[Toán 8]Chuyên đề về phương trình nghiệm nguyên, nghiệm nguyên dương

[haibara4869]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình thấy box Toán chưa có chuyên đề về phần này nên mình xin lập ra pic này nha
Quy định không spam nha và phương trình là PT
Chương I
Các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên
________________________________________
Bài 1: Phương pháp dùng tính chia hết
I. Lý thuyết
1. Phương pháp phát hiện tính chất của một ẩn
VD1: Giải PT với nghiệm nguyên:

[TEX]3x + 17y = 159[/TEX] (1)​

Giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn PT (1). Ta thấy 159 và 3x chia hết cho 3 nên 17y [TEX]\vdots[/TEX] 3 do đó y[TEX]\vdots[/TEX] 3 (vì ƯCLN(17,3)=1)
Đặt [TEX]y = 3t (t \in \ Z)[/TEX]. Thay vào PT (1) ta được
[TEX]3x + 17.3t = 159[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x + 17t = 53[/TEX]
Do đó:[TEX]\left{\begin{x = 53 - 17t}\\{y = 3t}[/TEX]
Đảo lại, thay các nghiệm vừa tìm được trên vào PT (1) ta được nghiệm đúng.
Vậy PT(1) có vô số nghiệm nguyên (x, y) được biểu thị bởi [TEX] \left{\begin{x = 53 - 17t}\\{y = 3t} [/TEX] với t là số nguyên tùy ý.
2. Phương pháp đưa về phương trình ước số
VD2: Giải PT nghiệm nguyên
[TEX]xy - x - y = 2[/TEX] (2)
Giải
Ta có PT(2)[TEX]\Leftrightarrow x(y-1) - y = 2[/TEX]
\Leftrightarrow x(y - 1) - (y - 1) = 3
[Tex]\Leftrightarrow (x - 1)(y - 1) = 3[/TEX]
(Ta gọi PT trên là PT ước số: VT là một tích các thừa số nguyên, VP là một hằng số)
Ta có x và y là các thừa số nguyên nên x - 1 và y - 1 là các số nguyên và là ước của 3.
Giả sử x\geqy khi đó x - 1\geqy - 1.
Ta có:
[TEX]\left{\begin{x - 1 = 3}\\{y - 1 = 1}[/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{x - 1 = -1}\\{y - 1 = -3}[/TEX]
Do đó [TEX]\left{\begin{x = 4}\\{y = 2}[/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{x = 0}\\{y = -2}[/TEX]
Nghiệm nguyên (x,y) của phương trình là (4;2);(2;4);(0;-2);(-2;0).
3. Phương pháp tách ra các giá trị nguyên
VD3: Giải lại VD2
Giải
Ta có PT(2)<=> [TEX]x(y - 1) = y + 2[/TEX]
Ta thấy y [TEX]\neq [/TEX]1
\Rightarrowx = [TEX]\frac{y + 2}{y - 1} = \frac{y - 1 + 3}{y - 1} = 1 + \frac{3}{y - 1} [/TEX]
Do x nguyên nên [TEX]\frac{3}{y - 1}[/TEX] nguyên nên y - 1 là ước của 3
Lần lượt cho y - 1 bằng -3; -1; 1; 3 ta đước đáp số như VD2
II. Bài tập
Giải PT nghiệm nguyên
1. [TEX]2x + 13y = 156[/TEX]
2. [TEX]3xy + x - y = 1[/TEX]
3. [TEX]2x^2 + 3xy - 2y^2 = 7[/TEX]
4. [TEX]x^3 - y^3 = 91[/TEX]
5. [TEX]x^2 - xy = 6x - 5y - 8[/TEX]
Xong bài 1. Khi nào rảnh thì mình post bài nữa nha

​

 

[hermes_legend]

Phương trình nghiệm nguyên là vấn đề hay, bạn có thể tham khảo thêm ở đây http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=149714 , chắc chắn 1 số bài của bạn sẽ có trong đó.

