[Toán 8]Chuyên đề về phương trình nghiệm nguyên, nghiệm nguyên dương

[haibara4869]

Re

Bài 7: Phương trình có ba ẩn trở lên

VD: Tìm các nghiệm nguyên của PT: [TEX]6x+15y+10z=3[/TEX]
Giải:
Ta thấy [TEX]10z[/TEX] chia hết cho 3 nên [TEX]z[/TEX] chia hết cho 3.
Đặt [TEX]z=3k[/TEX] ta được:
[TEX]6x+15y+10.3k=3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2x+5y+10k=1[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2x+5y=1-10k[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=\frac{1-10k-5y}{2}=-5k-2y+\frac{1-y}{2}[/TEX]
Đặt [TEX]\frac{1-y}{2}=t[/TEX] với [TEX]t \in N[/TEX]. Ta có:
[TEX]y=1-2t[/TEX]
[TEX]x=-5k-2(1-2t)+t=5t-5k=2[/TEX]
[TEX]z=3k[/TEX]
Vậy nghiệm của PT là:...

Bài tập:
1. [TEX]2x+5y-z=4[/TEX]
2. [TEX]2x-6y-6z=4[/TEX]

 

[minhtuyb]

Re

Bài 8: Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức​

1. Giới hạn khoảng giá trị của nghiệm

VD 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
[TEX]x^2+y^2=10[/TEX]

Giải:
[TEX]x^2=10-y^2\leq 10[/TEX]
-Với [TEX]x^2=1\Rightarrow y^2=9(True)[/TEX]
-Với [TEX]x^2=4\Rightarrow y^2=6(False)[/TEX]
-Với [TEX]x^2=9\Rightarrow y^2=1(True)[/TEX]
Vậy pt đã cho có nghiệm [TEX](1;3);(-1;3);(-1;-3);(1;-3)[/TEX] và hoán vị

VD 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
[TEX]x^4+y^4=10000[/TEX]

Giải
-Xét modulo 8:
[TEX]x^4\equiv 0;1(mod8)[/TEX]
[TEX]y^4\equiv 0;1(mod8)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+y^4=10000\equiv 0(mod8)\Leftrightarrow x^4;y^4\vdots 8\Rightarrow x^4;y^4\vdots 2[/TEX]. Đặt [TEX]x=2x_0;y=2y_0[/TEX]
-Pt đã cho tương đương:
[TEX](2x_0)^4+(2y_0)^4=10000[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x_0^4+y_0^4=625[/TEX]
Giới hạn ta được [TEX]x_0,y_0\leq \sqrt[4]{625}\Rightarrow x_0,y_0\leq 5[/TEX]
-Với [TEX]x_0=0\Rightarrow y_0=5\Rightarrow x=0;y=10(True)[/TEX]
-Với [TEX]x_0=1\Rightarrow y_0^4=624(False)[/TEX]
-Với [TEX]x_0=2\Rightarrow y_0^4=609(False)[/TEX]
-Với [TEX]x_0=3\Rightarrow y_0^4=544(False)[/TEX]
-Với [TEX]x_0=4\Rightarrow y_0^4=369(False)[/TEX]
-Với [TEX]x_0=5\Rightarrow y_0^4=0\Rightarrow x=10;y=0[/TEX]
Vậy hệ đã cho có nghiệm [TEX](0;10);(10;0)[/TEX]

Bài tập: Giải các pt sau trên tập Z:
[tex]1/ x^2+y^3=200[/tex]
[tex]2/ 8a^2+b^4=2000[/tex]

 

[daovuquang]

Chém câu 2:
[tex]8a^2+b^4=2000[/tex]
[TEX]\Leftrightarrow b^4=2000-8a^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow b^4<2000.[/TEX]
Đến đây là xong rồi.

@minhtuyb: Bài dễ giải tử tế tí )

 

[haibara4869]

Bài tập tìm nghiệm nguyên

Bài tập nha: Giải các PT nghiệm nguyên sau:
1. [TEX]x^3+2x^2+x+2=0[/TEX]
2. [TEX](x+3)^3-(x+1)^3=56[/TEX]
3. [TEX]x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0[/TEX]
4. [TEX](12x+7)^2(3x+2)(2x+1)=3[/TEX]
5. [TEX]p(x+y)=xy[/TEX](p là số nguyên tố)
6. [TEX]3x^2+10xy+8y^2=96[/TEX]
7. [TEX]x(x+2y)^3-y(y+2x)^3=27[/TEX]
8. [TEX]x^2+y^2=(x-y)(xy+2)+9[/TEX]
9. [TEX]2(x+y)+16=3xy[/TEX]
10. [TEX]4x^4+2(x^2+y^2)^2+xy(x+y)^2=132[/TEX]
Tạm từng này cái đã nha
ai giải tớ sẽ thanks 1 cái coi như khích lệ tinh thần để ... chiến đấu với PT

