[Toán 8]Chuyên đề về phương trình nghiệm nguyên, nghiệm nguyên dương

[haibara4869]

Re

Sau đây là 3 bài trong cái đề thi HSG huyện tớ (2 bài chuối vô cùng)
1. [TEX]x^2 + 5x = 0[/TEX]
2. [TEX]\frac{2}{x+5} + \frac{x}{x-5} = 5[/TEX] (thế này thì phải không nhớ >- )
3. Khó nè (cải biên từ một bài cực trị)
Tìm nghiệm dương của hệ PT sau:
[TEX]\left{\begin{a+\frac{1}{b} \leq 1}\\{\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{17}{4}} [/TEX]

 

[daovuquang]

Bài 1. Nhường cho các bạn khác...
Bài 2. Biến đổi tương đương 1 hồi sẽ ra pt bậc 2, rồi từ đó mà giải.
Bài 3 quen nhỉ.
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số, ta có: [tex]1\geq a+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a}{b}\leq\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{b}{a}\geq 4.[/tex]
Khi đó: [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=(\frac{a}{b}+\frac{b}{16a})+\frac{15b}{16a}\geq\frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}.[/tex]
Dấu $"="$ xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}; b=2.[/tex]
Vậy [tex](a;b)=(\frac{1}{2},2)[/tex]

 

[haibara4869]

@ daovuquang: tại sao 2 nghiệm $a = \frac{1}{2}$ và [TEX]b = 2[/TEX] lại bị loại ???
Yêu cầu bài ra là nghiệm dương chứ có nói nguyên đâu. (hơi lộn pic)




Bài tập thêm nha: Giải PT nghiệm nguyên sau:
1. $4x^2+2xy+4x+y+3=0$
2. [TEX]3x^2+4y^2+6x+3y-4=0[/TEX]

 

[vansang02121998]

$3x^2+4y^2+6x+3y-4=0$

$\Leftrightarrow 48x^2+64y^2+96x+48y-64=0$

$\Leftrightarrow (48x^2+96x+48)+(64y^2+48y+9)-121=0$

$\Leftrightarrow 48(x^2+2x+1)+(8y+3)^2=121$

$\Leftrightarrow 48(x+1)^2=121-(8y+3)^2$

$\Rightarrow 48(x+1)^2 \leq 121$

$\Rightarrow (x+1)^2 \leq 2$

$\Rightarrow -2 \leq x+1 \leq 2$

$\Rightarrow -3 \leq x \leq 1$

Xét các trường hợp và được kết quả là

$(x;y)=(-1;1)$

 

[vansang02121998]

$4x^2+2xy+4x+y+3=0$

$\Leftrightarrow 16x^2+8xy+16x+4y+12=0$

$\Leftrightarrow (16x^2+8xy+16x)+4y+12=0$

$\Leftrightarrow [16x^2+8x(y+2)+(y+2)^2]-(y+2)^2+4y+12=0$

$\Leftrightarrow (4x+y+2)^2-y^2-4y-4+4y+12=0$

$\Leftrightarrow (4x+y+2)^2-y^2+8=0$

$\Leftrightarrow (4x+y+2+y)(4x+y+2-y)=-8$

$\Leftrightarrow (4x+2y+2)(4x+2)=-8$

$\Leftrightarrow (2x+y+1)(2x+1)=-2$

Xét các trường hợp và được kết quả là

$(x;y)=(-1;3);(0;-3)$

 

[harrypham]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$4x^4+2(x^2+y^2)^2+xy(x+y)^2=132$$

 

[haibara4869]

Mình có 2 bài này khá hay các mem giải thử cái nha (2 bài này nằm trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của trường THPT chuyên Đại học Vinh - Nghệ An)
1. Giải PT nghiệm nguyên dương: [TEX](p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)=48pqr[/TEX]
2. Giải hệ PT nghiệm nguyên sau: (khó hơn bài 1 thì phải )
[TEX]\left{\begin{20(x+y)=9xy}\\{30(y+z)=11yz}\\{12(z+x)=5zx} [/TEX]

 

[haibara4869]

Giải phương trình nghiệm nguyên [TEX]4x^4+2(x^2+y^2)^2+xy(x+y)^2=132[/TEX]

Có trong pic đây nè bạn bài này nó ở page 3 ấy nha

[TEX]10. 4x^4+2(x^2+y^2)^2+xy(x+y)^2=132[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 6x^4+x^3y+6x^2y^2+xy^3+2y^4=132[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x^2+xy+y^2)(3x^2-xy+2y^2)=132[/TEX]
Đến đây lại xét các trường hợp (không nghĩ được cách nào hay hơn ). Kết quả: [TEX](x;y)=(2;1);(-2;-1)[/TEX]

 

[haibara4869]

Mình có 2 bài này khá hay các mem giải thử cái nha (2 bài này nằm trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của trường THPT chuyên Đại học Vinh - Nghệ An)
1. Giải PT nghiệm nguyên dương: [TEX](p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)=48pqr[/TEX]
2. Giải hệ PT nghiệm nguyên sau: (khó hơn bài 1 thì phải )
[TEX]\left{\begin{20(x+y)=9xy}\\{30(y+z)=11yz}\\{12(z+x)=5zx} [/TEX]

Thấy không có ai làm nên mình post lời giải của bài 1 lên nha (bài 2 mình vẫn chưa làm ra)
Ta có: Áp dụng bđt Cauchy cho các số dương ta có:
[TEX]p^2+1 \geq 2p[/TEX] (1)
[TEX]q^2+4 \geq 4q[/TEX] (2)
[TEX]r^2+9 \geq 6r[/TEX] (3)
Nhân 3 bđt (1), (2), (3) ta có:
[TEX](p^2+1)(q^2+4)(r^2+9) \geq 48pqr[/TEX]
Để đẳng thức xảy ra thì dấu [TEX]"="[/TEX] phải xảy ra ở (1), (2), (3)
Khi đó [TEX]p^2=1 ; q^2=4 ; r^2=9[/TEX] và các số [TEX]p, q, r[/TEX] là các số dương \Leftrightarrow [TEX]p=1 ; q=2 ; r=3[/TEX]
Vậy ..............................