Ủng hộ, mở hàng pic 2 câu đầu:
1) Do cả 2x và 156 đều chẵn nên 13y chẵn => y=2k(k nguyên).
Thế y=2k vào => x=78-13k.( k nguyên)
Vậy ... nghiệm của hệ

2)3xy+x-y=1 (lười gõ tex, ngắn mà)
<=> 9xy+3x-3y=3
<=> 3x(3y+1)-(3y+1)=2.
<=> (3x-1).(3y+1)=1.2=2.1=(-1)(-2)=(-2)(-1).

3 câu sau chắc không quá khó, mọi người vào làm.

 

[haibara4869]

Re: Chuyên đề về PT

Tiếp nè
________________________________-

Bài 2: Phương pháp xét số dư của từng vế​

VD4: CMR các phương trình sau không có nghiệm [TEX]x^2 - y^2 = 1998[/TEX]

Giải​

Dễ chứng minh [TEX]x^2, y^2[/TEX] chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1
Nên [TEX]x^2 - y^2 [/TEX] chia cho 4 có số dư là 0, 1, 3.
Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2.
Vậy PT không có nghiệm nguyên.

VD5: Giải PT [TEX]9x + 2 = y^2 + y[/TEX] (1)

Giải​

Ta có: PT(1)[Tex] \Leftrightarrow 9x + 2 = y(y + 1)[/TEX]
Ta thấy vế trái của PT là số chia 3 dư 2 nên [TEX]y(y + 1)[/TEX] chia cho 3 sẽ dư 2
Nên chỉ có thể [TEX]y = 3k + 1, y + 1 = 3k + 2[/TEX] (k nguyên)
Khi đó [TEX]9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9x = 9k(9k + 1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x = k(k + 1)[/TEX]
Thử lại [TEX]x = k(k + 1), y = 3k + 1[/TEX] thỏa mãn PT đã cho
Vậy [TEX]\left{\begin{x = k(k + 1)}\\{y = 3k + 1} [/TEX] với k là số nguyên tình ý

Bài tập
1. [TEX]3x^2 - 4y^2 = 13[/TEX]
2. [TEX]x^5 - 5x^3 + 4x = 25(5y + 1)[/TEX]
P.S: làm bài tập rồi tớ thanks

 

[minhtuyb]

Bài tập
1. [TEX]3x^2 - 4y^2 = 13[/TEX]
2. [TEX]x^5 - 5x^3 + 4x = 25(5y + 1)[/TEX]
P.S: làm bài tập rồi tớ thanks

Mong topic sẽ tiếp tục duy trì :khi (79):, nếu có thể Sáng ra đây quản lí dùm nha:khi (131): .
1. [TEX]3x^2 - 4y^2 = 13\Leftrightarrow 3x^2=13+4y^2[/TEX]
Có: [TEX]x^2\equiv 0,1(mod4)\Rightarrow VT=3x^2\equiv 0,3(mod4)[/TEX]
[TEX]4y^2\vdots 4;13\equiv 1(mod4)\Rightarrow VP\equiv 1(mod4)[/TEX]
Vậy pt đã cho vô nghiệm nguyên
2.[TEX]x^5 - 5x^3 + 4x = 25(5y + 1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(x^4-x^2-4x^2+4)=25(5y+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(x^2-1)(x^2-4)=25(5y+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=25(5y+1)[/TEX]

 

[haibara4869]

Giải PT nghiệm nguyên
1. [TEX]2x + 13y = 156[/TEX]
2. [TEX]3xy + x - y = 1[/TEX]
3. [TEX]2x^2 + 3xy - 2y^2 = 7[/TEX]
4. [TEX]x^3 - y^3 = 91[/TEX]
5. [TEX]x^2 - xy = 6x - 5y - 8[/TEX]
Xong bài 1. Khi nào rảnh thì mình post bài nữa nha