 

[vansang02121998]

[tex]x^3+2x^2+x+2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2(x+2)+(x+2)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x+2)(x^2+1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x+2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=-2[/tex]




[tex](x+3)^3-(x+1)^3=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x+3-x-1)[(x+3)^2+(x+1)(x+3)+(x+1)^2][/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2(x^2+6x+9+x^2+4x+3+x^2+2x+1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3x^2+12x+13=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2+4x+\frac{13}{3}=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2+4x+4+\frac{1}{3}=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x+2)^2+\frac{1}{3}=0 ( VL )[/tex]




[tex]x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^4-2x^3+x^2-x^3+2x^2-x+x^2-2x+1=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2(x^2-2x+1)-x(x^2-2x+1)+(x^2-2x+1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x^2-2x+1)(x^2-x+1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x-1)^2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=1[/tex]




[tex](12x+7)^2(3x+2)(2x+1)=3[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7)^2(12x+8)(12x+6)=72[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7)^2(12x+7+1)(12x+7-1)=72[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7)^2[(12x+7)^2-1]=72[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7)^4-(12x+7)-72=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7)^4-9(12x+7)^2+8(12x+7)^2-72=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7)^2[(12x+7)^2-9]+8[(12x+7)^2-9]=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow [(12x+7)^2-9][(12x+7)^2+8]=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7)^2-9=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+7+3)(12x+7-3)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (12x+10)(12x+4)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left[\begin{12x+10=0}\\{12x+4}=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\left[\begin{x=\frac{5}{6}}\\{x=\frac{1}{3}[/tex]

 

[vansang02121998]

[tex]3x^2+10xy+8y^2=96[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3x^2+6xy+4xy+8y^2=96[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3x(x+2y)+4y(x+2y)=96[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x+2y)(3x+4y)=2.48=4.24=6.16=-2.(-48)=-4.(-24)=-6.(-16)[/tex] ( vì x+2y và 3x+4y cùng tính chẵn lẻ )

Xét các trường hợp và được kết quả là

 

[haibara4869]

Còn mấy câu nữa kìa, giải đi bà con ới ời ơi
P/s:
@sáng ơi: ông làm câu nào thì viết phía trước với nha (cho mọi người dễ biết)
@các mem khác: làm đi rồi có thanked kìa
@mod: nếu spam xin lượng thứ
@ một bài viết 3 công việc

 

[vansang02121998]

[tex]9) 2(x+y)+16=3xy[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2x-3xy+2y+16=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 6x-9xy+6y+48=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3x(2-3y)-2(2-3y)+52=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (2-3y)(3x-2)=-52[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (3y-2)(3x-2)=52=1.52=2.26=4.13=-1.(-52)=-2.(-26)=-4.(-13)[/tex]

vì vai trò của x và y là như nhau nên ta chỉ xét trường hợp (x;y)=(a;b), không xét trường hợp (x;y)=(b;a) cho ngắn, đến kết luận chỉ ghi là (a;b) và các hoán vị

Xét các trường hợp là xong

 

[vansang02121998]

[tex]7)x(x+2y)^3-y(y+2x)^2=27[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x(x+6x^2y+12xy^2+8y^3)-y(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3)=27[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^4-2x^3y+2xy^3-y^4=27[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^3=27=1^3.3=1.3^3=(-1)(-3)^3=(-1)^3(-3)[/tex]

Xét trường hợp là được.