P.S: Nếu thấy đúng thì thanks. Nếu thấy sai thì còm mém trên pic luôn nha

 

[haibara4869]

Mấy hôm nay ngồi rảnh nên tìm được mấy bài khá hay các mem cùng giải nha
Giải PT nghiệm nguyên:
1. [TEX]2(y+z)=x(xy-1)[/TEX]
2. [TEX]x^2 + xy +y^2 = x^2y^2[/TEX]
3. [TEX]2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy[/TEX]
4. [TEX]x^2+y^2+z^2+x+3y+5z+7=0[/TEX]
5. $5x + 25 = - 3xy + 8y^2$

 

[haibara4869]

Re

Các mem nhớ làm thử mấy bài trên nha
Bài học tiếp nè (lâu quá không post lên bài nào)

Bài 9: Tìm điều kiện đề PT có nghiệm nguyên​

VD: Tìm các số thực a để các nghiệm của PT sau đều là số nguyên:
[TEX]x^2 - ax + (a + 2) = 0[/TEX] (*)
Giải
Gọi [TEX]x_1, x_2[/TEX] là các nghiệm nguyên của (*). Theo định lý Viét:
[TEX]\left{\begin{x_1+x_2=a}\\{x_1x_2=a+2} [/TEX]
Do đó: $x_1x_2 - (x_1 +x_2)=2$
\Leftrightarrow $x_1(x_2-1) - (x_2 - 1)=3$
\Leftrightarrow $(x_1-1)(x_2-1)=3$
Nên [TEX]x_1-1[/TEX] và [TEX]x_2-1[/TEX] là ước của 3. Giả sử [TEX]x_1 \geq x_2[/TEX] thì [TEX]x_1-1 \geq x_2-1[/TEX]. Ta có 2 trường hợp
Trường hợp 1:
[TEX]\left{\begin{x_1-1=3}\\{x_2-1=1}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{x_1=4}\\{x_2=2} [/TEX]
Khi đó [TEX]a = 6[/TEX]

Trường hợp 2:
[TEX]\left{\begin{x_1-1=-1}\\{x_2-1=-3}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{x_1=0}\\{x_2=-2} [/TEX]
Khi đó [TEX]a = -2[/TEX]

Bài tập: Yêu cầu như VD trên
1. [TEX]x^2 + ax + 6a = 0[/TEX]
2. [TEX]x^2 - abx + (a+b) = 0[/TEX]

 

[qthang1998]

2. x^2+xy+y^2=x^2*y^2.

<=> (x+y)^2=xy*(xy+1).
=> Tích xy*(xy+1) là một số chính phương.
=> xy*(xy+1)=0.

Từ đây ta tự xét được nghiệm là x=y=0.
===================================
Không biết đúng không vội quá.

 

[haibara4869]

Bài tập thôi!!!

Lâu rồi lười quá không siêng up bài học.
Vì vậy xin quyết định up ...BÀI TẬP.


Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của $a$ và $b$ để nghiệm của PT: $(x + Y)^2 = a(x - y)^2$ với y khác 0 cũng là nghiệm của PT $x = by$.

Bài 2: Tìm $m$ để PT $x^2 + (m+1)x +1 =0$ có tổng bình phương các nghiệm nhỏ nhất.

Bài 3: Giải PT $2011x^{2012} - 2012x^{2011} + 1 = 0$

Thế đã !!

 

[haibara4869]

Chà pic ta nhiều dạng rồi ghê
Thôi chết vẫn còn thiếu dạng của phương trình vô tỉ.
Thôi thì khi nào mình thi xong (còn lâu mới xong) thì sẽ up lên.
Mà ai đã học về dạng này thì post lên cái thanks nhiều. Kiến thức thì chưa có nhưng để làm quen thì ta làm bài tập nha

Tìm nghiệm nguyên dương của các pt sau:
a. $y^2 - 5 = \sqrt[]{17- x^2}$
b. $\frac{11x}{5} - \sqrt[]{2x+1} = 3y - \sqrt[]{4y-1} + 2$

Thế đã nha

P.S: Mod box toán nào rảnh vô tổng hợp lại giúp bài nào chưa giải được cái không ?? Rồi mình sẽ post sol lên nha.

 

[colia_pml]

giải phương trình nghiệm nguyên

2x+13y=156 (1)
giả sử x,y là các số nguyên thoả mãn phương trình (1).ta thấy 156 và 2x chia hết cho 2 nên 13y cũng chia hết cho 2 do đó y chia hết cho 2[vì:ƯCLN(2;13)=1]
đặt y=2t(t thuộc z).thay vào phương trình (1)ta được:
2x+13.2t=156
x+13t=78
{x=78-13t
{y=6t
do đó:đảo lại,thay các nghiệm vừa tìm được vào phương trình(1)ta được nghiệm đúng là:
{x=78-13t
{y=6t
vậy phương trình (1)có vô số nghiệm nguyên(x,y)được biểu thị bởi với t là số nguyên tuỳ ý.

KHÔNG BIẾT CÓ ĐÚNG KHÔNG MÌNH CHỈ THAM KHẢO LÍ THUYẾT Ở TRÊN RỒI LÀM THÔI,Ở LỚP MÌNH CHƯA ĐƯỢC LÀM NHỮNG DẠNG BÀI TẬP NÀY .NẾU SAI SỬA GIÚP MÌNH NHA!