Này còn mấy bài này nữa ai đó làm đi rồi mình thanks cho (hình như các mem box toán dạo này hơi lười thì phải)

 

[taolmdoi]

Mong topic sẽ tiếp tục duy trì :khi (79):, nếu có thể Sáng ra đây quản lí dùm nha:khi (131): .
1. [TEX]3x^2 - 4y^2 = 13\Leftrightarrow 3x^2=13+4y^2[/TEX]
Có: [TEX]x^2\equiv 0,1(mod4)\Rightarrow VT=3x^2\equiv 0,3(mod4)[/TEX]
[TEX]4y^2\vdots 4;13\equiv 1(mod4)\Rightarrow VP\equiv 1(mod4)[/TEX]
Vậy pt đã cho vô nghiệm nguyên
2.[TEX]x^5 - 5x^3 + 4x = 25(5y + 1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(x^4-x^2-4x^2+4)=25(5y+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(x^2-1)(x^2-4)=25(5y+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=25(5y+1)[/TEX]

bài 2 tới đó rồi s nữa abnj............................

 

[khaitien]

25=[TEX]5^2[/TEX] mà x-2,x-1,x,x+1,x+2 là 5 STN liên tiếp nen x-2 và x+2 chia hết cho 5
\Rightarrow x-1 = 5y+1 ( cùng chia 5 dư 1)
\Rightarrow x=5y+2
\Rightarrow(x-2)x(x+1)(x+2)=25
\Rightarrow PT không có nghiệm nguyên&gt;&lt;

 

[haibara4869]

Re

Bài 4: PP dùng tính chất của số chính phương (SCP)
1. Tính chất chia hết của SCP
VD: Tìm x nguyên để [TEX]9x + 5[/TEX] là tích của 2 số nguyên liên tiếp.
Giải:
GS [TEX]9x+5=n(n+1)[/TEX] với n nguyên thì:
[TEX]36x+20=4n^2+4n[/TEX]
\Rightarrow[TEX]36x+21-4n^2+4n+1[/TEX]
\Rightarrow[TEX]3(12x+7)=(2n+1)^2[/TEX]
Ta có SCP [TEX](2n+1)^2[/TEX] chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. (1)
Lại có: [TEX]12x+7[/TEX] không chia hết cho 3 nên [TEX]3(12x+7)[/TEX] không chia hết cho 9. (2)
Từ (1) và (2) ta có điều giả sử là sai, nên PT vô nghiệm

2. Tạo ra bình phương đúng
VD. Tìm các nghiệm nguyên dương của PT:
[TEX]2x^2+4x=19-3y^2[/TEX] (1)
Giải:
Ta có: [TEX](1)\Leftrightarrow2x^2+4x+2=21-3y^2[/TEX] (2)
[TEX]\Leftrightarrow2(x+1)^2=3(7-y^2)[/TEX]
Ta thấy [TEX]3(7-y^2)[/TEX] chia hết cho 2 \Rightarrow [TEX]7-y^2[/TEX] chia hết cho 2\Rightarrow[TEX]y[/TEX] là số lẻ.
Lại có [TEX]7-y^2 \geq 0[/TEX] nên chỉ có thể [TEX]y^2=1[/TEX] \Rightarrow [TEX]y=1 hoac y=-1[/TEX]
Khi đó (2) có dạng [TEX]2(x+1)^2=18[/TEX]
Ta được [TEX]x+1=3[/TEX] hoặc [TEX]x+1=-3[/TEX] do đó [TEX]x_1=2; x_2=-4[/TEX]
Từ đó ta có các cặp nghiệm của PT là [TEX](x,y)=(2;1),(2;-1);(-4;1);(-4;-1)[/TEX]

Bài tập:
Giải PT nghiệm nguyên: [TEX]3x^2+4y^2=6x+13[/TEX]

 

[minhtuyb]

Đưa lên chủ đề chú ý :

