX]a^2[/TEX] + ab ; [TEX]a^2[/TEX] + ac :

Tương tự ta có :

Từ các kết quả trên ta suy ra :