 

[daovuquang]

[TEX]5. p(x+y)=xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy-px+p^2-py=p^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-p)(y-p)=p^2.[/TEX]
Đến đây xét các trường hợp (chú ý [TEX]p^2[/TEX] có 6 ước là [TEX]1;-1;p;-p;p^2;-p^2[/TEX]), sẽ được [TEX](x;y)=(1+p;p(p+1));(2p;2p);(p(p+1);1+p);(p-1;p(1-p);(0;0);(p(1-p);p-1)[/TEX]
[TEX]10. 4x^4+2(x^2+y^2)^2+xy(x+y)^2=132[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 6x^4+x^3y+6x^2y^2+xy^3+2y^4=132[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x^2+xy+y^2)(3x^2-xy+2y^2)=132[/TEX]
Đến đây lại xét các trường hợp (không nghĩ được cách nào hay hơn ). Kết quả: [TEX](x;y)=(2;1);(-2;-1)[/TEX]

 

[haibara4869]

Các bài tập trên hình như là quá khó thì phải
vậy nên sau đây sẽ là các bài dễ hơn (các bài còn lại để dần dần tui post lời giải lên cho)
Giải các PT nghiệm nguyên sau:
1. [tex](4-x)^5+(x-2)^5=32[/tex]
2. [tex]x+y=xy[/tex]
3. [tex]3x^3-xy=5[/tex]
4. [tex]8x^3+(x-2)^3-(3x-2)^3=0[/tex]
5. [tex]x^3-x^2-21x+45=0[/tex]
Như vậy thôi nhé

 

[minhtuyb]

Giải các pt sau trên tập $Z$:
$1) x^2-4xy+8y^2+12y-4=0\\ 2)a^6+b^8=8910\\ 3)x+y+z+t=3xyzt(\ tập\ Z^+)$

 

[daovuquang]

Mấy bài bạn haibara dễ quá, post đáp án thôi.
[TEX]1. x=2;4.[/TEX]
[TEX]2. (x;y)=(0;0);(2;2)[/TEX]
[TEX]3. (x;y)=(-5;76);(-1;8);(1;-2);(5;74)[/TEX]
[TEX]4. x=0;2.[/TEX]
[TEX]5. x=-5;3.[/TEX]
Bài của anh minhtuyb:
1. Phương trình tương đương [TEX]x^2-4xy+(8y^2+12y-4)=0.[/TEX]
Xét [TEX]\Delta=16y^2-4(8y^2+12y-4)=-16y^2-48y+16=4[13-(2y+3)^2][/TEX]
Vì [TEX]\Delta\geq0\Rightarrow (2y+3)^2\leq13\Rightarrow 2y+3\in{1;4;9}[/TEX]
Xét từng trường hợp, thay vào sẽ ra x.
Đáp số: [TEX](x;y)=(2;0);(-2;0);(-8;-3);(-4;-3).[/TEX]
2. Từ pt[TEX]\Rightarrow b^8\leq8910\Rightarrow |b|\leq3.[/TEX]
Xét TH tiếp, sẽ ra vô nghiệm.

 

[haibara4869]

8. [TEX]x^2+y^2-(x-y)(xy+2)=9[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2+y^2-x^2y+xy^2-2x+2y=9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2-(x-y)xy+2xy-2x+2y=9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(xy-x+y)-2(xy-x+y)=9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y-2)(xy-x+y)=9[/TEX]
Xét các trường hợp là có kết quả

P.s: hình như còn câu này chưa làm thì phải :-?? :-??

 

[haibara4869]

Thêm mấy bài nữa làm cho đỡ chán nè:
Yêu cầu:
A. Giải PT nghiệm nguyên
A.1. [TEX]x^3-3y^3-9z^3=0[/TEX]
A.2. [TEX]4(x+y)=3xy-8[/TEX]
A.3. [TEX]x^3+7y=y^3+7x[/TEX]
A.4. [TEX](2x+5y+1)(2^{|x|}+y+x^2+x)=105[/TEX]


B. Giải PT nghiệm nguyên dương
B.1. [TEX]4xy-y+4x-2=9x^2[/TEX]
B.2. [TEX]4xy-x-y=z^2[/TEX]
B.3. [TEX]x^2-y^2-2y+1=0[/TEX]
B.4. [TEX]3(x+y+z)+10=2xyz[/TEX]
B.5. [TEX]2(x+y)+16=3xy[/TEX]

 

[haibara4869]

$3)x+y+z+t=3xyzt(\ tập\ Z^+)$

[TEX]x+y+z+t=3xyzt[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{yzt}+\frac{1}{xzt}+\frac{1}{xyt}+\frac{1}{xyz}=3[/TEX]
Vì [TEX]x;y;z;t[/TEX] đóng vai trò như nhau nên ta có thể giả sử:[TEX]1 \leq t \leq z \leq y \leq x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{yzt}+\frac{1}{xzt}+\frac{1}{xyt}+\frac{1}{xyz} \leq \frac{4}{t^3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3 \leq \frac{4}{t^3 }\Rightarrow t^3 \leq 12 \Rightarrow t=1,2[/TEX]
Thay lần lượt [tex]t=1[/tex] hoặc [tex]t=2[/tex] vào [TEX]x+y+z+t=3xyzt[/TEX]
Suy ra được kết quả