Bài tập:
Giải PT nghiệm nguyên: [TEX]3x^2+4y^2=6x+13[/TEX]

[TEX]3x^2+4y^2=6x+13[/TEX]
[TEX][/B] [B]\Leftrightarrow 3x^2-6x=13-4y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3x^2-6x+3=16-4y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(x-1)^2=4(4-y^2)(1)[/TEX]
Vì [TEX]VT\geq 0\Rightarrow 4-y^2\geq 0\Rightarrow y^2\leq 4\Rightarrow -2\leq y \leq2[/TEX]
-Với [TEX]y=0,[/TEX] (1) vô nghiệm vì [TEX]VT\vdots 3;VP\not\vdots 3[/TEX]
-Với [TEX]y=\pm 1:(1)\Leftrightarrow 3(x-1)^2=12\Leftrightarrow (x-1)^2=4\Leftrightarrow x-1=\pm 2\Leftrightarrow x=\left \{ -1;3 \right \}[/TEX]
-Với [TEX]y=\pm 2:(1)\Leftrightarrow 3(x-1)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1[/TEX]
Pt có nghiệm [TEX](-1;1);(-1;-1);(3;1);(3;-1);(1;2);(1;-2)[/TEX]

Bài tập 2:
Giải pt nghiệm nguyên:[TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]
Bài tập 3:
Giải pt nghiệm nguyên:[TEX]2x^2+4x=19-3y^2[/TEX]

 

[vansang02121998]

Thử từng giá trị của y, ta được

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

3. [TEX]2x^2 + 3xy - 2y^2 = 7[/TEX]
4. [TEX]x^3 - y^3 = 91[/TEX]
5. [TEX]x^2 - xy = 6x - 5y - 8[/TEX]

[TEX]2x^2 + 3xy - 2y^2 = 7 \Leftrightarrow (2x - y)( x +2y) = 7[/TEX]

[TEX]x^3 - y^3 = 91 \Leftrightarrow ( x-y)( x^2 + xy + y^2) = 7.13[/TEX]

[TEX]( x^2 + xy + y^2 >0) \Rightarrow ......[/TEX]

[TEX]x^2 - xy = 6x - 5y - 8 \Leftrightarrow x^2 -6x + 8 = y(x-5)[/TEX]

dễ thấy x = 5 ko là nghiệm [TEX]\Rightarrow x - 5 [/TEX]#0

[TEX]\Leftrightarrow y = \frac{x^2 -6x +8}{ x - 5} = ..........[/TEX]

[TEX]2. x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]

[TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2 \Leftrightarrow ( x +y)^2 = xy(xy +1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{xy=0}\\{xy = -1}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ........[/TEX]

[TEX]\big(n(n+1) = k^2 \Leftrightarrow \left[\begin{n=0}\\{n+1= 0}\big)[/TEX]

 

[minhtuyb]

Re2:

Bài 4: PP dùng tính chất của số chính phương (SCP)
1. Tính chất chia hết của SCP
2. Tạo ra bình phương đúng

Viết lách chút

3. Đưa về dạng:
[TEX]A^2+B^2+C^2+...=m^2+n^2+p^2+... \Leftrightarrow \left[\begin{A=\pm m}\\ {B=\pm n}\\{C=\pm p}\\{...}[/TEX]

VD 1: Giải pt nghiệm nguyên:
[tex]x^2-x-6+y^2=0(1)[/tex]
-Để dễ dàng xuất hiện một tổng bình phương "đẹp", ta nhân 2 vế với 4 rồi nhóm lại:
[TEX](1)\Leftrightarrow 4x^2-4x-24+4y^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (4x^2-4x+1)+4y^2=25[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x-1)^2+(2y)^2=25[/TEX].
Ta có: [TEX]2x-1[/TEX] lẻ; [TEX]25=3^2+4^2=0^2+5^2[/TEX] nên xét 2 TH:
[TEX]+)\left\{\begin{matrix}2x-1=\pm 3\\2y=\pm 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2;-1\\y=\pm 2\end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]+)\left\{\begin{matrix}2x-1=\pm 5\\2y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=3;-2\\y=0\end{matrix}\right.[/TEX]
Vậy pt đã cho có các nghiệm [TEX](2;2);(2;-2);(-1;2);(-1;-2);(3;0);(-2;0)[/TEX]

Nhận xét: Các pt đưa về dạng này thường phải xét nhiều trường hợp nên có khá nhiều nghiệm :-SS:-SS:-SS

Bài tập áp dụng: Giải các pt sau trên tập số nguyên:
[TEX]1/x^2=100+6xy-13y^2[/TEX]
[TEX]2/x^2-4xy+5y^2=169[/TEX]
[TEX]3/y^2=x^2+x+6[/TEX]

 

[haibara4869]

Re

Bài 4: PP dùng tính chất của số chính phương (SCP)
1. Tính chất chia hết của SCP
2. Tạo ra bình phương đúng

3. Đưa về dạng:

4. Xét các số chính phương liên tiếp (phương pháp kẹp)
VD: CMR với mọi số nguyên [TEX]k[/TEX] cho trước, không tồn tại số nguyên dương [TEX]x[/TEX] sao cho :
[TEX]x(x+1)=k(k+2)[/TEX]
Giải:
Giả sử [TEX]x(x+1)=k(k+2)[/TEX] với [tex]k[/tex] nguyên, [TEX]x[/TEX] nguyên dương.
Ta có:
[TEX]x^2+x=k^2+2k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+x+1=k^2+2k+1=(k+1)^2[/TEX]
Do [TEX]x>0[/TEX] nên [TEX]x^2<x^2+x+1=(k+1)^2[/TEX] (1)
Cũng do [TEX]x>0[/TEX] nên: [TEX](k+1)^2=x^2+x+1<x^2+2x+1=(x+1)^2[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: [TEX]x^2<(k+1)^2<(x+1)^2[/TEX] vô lí
\Rightarrow [TEX]DPCM[/TEX]

5. Sử dụng tính chất: Nếu 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương
VD: Giải PT với nguyên nguyên dương: [TEX]xy=z^2[/TEX] (1)
Giải:
Trước hết ta có thể giả sử [tex](x,y,z)= 1[/tex].
Thật vậy nếu bộ ba số [TEX]x_0, y_0, z_0[/TEX] thỏa mãn (1) và có [TEX]UCLN=d[/TEX].
Giả sử [TEX]x_0=dx_1, y_0=dy_1, z_0=dz_1[/TEX] thì [TEX](x_1, y_1, z_1)[/TEX] cũng là nghiệm của (1).
Với [TEX](x, y, z)=1[/TEX] thì [TEX]x, y, z[/TEX] đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong 3 số [TEX]x, y, z[/TEX] có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho [TEX]d[/TEX].
Ta có: [TEX]xy=z^2[/TEX] mà [TEX](x, y)=1[/TEX] nên [TEX]x=a^2, y=b^2[/TEX] với [TEX]a, b \in N^*[/TEX].
Suy ra : [TEX]z^2=xy=(ab)^2[/TEX] do đó [TEX]z=ab[/TEX]
Như vậy:
[TEX]\left{\begin{x=ta^2}\\{y=tb^2}\\{z=tab} [/TEX]
với t là số nguyên dương tùy ý.
Đảo lại... ta có các nghiệm đúng như trên.