 

[daovuquang]

Thêm mấy bài nữa làm cho đỡ chán nè:
Yêu cầu:
A. Giải PT nghiệm nguyên
A.1. [TEX]x^3-3y^3-9z^3=0[/TEX]
A.2. [TEX]4(x+y)=3xy-8[/TEX]
A.3. [TEX]x^3+7y=y^3+7x[/TEX]
A.4. [TEX](2x+5y+1)(2^{|x|}+y+x^2+x)=105[/TEX]


B. Giải PT nghiệm nguyên dương
B.1. [TEX]4xy-y+4x-2=9x^2[/TEX]
B.2. [TEX]4xy-x-y=z^2[/TEX]
B.3. [TEX]x^2-y^2-2y+1=0[/TEX]
B.4. [TEX]3(x+y+z)+10=2xyz[/TEX]
B.5. [TEX]2(x+y)+16=3xy[/TEX]

A:
1. Lùi vô hạn.
2. [TEX]4(x+y)=3xy-8[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9xy-12x-(12y-16)=24[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (3x-4)(3y-4)=24.[/TEX] Xét TH, lưu ý số dư khi chia cho 3.
3. [TEX]x^3+7y=y^3+7x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-7)=0[/TEX]. Xét 2 TH:
[TEX]TH1: x=y.[/TEX]
[TEX]TH2: x^2+xy+y^2=7\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=8.[/TEX] Xét TH tiếp.
4. Xét từng trường hợp, sau đó rút y ra.
B:
1. Xét $\Delta.$
3. $\Delta$ nốt.)
5.

 

[haibara4869]

Sau đây tiếp tục là bài tập

P.s: Đề trước mình ra còn 2 bài B2 và B4, mong mọi người cùng nhau giải (không ra thì để tui post giải)

Đây là một bài tập hay và hơi khó một chút
Giải PT nghiệm nguyên
[tex]x^2008 + y^2008 + z^2008 = 2007. t^2008[/tex]

 

[meomiutiunghiu]

P.s: Đề trước mình ra còn 2 bài B2 và B4, mong mọi người cùng nhau giải (không ra thì để tui post giải)

Đây là một bài tập hay và hơi khó một chút
Giải PT nghiệm nguyên
[tex]x^2008 + y^2008 + z^2008 = 2007. t^2008[/tex]

:khi (106)nhỡ có sai mọi ngườiđừng trách nhé)
Giả sử x,y,z\geq0
Phương trìnhtương đương với
[TEX](x^502)^4+(y^502)^4+(z^502)^4=2007.(t^502)^4[/TEX](*)

Theo định lý Fermat nhỏ ta dc:
[TEX]x^502[/TEX][TEX]\equiv \0,1(mod503)\Rightarrow(x^502)^4[/TEX][TEX]\equiv \[/TEX]0,1(mod503)
\Rightarrow+[TEX](x^502)^4+(y^502)^4+(z^502)^4[/TEX][TEX]\equiv \[/TEX]0,1,2,3(mod503)

+[TEX]2007.(t^502)^4[/TEX][TEX]\equiv \[/TEX]0,2007[TEX]\equiv \[/TEX]0,498(mod503)

\Rightarrow VT và VP đều chia hết cho 503
\Rightarrow503∣x,y,z,t
Đặt x=503x1
y=503y1
z=503z1
t=503t1
pt (*) tương đươngvới:
[TEX]503^2008(x1^2008+y1^2008+z1^2008)=503^2008.2007t1^2008[/TEX]
\Rightarrowx[TEX]1^2008+y1^2008+z1^2008=2007.t1^2008[/TEX]
Tương tự với 503∣x1,y1,z1.
\RightarrowMọi x,y,z [TEX]503^m[/TEX] (m [TEX] \in \[/TEX]Z).
\Rightarrowx=y=z=0
@Haibara ơi , bài x+y=xy giải sao vậy

 

[daovuquang]

Bó tay post trên, pt khó giải được mà dễ ko được.)
$x+y=xy$
$\Leftrightarrow xy-x-y+1=1$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=1.$
Đến đây là pt ước số, đừng bảo bạn ko biết giải.:-S