Bài tập: Phần cho lần sau

 

[haibara4869]

6. Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chinh phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0
Chứng minh:
Ta có: [TEX]a(a+1)=k^2[/TEX] (1) với [TEX]a \in Z; k \in N[/TEX]
Giả sử [TEX]a, a+1[/TEX] đều khác 0 thì [TEX]k^2[/TEX] khác 0. Do [TEX]k \in N \Rightarrow k > 0[/TEX]
Từ (1) suy ra : [TEX]a^2+a=k^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4a^2+4a=4k^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4a^2+4a+1=4k^2+1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (2a+1)^2=4k^2+1[/TEX] (2)
Do [TEX]k > 0[/TEX] nên [TEX]4k^2<4k^2+4k+1[/TEX] (3)
Từ (2) và (3) ta có [TEX](2k)^2<(2a+1)^2<(2k+1)^2[/TEX], vô lí.
Nên đều gải sử là sai nên ta có [TEX]DPCM[/TEX]

VD: Tìm các số nguyên của PT: [TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX] (1)
Giải: Thêm [TEX]xy[/TEX] vào hai vế ta có:
[TEX]x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^2=xy(xy+1)[/TEX] (2)
Ta thấy [TEX]xy[/TEX] và [TEX]xy+1[/TEX] là hai số tự nhiên liên tiếp có tích là một số chính phương nên nên tồn tại một số bằng 0
Xét [TEX]xy=0[/TEX]. Từ (1) có [TEX]x^2+y^2=0[/TEX] nên [TEX]x=0; y=0[/TEX]
Xét [TEX]xy+1=0[/TEX] .Ta có [TEX]xy=-1[/TEX] nên [TEX](x, y)[/TEX] bằng [TEX](1; -1)[/TEX] hoặc [TEX](-1; 1)[/TEX]
Vậy...

Bài tập:
Chứng minh VD trên bằng các cách khác (không dùng tính chất trên cũng được)

 

[haibara4869]

Re

Bài 5: Phương pháp lùi vô, hạn nguyên tắc cực hạn

VD: Tìm các nghiệm nguyên của PT: [TEX]x^3+2y^3=4z^3[/TEX] (1)
Giải:
Hiển nhiên ta có x chia hết cho 2.
Đặt [TEX]x=2x_1[/TEX] với [TEX]x_1[/TEX] nguyên.
Thay vào (1) rồi chia cả hai vế cho 2 ta có:
[TEX]4x_1^3+y^3=2z^3[/TEX] (2)
Do đó y chia hết cho 2. Đặt [TEX]y=2y_1[/TEX] với [TEX]y_1[/TEX] nguyên.
Thay vào (2) rồi chia cả hai vế cho 2 ta được:
[TEX]2x_1^3+4y_1^3=z^3[/TEX] (3)
Do đó z chia hết cho 2. Đặt [TEX]z=2z_1[/TEX] với [TEX]z_1[/TEX] nguyên.
Thay vào (3) rồi chia cả hai vế cho 2 ta được:
[TEX]x_1^3+2y_1^3=4z_1^3[/TEX] (4)
Như vậy nếu [TEX](x, y, z)[/TEX] là nghiệm của (1) thì [TEX](x_1, y_1, z_1)[/TEX] cũng là nghiệm của (1) trong đó [TEX]x=2x_1[/TEX], [TEX]y=2y_1[/TEX], [TEX]z=2z_1[/TEX].
Lập luận tương tự như trên la cũng có [TEX](x_2, y_2, z_2)[/TEX] cũng là nghiệm của (1)
trong đó [TEX]x_1=2x_2[/TEX], [TEX]y_1=2y_2[/TEX], [TEX]z_1=2z_2[/TEX]
Tiếp tục như vậy ta đi đến [TEX]x, y, z[/TEX] chia hết cho [TEX]2^k[/TEX] với [TEX]k \in N[/TEX] tùy ý. Điều này chỉ xảy ra khi [TEX]x=y=z=0[/TEX] và đây cũng là nghiệm duy nhất của (1).

Bài tập:
1. [TEX]x^3-3y^3=9z^3[/TEX]
2. [TEX]x^2+y^2=3z^2[/TEX]
3. [TEX]x^2+y^2+z^2=2xyz[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

cũng tương tự đặt lần lượt [TEX]x = 3x_1, y=3y_1, z=3z_1[/TEX]

nghiệm là (0;0;0)

 

[daovuquang]

1. Đặt [tex]x=3x_1; y=3y_1; z=3z_1[/tex].
2. Tương tự phần 1.
3. Đặt [tex]x=2x_1; y=2y_1; z=2z_1[/tex].

 

[haibara4869]

Re

Bài 6: Phương trình dạng mũ​

VD1: Giải PT nghiệm nguyên: [TEX]2^x+12^2=y^2-3^2[/TEX]
Ta có: BS là bội số
[TEX]2^x+12^2=y^2-3^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow2^x+153=y^2[/TEX] (1)
Ta xét 2 trường hợp:
a. Xét x lẻ.
Đặt [TEX]x = 2n + 1 (n \in N)[/TEX]. Ta có:
[TEX]2^x = 2^2n+1 = 2.4^n = 2(3+1)^n = 2(BS3 + 1) = BS3 +2[/TEX]
Khi đó vế trái của (1) là số chia cho 3 dư 2 còn vế phải của (1) là 1 số chính phương chia cho 3 không dư 2, loại.
b. Xét x chẵn
Đặt [tex]x = 2n (n \in N^*)[/tex]. Ta có:
[TEX]y^2 - 2^2n = 153[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y - 2^n)(y + 2^n) = 3 . 51 = 9 . 17 = 1 . 153[/TEX]
Ta thấy[TEX]y + 2^n > 0[/TEX] nên [TEX]y - 2^n >0[/TEX] và [tex]y + 2^n > y - 2^n > 0[/tex]
Do đó có các trường hợp:
[TEX]\left{\begin{y + 2^n = 51}\\{y - 2^n = 3} [/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{y + 2^n = 17}\\{y - 2^n = 9} [/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{y + 2^n = 153}\\{y - 2^n = 1} [/TEX]
Từ đó ta có các nghiệm của PT

VD2: Tìm số tự nhiên x và các số nguyên y sao cho: [TEX]2^x+3=y^2[/TEX]
Giải:
Lần lượt xét các giá trị tự nhiên của x:
*Nếu [TEX]x=0[/TEX] thì [TEX]y^2=4[/TEX] nên [TEX]\left [\begin{y=2}\\{y=-2}[/TEX]
*Nếu [TEX]x=1[/TEX] thì [TEX]y^2=5[/TEX], không có nghiệm nguyên.
*Nếu [TEX]x\geq2[/TEX] thì [TEX]2^x[/TEX] chia hết cho 4
\Rightarrow VT chia cho 4 dư 3, còn y lẻ nên VP chia cho 4 dư 1. Mâu thuẫn.
Vậy...

 

[hang173]

giải phương trình sau: x^3 = y^3 + 721 với x và y nguyên dương.

 

[haibara4869]

giải phương trình sau: [TEX]x^3 = y^3 + 721[/TEX] với x và y nguyên dương.

Ta có: [TEX]x^3-y^3=721[/TEX]
[TEX](x-y)(x^2+xy+y^2)=721=1 . 721=7 . 103[/TEX]
Mà [TEX]x, y \in N[/TEX] nên: [TEX]x-y < x^2+xy+y^2[/TEX]
Ta có:
[TEX]\left{\begin{x-y=7}\\{x^2+xy+y^2=103 (1)}[/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{x-y=1}\\{x^2+xy+y^2=721 (2)} [/TEX]
Với [TEX]x-y=1[/TEX] \Rightarrow [TEX]x=y+1[/TEX] Thay vào (1) ta có: [TEX]y=15[/TEX] \Rightarrow [TEX]x=16[/TEX] (thỏa mãn)
Với [TEX]x-y=7[/TEX] \Rightarrow [TEX]x=y+7[/TEX] Thay vào (2) ta có: [TEX]y=2[/TEX] \Rightarrow [TEX]x=9[/TEX] (thỏa mãn)
Vậy...
Kem đánh răng : Bài này dễ